人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 12.3 角的平分線的性質(zhì)

12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時(shí)角的平分線的作法及性質(zhì)1.掌握角的平分線的作法.2.會利用角平分線的性質(zhì).3.經(jīng)歷折紙、畫圖、文字與符號的翻譯活動,培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力.4.通過實(shí)際操作與探究交流,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問題.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識活動1學(xué)生預(yù)習(xí)教材,掌握角平分線的作法,小組間交流并動手實(shí)際畫一畫,總結(jié)出畫角平分線的步驟.活動2讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的白紙與剪刀,自己動手,剪一個(gè)角,把剪好的角對折,使角的兩邊疊合在一起,再把紙片展開,看到了什么?【教學(xué)說明】發(fā)現(xiàn)第一次對折后的折痕是這個(gè)角的平分線;再折一次,又會出現(xiàn)兩條折痕,而且這兩條折痕是等長的.這種方法可以做無數(shù)次,所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對.請同學(xué)們折出如圖所示的折痕PD、PE,并研究這個(gè)圖形中隱含了哪些等量關(guān)系,互相交流,形成結(jié)論.教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.二、思考探究，獲取新知由上述活動及交流情況,教師總結(jié)以下新知識:1.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.【教學(xué)說明】1.這兩個(gè)性質(zhì)的條件和結(jié)論正好相反,分別可以作為證線段相等和證角相等的依據(jù).2.在用幾何語言表述性質(zhì)時(shí),注意強(qiáng)調(diào)“點(diǎn)到直線的距離”中的垂直條件.例1如圖所示，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1∶20000）?【教學(xué)說明】教師提出下列問題，引導(dǎo)學(xué)生理清思路：(1)集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個(gè)性質(zhì)可以解決這個(gè)問題？(2)比例尺為1∶20000是什么意思？(3)圖形上，表示500m的是個(gè)什么距離？例2如圖所示，BD為∠ABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P、D分別在BF上，PM⊥AD于M,PN⊥CD于N，求證：PM=PN.【分析】從一條線引兩條垂線，要證明兩條垂線段相等，可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，將證線段相等轉(zhuǎn)化為找角平分線，即證角相等.根據(jù)△ABD≌△CBD即可得證.【證明】∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射線DP為∠ADC的平分線.又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.例3如圖，點(diǎn)P是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，作PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別是點(diǎn)D、C，點(diǎn)E、F分別在線段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求證：OP平分∠EPF.【分析】欲證OP平分∠EPF，可設(shè)法證∠OPE=∠OPF,而要證∠OPE=∠OPF,需證∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【證明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分別是點(diǎn)D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP與Rt△OCP中，∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP與Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、運(yùn)用新知，深化理解1.角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的______相等.2.如圖，在△ABC中,∠A=80°,∠B與∠C的平分線相交于點(diǎn)I,則∠BIC=___.第2題圖第3題圖3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,則∠BDE=_______=_______=_______.【教學(xué)說明】指導(dǎo)學(xué)生解答上述習(xí)題時(shí)，應(yīng)適當(dāng)啟發(fā)學(xué)生對角平分線性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【答案】1.距離2.130°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、師生互動，課堂小結(jié)1.角平分線的兩個(gè)性質(zhì)應(yīng)牢記并應(yīng)用于解題中.2.與角平分線有關(guān)的求證線段相等,角相等問題,我們可以直接用角平分線性質(zhì),不必再利用證三角形全等得到線段相等或角相等.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題12.3”中選取部分題.2.完成練習(xí)冊中本課時(shí)的練習(xí).本課時(shí)教學(xué)思路按操作、猜想、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然性，教學(xué)時(shí)要始終圍繞問題展開，先從出示問題開始，鼓勵(lì)學(xué)生思考、探索問題中所包含的數(shù)學(xué)知識，再要求學(xué)生開展活動——折紙，體驗(yàn)三角形角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí)，并得出進(jìn)一步的猜想和開展新活動——尺規(guī)作圖，從中猜想結(jié)論并思考證明的方法，整堂課以學(xué)生操作、探究、合作貫穿始終，并充分給學(xué)生思考留下足夠的空間與時(shí)間，形成動手、合作、概括與解決問題的意識與能力.第2課時(shí)角的平分線的判定1.掌握角的平分線的判定.2.會利用三角形角平分線的性質(zhì).3.通過學(xué)習(xí)角的平分線的判定，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納問題的能力.4.鍛煉數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.