2021年天津市高考數(shù)學試卷及答案

年天津市高考數(shù)學試卷一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，則（A∩B）∪C＝（）A．{0} B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}2．已知a∈R，則“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（）A．B． C． D．4．從某網絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據，將所得400個評分數(shù)據分為8組：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82，86）內的影視作品數(shù)量是（）A．20 B．40 C．64 D．805．設a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，則三者大小關系為（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為1：3，則這兩個圓錐的體積之和為（）A．3π B．4π C．9π D．12π7．若2a＝5b＝10，則＝（）A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log7108．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點與拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C，D兩點，若|CD|＝|AB|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．39．設a∈R，函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內恰有6個零點，則a的取值范圍是（）A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，] C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10．i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝．11．在（2x3+）6的展開式中，x6的系數(shù)是．12．若斜率為的直線與y軸交于點A，與圓x2+（y﹣1）2＝1相切于點B，則|AB|＝．13．已知a＞0，b＞0，則的最小值為．14．甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．15．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，DE⊥AB且交AB于點E，DF∥AB且交AC于點F，則|2|的值為；最小值為．三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點．（1）求證：D1F∥平面A1EC1；（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為B，離心率為，且|BF|＝．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線l與橢圓有唯一的公共點M，與y軸的正半軸交于點N，過N與BF垂直的直線交x軸于點P．若MP∥BF，求直線l的方程．19．已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64．數(shù)列{bn}是公比大于0的等比數(shù)列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn＝b2n+，n∈N*．（i）證明：{cn2﹣c2n}是等比數(shù)列；（ii）證明：＜2（n∈N*）．20．已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax﹣xex．（1）求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）證明函數(shù)f（x）存在唯一的極值點；（3）若?a，使得f（x）≤a+b對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．2021年天津市高考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．C2．A3．B4．D5．D6．B7．C8．A9．A二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10．4﹣i11．16012．13．214．，15．1，三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．解：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝．（3）由（2）可得sinC＝，∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．17．（1）證明：以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，設平面A1EC1的法向量為，則，即，令z＝1，則x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，則，又D1F?平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，則，故直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值為；（3）解：由（1）可知，設平面AA1C1的法向量為，則，即令a＝1，則b＝﹣1，故，所以，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值為．18．解：（1）因為離心率e＝，|BF|＝所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以橢圓的方程為+y2＝1．（2）先證明橢圓上過點M（x0，y0）的橢圓的切線方程為：．由于橢圓過點（x0，y0），則①，對橢圓求導得y′＝﹣，即切線的斜率k＝﹣，故切線的方程y﹣y0＝﹣（x﹣x0），將①代入得則切線MN的方程為+y0y＝1，令x＝0，得yN＝，因為PN⊥BF，所以kPN?kBF＝﹣1，所以kPN?（﹣）＝﹣1，解得kNP＝2，設P（x1，0），則kNP＝＝2，即x1＝﹣，因為MP∥BF，所以kMP＝kBF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因為+y02＝1，所以，解得y0＝±，因為yN＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．證明：（1）由數(shù)列{an}是公差d為2的等差數(shù)列，其前8項的和為64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由數(shù)列{bn}是公比q大于0的等比數(shù)列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以bn＝4n，n∈N*；（2）（i）證明：因為an＝2n﹣1，bn＝4n，所以cn＝b2n+＝42n+，則cn2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝，所以，又，所以數(shù)列{cn2﹣c2n}是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列；（ii）證明：設，考慮，則pn＜qn，所以，則，兩式相減可得，，所以，則，故．20．（1）解：因為f'（x）＝a﹣（x+1）ex，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））處的切線方程為y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）證明：令f'（x）＝a﹣（x+1）ex＝0，則a＝（x+1）ex，令g（x）＝（x+1）ex，則g'（x）＝（x+2）ex，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，當x∈（﹣∞，﹣2）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（﹣2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，當x→﹣∞時，g（x）＜0，當x→+∞時，g（x）＞0，作出圖象所以當a＞0時，y＝a與y＝g（x）僅有一個交點，令g（m）＝a，則m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，當x∈（﹣∞，m）時，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當x∈（m，+∞）時，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；所以x＝m時f（x）的極大值點，故f（x）僅有一個極值點；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此時a＝（1+m）em，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）mem﹣mem﹣（1+m）em＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），若存在