四川省合江縣中學校2023-2024學年高二上學期第一次月考 數(shù)學試題（含解析）

合江中學高2022級高二上期第一次月考數(shù)學試題本試卷滿分150分，考試時間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加減法運算的坐標表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.2.甲?乙兩個同學下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸?shù)母怕蕿?.7，則甲?乙下成和棋的概率為（）A.0.5 B.0.7 C.0.9 D.0.4【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【詳解】解：甲不輸包含甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝，且甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝是互斥事件，甲、乙下成和棋的概率．故選：A．3.中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，“二十四節(jié)氣歌”是以“春?夏?秋?冬”開始的四句詩，2016年11月30日，“二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，也被譽為“中國古代第五大發(fā)明”.從某小學一年級隨機抽查100名學生并提問“二十四節(jié)氣歌”，只能說出兩句的有45人，能說出三句或三句以上的有32人，據(jù)此估計從該校一年級學生中抽取一人，對“二十四節(jié)氣歌”只能說出一句或一句也說不出的概率約為（）A.0.45 B.0.32 C.0.23 D.0.77【答案】C【解析】【分析】先求出只能說出第一句或一句也說不出的學生人數(shù)，可得它所占的比例，即為所求．【詳解】由題意，只能說出第一句，或一句也說不出的同學有100﹣45﹣32＝23人，故只能說出第一句或一句也說不出的學生占的比例為，故選：C4.三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則等于()A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】詳解】試題分析：考點：平面向量數(shù)量積的運算5.兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】兩平行平面，分別經(jīng)過坐標原點和點，，且兩平面的一個法向量兩平面間的距離，故選B.6.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【詳解】由各路口信號燈工作相互獨立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：．故選：B．7.先后兩次拋擲同一個骰子，將得到的點數(shù)分別記為a，b，則a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用乘法原理求出基本事件總數(shù)，然后按照分類討論的方法求出a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由乘法原理可知，基本事件的總數(shù)是36，結(jié)合已知條件可知，當時，符合要求，有1種情況；當時，符合要求，有1種情況；當時，符合要求，有2種情況；當時，符合要求，有2種情況；當時，均符合要求，有6種情況；當時，符合要求，有2種情況，所以能構(gòu)成等腰三角形的共有14種情況，故a，b，5能夠構(gòu)成等腰三角形的概率.故選：C.8.如圖正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，的中點，則（）A.直線與直線AF垂直B.直線與平面AEF平行C.平面AEF與底面ABCD的夾角的余弦值為D.點C與點G到平面AEF的距離相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，再利用空間向量逐一分析計算各個選項判斷作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，棱長，則，對于A，，有，則直線與AF不垂直，A錯誤；對于B，，令平面的法向量為，則，令，得，而，有，即，平面，則平面，B正確；對于C，平面的一個法向量，平面AEF與底面ABCD的夾角為，則，C錯誤；對于D，，則點C到平面距離，點G到平面距離，D不正確.故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若干個人站成排，其中不是互斥事件的是A.“甲站排頭”與“乙站排頭” B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”C.“甲站排頭”與“乙站排尾” D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”【答案】BCD【解析】【分析】互斥事件是不能同時發(fā)生的事件，因此從這方面來判斷即可．【詳解】排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥．故選BCD．【點睛】本題考查互斥事件的概念，判斷是否是互斥事件，就是判斷它們能否同時發(fā)生，能同時發(fā)生的就不是互斥事件，不能同時發(fā)生的就是互斥事件．10.已知空間向量，則下列說法正確的是（）A.B.向量與向量共線C.向量關于軸對稱的向量為D.向量關于平面對稱的向量為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對稱、面對稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以本選項說法正確；B：因為，所以向量與向量共線，因此本選項說法正確；C：設的起點為坐標原點，所以該向量的終點為，因為點關于軸對稱的點的坐標為，所以向量關于軸對稱的向量為，因此本選項說法正確；D：設的起點為坐標原點，所以該向量的終點為，因為點關于平面對稱點的坐標為，所以向量關于平面對稱的向量為，故選：ABC11.