四川省合江縣中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

合江中學(xué)高2022級(jí)高二上期第一次月考數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.2.甲?乙兩個(gè)同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸?shù)母怕蕿?.7，則甲?乙下成和棋的概率為（）A.0.5 B.0.7 C.0.9 D.0.4【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【詳解】解：甲不輸包含甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝，且甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝是互斥事件，甲、乙下成和棋的概率．故選：A．3.中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，“二十四節(jié)氣歌”是以“春?夏?秋?冬”開(kāi)始的四句詩(shī)，2016年11月30日，“二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國(guó)教科文組織列入人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，也被譽(yù)為“中國(guó)古代第五大發(fā)明”.從某小學(xué)一年級(jí)隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)“二十四節(jié)氣歌”，只能說(shuō)出兩句的有45人，能說(shuō)出三句或三句以上的有32人，據(jù)此估計(jì)從該校一年級(jí)學(xué)生中抽取一人，對(duì)“二十四節(jié)氣歌”只能說(shuō)出一句或一句也說(shuō)不出的概率約為（）A.0.45 B.0.32 C.0.23 D.0.77【答案】C【解析】【分析】先求出只能說(shuō)出第一句或一句也說(shuō)不出的學(xué)生人數(shù)，可得它所占的比例，即為所求．【詳解】由題意，只能說(shuō)出第一句，或一句也說(shuō)不出的同學(xué)有100﹣45﹣32＝23人，故只能說(shuō)出第一句或一句也說(shuō)不出的學(xué)生占的比例為，故選：C4.三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】詳解】試題分析：考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算5.兩平行平面，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】?jī)善叫衅矫妫謩e經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，，且兩平面的一個(gè)法向量?jī)善矫骈g的距離，故選B.6.從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車(chē)從甲地到乙地，恰好遇到2個(gè)紅燈的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【詳解】由各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：．故選：B．7.先后兩次拋擲同一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用乘法原理求出基本事件總數(shù)，然后按照分類(lèi)討論的方法求出a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由乘法原理可知，基本事件的總數(shù)是36，結(jié)合已知條件可知，當(dāng)時(shí)，符合要求，有1種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有1種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況；當(dāng)時(shí)，均符合要求，有6種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況，所以能構(gòu)成等腰三角形的共有14種情況，故a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的概率.故選：C.8.如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線AF垂直B.直線與平面AEF平行C.平面AEF與底面ABCD的夾角的余弦值為D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量逐一分析計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)判斷作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，棱長(zhǎng)，則，對(duì)于A，，有，則直線與AF不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，令平面的法向量為，則，令，得，而，有，即，平面，則平面，B正確；對(duì)于C，平面的一個(gè)法向量，平面AEF與底面ABCD的夾角為，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則點(diǎn)C到平面距離，點(diǎn)G到平面距離，D不正確.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若干個(gè)人站成排，其中不是互斥事件的是A.“甲站排頭”與“乙站排頭” B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾” D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”【答案】BCD【解析】【分析】互斥事件是不能同時(shí)發(fā)生的事件，因此從這方面來(lái)判斷即可．【詳解】排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B(niǎo)、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時(shí)發(fā)生，因此它們都不互斥．故選BCD．【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概念，判斷是否是互斥事件，就是判斷它們能否同時(shí)發(fā)生，能同時(shí)發(fā)生的就不是互斥事件，不能同時(shí)發(fā)生的就是互斥事件．10.已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.向量與向量共線C.向量關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的向量為D.向量關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的向量為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對(duì)稱(chēng)、面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：因?yàn)?，所以向量與向量共線，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的向量為，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的向量為，故選：ABC11.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且則下列說(shuō)法中正確的有（）A. B.C. D.直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)、夾角、位置關(guān)系等知識(shí)逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案【詳解】以為空間一組基底，,,所以，故A選項(xiàng)正確；所以故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以所以故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)直線BD與AC所成角為，，故所以，故D正確；故選：ABD.12.如圖，在正方體中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若，則平面C.平面截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為D.若，則四面體外接球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)作出平面截正方體所得的截面，計(jì)算出周長(zhǎng)判斷C，由向量中的三點(diǎn)共線定理得出點(diǎn)在上，由與平面的關(guān)系及錐體體積公式判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷是否與平面垂直判斷B，由四面體的外接球與四棱錐的外接球相同，找到外接球球心位置計(jì)算出球半徑得球表面積判斷D．【詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，連接，易得，取的中點(diǎn)，連接，易得，再取的中點(diǎn)，連接，則，所以，則是平面與正方體底面的交線，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于，連接，交于，則，且五邊形即平面交正方體的截面，由是中點(diǎn)且得，又由得，從而可計(jì)算得，所以平面截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤．