任意角與弧度制一對(duì)一輔導(dǎo)講義

教學(xué)目標(biāo)掌握角的概念的推廣、正角、負(fù)角、零角、象限角、以及終邊相同的角的定義。2．掌握弧度制、弧度與角度的轉(zhuǎn)換.3.會(huì)用弧度制計(jì)算扇形面積及弧長(zhǎng).4.靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；掌握角度制和弧度制的轉(zhuǎn)換。教學(xué)難點(diǎn)：所有與角終邊相同的角（包括角）的表示；考點(diǎn)及考試要求角度制和弧度制的轉(zhuǎn)化、終邊相同角的表示教學(xué)內(nèi)容第一課時(shí)任意角和弧度制知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)梳理知識(shí)梳理1、任意角（1）角概念的推廣：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角；②按終邊位置不同分為象限角和軸線角。（2）終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫成。（3）象限角及其集合表示：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合{α|2kπ<α<2kπ+,k∈Z}第二象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}第三象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}第四象限角的集合{α|2kπ+<α<2kπ+2,k∈Z}2、弧度制（1）1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示。（2）角的弧度數(shù)：如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為,那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是||=/r.（3）角度與弧度的換算：①；②;③.（4）弧長(zhǎng)、扇形面積的公式：扇形的弧長(zhǎng),則扇形的面積為3、任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上有一點(diǎn),到原點(diǎn)的距離為，那么叫做α的正弦，記作：sinα叫做α的余弦，記作：cosα叫做α的正切，記作：tanα各象限符號(hào)Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-記憶口訣一正，二正弦，三切，四余弦終邊相同角三角函數(shù)值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：；（2）商數(shù)關(guān)系：注：同角并不拘泥于角的形式，如：，都成立第二課時(shí)任意角和弧度制典型例題典型例題一一典型例題一一題型一求與已知角終邊相同的角例1已知角α＝45°，(1)在區(qū)間[－720°，0°]內(nèi)找出所有與角α有相同終邊的角β；(2)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)×180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)×180°＋45°，k∈Z))，那么兩集合的關(guān)系是什么？(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的終邊落在何處？(2)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(3)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角．題型二三角函數(shù)的定義例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα＋eq\f(1,tanα)的值．探究提高任意角的三角函數(shù)值與終邊所在的位置有關(guān)，與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，故要首先判定P點(diǎn)所在的象限，確定r，最后根據(jù)定義求解．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．題型三三角函數(shù)值的符號(hào)及判定例3(1)如果點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，試判斷eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符號(hào)是什么？探究提高(1)熟練掌握三角函數(shù)的符號(hào)法則是解決此類題目的關(guān)鍵．(2)由三角函數(shù)符號(hào)判斷角所在象限，在寫角的集合時(shí)，注意終邊相同的角．已知sin2θ<0，且|cosθ|＝－cosθ，則點(diǎn)P(tanθ，cosθ)在第幾象限？題型四扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例4已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？探究提高(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．(3)記住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α(0<α<2π)為圓心角，S是扇形面積．若扇形的面積為定值，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)取到最小值？鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)（1）將下列角化成的形式：①②③（2）將下列角進(jìn)行角度與弧度的換算：①②③④拓展訓(xùn)練拓展訓(xùn)練(1)求函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域；(2)設(shè)θ是第二象限角，試比較sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大?。畬忣}視角(1)求定義域，就是求使3－4sin2x>0的x的范圍．用三角函數(shù)線求解．(2)比較大小，可以從以下幾個(gè)角度觀察：①θ是第二象限角，eq\f(θ,2)是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定．②sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線．③借助三角函數(shù)線比較大?。?guī)范解答解(1)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2). [2分]利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)． [4分](2)∵θ是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)是第一或第三象限的角． [6分](如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得：①當(dāng)eq\f(θ,2)是第一象限角時(shí)，sineq\f(θ,2)＝AB，coseq\f(θ,2)＝OA，taneq\f(θ,2)＝CT，從而得，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)； [8分]②當(dāng)eq\f(θ,2)是第三象限角時(shí)，sineq\f(θ,2)＝EF，coseq\f(θ,2)＝OE，taneq\f(θ,2)＝CT，得sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2). [10分]綜上所得，當(dāng)eq\f(θ,2)在第一象限時(shí)，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)；當(dāng)eq\f(θ,2)在第三象限時(shí)，sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2). [12分]師生小結(jié)師生小結(jié)1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：2.你學(xué)到了什么？1．對(duì)角概念的理解要準(zhǔn)確(1)不少同學(xué)往往容易把“小于90°的角”等同于“銳角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其實(shí)銳角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合為{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．2．對(duì)三角函數(shù)的理解要透徹三角函數(shù)也是一種函數(shù)，它可以看成是從一個(gè)角(弧度制)的集合到一個(gè)比值的集合的函數(shù)，也可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，定義域?yàn)槭贡戎涤幸饬x的角的范圍．如tanα＝eq\f(y,x)有意義的條件是角α終邊上任一點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)不等于零，也就是角α的終邊不能與y軸重合，故正切函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示(1)正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上為正，向下為負(fù)．(2)余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(fù)．(3)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，此時(shí)正切線變成了一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，點(diǎn)T不存在，即正切線不存在．(4)在“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，還可以從圖形角度考察任意角的三角函數(shù)，即用有向線段表示三角函數(shù)值，這是三角函數(shù)與其他基本初等函數(shù)不同的地方．第三課時(shí)任意角和弧度制課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1．若角α和角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角α可以用角β表示為 ()A．2kπ＋β(k∈Z) B．2kπ－β(k∈Z)C．kπ＋β(k∈Z) D．kπ－β(k∈Z)2．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為 ()A．2 B．4 C．6 D．83．有下列命題：①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；②終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；③若sinα>0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 ()A．1B．2C．3D．4二、填空題4．若三角形的兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ<0，則此三角形的形狀為____________．5．已知α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)P(－4m,3m)(m>0)是α終邊上一點(diǎn)，則2sinα＋cosα＝________.6．設(shè)α為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P(m，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)m，則sinα的值為________．三、解答題7．已知sinθ＝eq\f(1－a,1＋a)，cosθ＝eq\f(3a－1,1＋a)，若θ是第二象限角，求實(shí)數(shù)a的值．B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為 ()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)2．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所對(duì)半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A．1 B．2 C．3 D．43．已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)二、填空題4．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域