【教學(xué)重點(diǎn)】角平分線的判定.【教學(xué)難點(diǎn)】三角形的內(nèi)角平分線的應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識問題1我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？【教學(xué)說明】如圖所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上呢？事實(shí)上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我們利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.二、思考探究，獲取新知三角形內(nèi)角平分線是角平分線的延伸，那如何利用它來解題呢？例1如圖O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且O到三邊AB、BC、CA的距離OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度數(shù).【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分線的交點(diǎn)，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度數(shù)，只要求出∠1+∠3的度數(shù)，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度數(shù)即可，在△ABC中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出∠BOC的度數(shù).解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.【教學(xué)說明】求三角形中角的度數(shù)，要善于運(yùn)用角平分線的性質(zhì).例2如圖①,D、E、F是△ABC的三條邊上的點(diǎn)，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求證：AD平分∠BAC.【分析】由已知條件可知△DCE和△DBF的兩底CE=BF,且它們的面積相等，所以這兩底上的高應(yīng)該相等.因此過點(diǎn)D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分別為M和N，則DM=DN.由角平分線的判定定理可知，AD平分∠BAC.【證明】如圖②，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N.∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.又∵CE=BF,∴DN=DM,∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC.例3如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一點(diǎn)，且AE⊥BD并交BD的延長線于點(diǎn)E，又AE=BD.求證：BD是∠ABC的平分線.【分析】要證明BD是∠ABC的平分線，即證明∠1=∠2,可構(gòu)造全等三角形，延長AE、BC交于F，根據(jù)條件證明△ABE≌△FBE即可.【證明】延長AE、BC交于點(diǎn)F.∵AE⊥BD,∠ACB=90°,∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,即∠2=∠FAC.在△BDC與△AFC中，,∴△BDC≌△AFC(ASA),∴BD=AF.又∵AE=BD,∴AE=AF,∴AE=EF.在△ABE和△FBE中，,∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.即BD是∠ABC的平分線.例4(青海西寧中考)八年級（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖所示），設(shè)計(jì)了如下方案：方案一：∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P置于射線OA,OB之間.移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN,過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.方案二：∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA，OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M，N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.（1）方案一、方案二是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；（2）方案一中，在PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時(shí)使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？請說明理由.解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的條件.方案二可行.證明：在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS).∴∠AOP=∠BOP.∴OP是∠AOB的平分線.（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分線上，∴OP是∠AOB的平分線.三、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，已知DB⊥AE于點(diǎn)B，DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,則∠DGF=________.第1題圖第2題圖2.如圖，以△ABC的兩邊AB,AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE,CD交于點(diǎn)O，求證：OA平分∠DOE.【答案】1.150°2.證明：過點(diǎn)A分別作AM⊥DC于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N.∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE，∴DC=BE,又∵S△DAC=S△BAE,∴AM=AN.又∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴OA平分∠DOE.四、師生互動，課堂小結(jié)1.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)有且只有一個(gè)，且一定在三角形的內(nèi)部.2.證明三線共點(diǎn)的證明思路：先設(shè)其中的兩線交于一點(diǎn)，再證明該交點(diǎn)也在第三條直線上.3.在三角形內(nèi)部，要找一點(diǎn)到三邊距離相等時(shí)，只要作出兩個(gè)角的角平分線，其交點(diǎn)即是.4.角