對(duì)于A，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在上，因?yàn)榕c平面不平行，所以四面體的體積不為定值，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，如圖2，以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，，是平面的一個(gè)法向量，所以平面，故B正確．對(duì)于D，若，則點(diǎn)即點(diǎn)．易知，（由平面可得），同理，即四邊形是矩形，則四面體的外接球與四棱錐的外接球相同，在中，，在圖3四棱錐中，取是中點(diǎn)，則，的外心在上，，則外接圓的半徑為，設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則，同樣由平面，平面，得，而與是平面內(nèi)兩相交直線，因此有平面，同理可證平面，得，作矩形，可得，平面，平面，從而知是四棱錐的外接球的球心，所以四面體外接球的半徑，即四面體外接球的表面積為，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)是作出正方體的截面，為此需要確定該截面與正方體各面的交線，關(guān)鍵是確定截面與正方體相應(yīng)棱的交點(diǎn)，根據(jù)是平面的基本事實(shí)及其推論同時(shí)注意面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用．三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小距5分，共20分．13.在四面體O—ABC中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的基本定理求解即可【詳解】故答案為：14.如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：分別以所在直線軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點(diǎn)：異面直線所成的角15.一個(gè)三位自然數(shù)百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱(chēng)為“有緣數(shù)”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為”有緣數(shù)”的概率是__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個(gè)；同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)；由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)；由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)．由1，2，3組成的三位自然數(shù)，共6個(gè)”有緣數(shù)”．由1，3，4組成的三位自然數(shù)，共6個(gè)”有緣數(shù)”．所以三位數(shù)為”有緣數(shù)”的概率．考點(diǎn)：1．分類(lèi)加法；2．古典概型．16.設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，則，得，所以，，顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于，即，即，解得，因此的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，17題10分，別下每題12分．共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.第屆亞運(yùn)會(huì)將于年月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運(yùn)會(huì)成功舉辦的重要保障，某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值；（2）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取人，然后再?gòu)倪@人中選出人，以確定組長(zhǎng)人選，求選出的兩人來(lái)自不同組的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及題意可得出關(guān)于、的方程組，即可解得這兩個(gè)未知數(shù)的值；（2）分析可知，所抽取的人中，第四組的志愿者人數(shù)為，分別記為、、、，第五組的志愿者人數(shù)為，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知：，解得.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)榈谒?、第五兩組志愿者人數(shù)之比為，在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取人，所抽取的人中，第四組的志愿者人數(shù)為，分別記為、、、，第五組的志愿者人數(shù)為，記為，從這人中選出人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“選出的兩人來(lái)自不同組”所包含的基本事件有：、、、，共種，因此，所求事件的概率為.18.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形證得，進(jìn)而證得平面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求點(diǎn)D到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，，且，于是四邊形為平行四邊形，即，又平面，平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，點(diǎn)D到平面的距離，所以點(diǎn)D到平面距離為.19.某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是0.8，若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止．假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的．（1）求李明第二次答題通過(guò)面試的概率；（2）求李明最終通過(guò)面試的概率．【答案】（1）0.16；（2）0.992.【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式即可.（2）利用獨(dú)立事件、對(duì)立事件概率公式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】李明第二次答題通過(guò)面試的事件為，所以.【小問(wèn)2詳解】李明最終通過(guò)面試的事件為，其對(duì)立事件為3道題都沒(méi)答對(duì)，所以.20.如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的坐標(biāo)運(yùn)算求解方法進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】∵四邊形是正方形，∴．又∵平面平面，平面平面，且平面∴平面．【小問(wèn)2詳解】由，得，∴．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為．則，令，則，∴．，令，則，∴，∴．∴平面與平面夾角的余弦值為．21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E為的中點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）記的中點(diǎn)為N，若M在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2或【解析】【分析】（1）連接，由勾股定理證得，由等腰三角形得性質(zhì)證得，再結(jié)合線面垂直得判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，設(shè)，利用空間向量的夾角公式求出余弦值，進(jìn)而列出方程，解之即可.小問(wèn)1詳解】連接，∵，，∴且∴四邊形為平行四邊形；∵且E為的中點(diǎn)，∴，所以，∴，∴，即，又∵，∴平面【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取設(shè)，則，而，所以，∵平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則化簡(jiǎn)得，解得：或，滿足故線段的長(zhǎng)度為2或．22.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．（1）求證：；（2）若四邊形ACEF為矩形，且，求直線DF與平面DCE所成角的正弦值；（3）若四邊形ACEF為正方形，在線段AF上是否存在點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出線段AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理經(jīng)過(guò)計(jì)算可證得AC⊥CD,然后根據(jù)已知條件，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得CD⊥平面ACEF,從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得AF,AB,AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以射線AB、AD、AF為x,y,z軸，建立空間直角坐