2024屆河北邢臺一中數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題含解析

2024屆河北邢臺一中數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個2．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.33．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.4．阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積公式，設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，則橢圓的面積公式為，若橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A.或 B.或C.或 D.或5．如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.6．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球7．美學四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學．素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學習幾何體結(jié)構(gòu)素描是學習素描最重要的一步．某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.410．設等差數(shù)列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.11．如下圖，邊長為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為112．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂距離水面6米，水面寬米，若水面下降6米，則水面寬()A.米 B.米C.米 D.米二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側(cè)面積為________14．某班名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為______15．在等比數(shù)列中，，則__________16．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個人要進行一場五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因為其他要事而終止比賽，間，怎么分獎金才公平？18．（12分）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知過點的直線與曲線C相交于兩點，，請問點P能否為線段的中點，并說明理由.19．（12分）為了調(diào)查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了個蘋果.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內(nèi)的概率；（2）從這個蘋果中隨機挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數(shù)為進一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機選出個，記隨機選出的個蘋果中重量在內(nèi)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）2020年3月20日，中共中央、國務院印發(fā)了《關(guān)于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》中確定了勞動教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗，開展服務性勞動、參加生產(chǎn)勞動，使學生熟練掌握一定勞動技能，理解勞動創(chuàng)造價值，具有勞動自立意識和主動服務他人、服務社會的情懷．我市某中學鼓勵學生暑假期間多參加社會公益勞動，在實踐中讓學生利用所學知識技能，服務他人和社會，強化社會責任感，為了調(diào)查學生參加公益勞動的情況，學校從全體學生中隨機抽取100名學生，經(jīng)統(tǒng)計得到他們參加公益勞動的總時間均在15~65小時內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計這100名學生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)（同一組中的每一個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）學校要在參加公益勞動總時間在、這兩組的學生中用分層抽樣的方法選取5人進行感受交流，再從這5人中隨機抽取2人進行感受分享，求這2人來自不同組的概率21．（12分）某消費者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動，著力提升消費者維權(quán)意識，組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務隊，求恰有一名女性的概率.22．（10分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用極值點的定義求解.【詳解】由導函數(shù)的圖象知：函數(shù)在內(nèi)，與x軸有四個交點：第一個點處導數(shù)左正右負，第二個點處導數(shù)左負右正，第三個點處導數(shù)左正右正，第四個點處導數(shù)左正右負，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極大值點有2個，故選：B2、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C3、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進行排列，然后丙、丁從3個空中選2個空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A4、B【解析】根據(jù)題意列出的關(guān)系式，即可求得，再分焦點在軸與軸兩種情況寫出標準方程.【詳解】根據(jù)題意，可得，所以橢圓的標準方程為或.故選：B5、D【解析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解.【詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.6、C【解析】根據(jù)試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C7、A【解析】設圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎題.8、D【解析】先根據(jù)已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當且僅當，即時，等號成立故選：D.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關(guān)鍵是求出，屬常規(guī)考題.9、D【解析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以，故選：B11、D【解析】建立空間直角坐標系，進而根據(jù)空間向量的坐標運算判斷A,B,C；對D，算出平面MON的法向量，進而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則.對A，，則，則A正確；對B，，則，則B正確；對C，，則C正確；對D，設平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選：D.12、B【解析】以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，求出雙曲線方程，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖所示，以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，設雙曲線標準方程為：(a＞0)，則頂點，，將A點代入雙曲線方程得，，當水面下降6米后，，代入雙曲線方程得，，∴水面寬：米.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長l，而側(cè)面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長l＝＝5，∴側(cè)面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學生的空間立體感和運算能力，屬于基礎題14、【解析】將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.15、【解析】設等比數(shù)列的公比為，由題意可知和同號，結(jié)合等比中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比中項的計算，解題時不要忽略了對應項符號的判斷，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【詳解】設與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是；（2）分給分別元，元.【解析】（1）以獲勝、以獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；（2）求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時，的勝率，按照勝率分獎金.【小問1詳解】設以獲勝、以獲勝的事件分別為，依題意要想獲勝，必須從第一局開始連勝局，；要想獲勝，則前局只能勝局，且第局勝利，故概率;【小問2詳解】設前兩局雙方戰(zhàn)成后勝，勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局，或者局只勝場，第局勝，故概率；由于兩人比賽沒有和局，獲勝的概率為，則獲勝的概率為，若勝,則可能連勝局，或者局只勝場，第局勝，故概率.故獎金應分給元，分給元.18、（1）（2）不能，理由見解析.【解析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動點的方程即可求解；（2）先假設點P能為線段的中點，再利用點差法求出直線的斜率，最后聯(lián)立直線與曲線進行檢驗即可.【小問1詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是則等式兩邊平方可得：化簡得曲線C的方程為：【小問2詳解】解：點不能為線段的中點，理由如下：由（1）知，曲線C的方程為：過點的直線斜率為，，因為過點的直線與曲線C相交于兩點，所以，兩式作差并化簡得：①當為的中點時，則，②將②代入①可得：此時過點的直線方程為：將直線方程與曲線C方程聯(lián)立得：，，無解與過點的直線與曲線C相交于兩點矛盾所以點不能為線段的中點【點睛】方法點睛：當圓錐曲線中涉及中點和斜率的問題時，常用點差法進行求解.19、（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望為.【解析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對稱性結(jié)合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.【小問1詳解】解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機采摘個蘋果，該蘋果的重量在內(nèi)的概率為.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機變量的分布列為：所以20、（1），；平均數(shù)為40.2；（2）【解析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因為，所以，所求平均數(shù)為（小時）所以估計這100名學生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動總時間在和的學生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動總時間在和的學生中隨機抽取5人，