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且則下列說法中正確的有（）A. B.C. D.直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的模長、夾角、位置關系等知識逐一對選項進行分析，從而確定正確答案【詳解】以為空間一組基底，,,所以，故A選項正確；所以故B選項錯誤；，所以所以故C選項錯誤；設直線BD與AC所成角為，，故所以，故D正確；故選：ABD.12.如圖，在正方體中，，點分別為的中點，點滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若，則平面C.平面截正方體所得的截面的周長為D.若，則四面體外接球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】由正方體的性質(zhì)作出平面截正方體所得的截面，計算出周長判斷C，由向量中的三點共線定理得出點在上，由與平面的關系及錐體體積公式判斷A，建立空間直角坐標系，利用空間向量法判斷是否與平面垂直判斷B，由四面體的外接球與四棱錐的外接球相同，找到外接球球心位置計算出球半徑得球表面積判斷D．【詳解】如圖1，取的中點，連接，易得，取的中點，連接，易得，再取的中點，連接，則，所以，則是平面與正方體底面的交線，延長，與的延長線交于，連接，交于，則，且五邊形即平面交正方體的截面，由是中點且得，又由得，從而可計算得，所以平面截正方體所得的截面的周長為，故C錯誤．對于A，因為，所以三點共線，所以點在上，因為與平面不平行，所以四面體的體積不為定值，A錯誤．對于B，如圖2，以A為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，則，，是平面的一個法向量，所以平面，故B正確．對于D，若，則點即點．易知，（由平面可得），同理，即四邊形是矩形，則四面體的外接球與四棱錐的外接球相同，在中，，在圖3四棱錐中，取是中點，則，的外心在上，，則外接圓的半徑為，設，取中點，連接，則，同樣由平面，平面，得，而與是平面內(nèi)兩相交直線，因此有平面，同理可證平面，得，作矩形，可得，平面，平面，從而知是四棱錐的外接球的球心，所以四面體外接球的半徑，即四面體外接球的表面積為，D正確．故選：BD．【點睛】難點點睛：本題難點是作出正方體的截面，為此需要確定該截面與正方體各面的交線，關鍵是確定截面與正方體相應棱的交點，根據(jù)是平面的基本事實及其推論同時注意面面平行的性質(zhì)定理的應用．三、填空題：本大題共4個小題，每小距5分，共20分．13.在四面體O—ABC中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的基本定理求解即可【詳解】故答案為：14.如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：分別以所在直線軸，建立空間直角坐標系，設，則，，即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點：異面直線所成的角15.一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為”有緣數(shù)”的概率是__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個；同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個；由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個；由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個．所以共有6＋6＋6＋6＝24個．由1，2，3組成的三位自然數(shù)，共6個”有緣數(shù)”．由1，3，4組成的三位自然數(shù)，共6個”有緣數(shù)”．所以三位數(shù)為”有緣數(shù)”的概率．考點：1．分類加法；2．古典概型．16.設動點在棱長為的正方體的對角線上，記.當為鈍角時，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由題設可知，以為坐標原點，以的方向為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，則，得，所以，，顯然不是平角，所以為鈍角等價于，即，即，解得，因此的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，17題10分，別下每題12分．共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.第屆亞運會將于年月在杭州舉行，志愿者的服務工作是亞運會成功舉辦的重要保障，某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值；（2）在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取人，然后再從這人中選出人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及題意可得出關于、的方程組，即可解得這兩個未知數(shù)的值；（2）分析可知，所抽取的人中，第四組的志愿者人數(shù)為，分別記為、、、，第五組的志愿者人數(shù)為，記為，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由題意可知：，解得.【小問2詳解】解：因為第四、第五兩組志愿者人數(shù)之比為，在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取人，所抽取的人中，第四組的志愿者人數(shù)為，分別記為、、、，第五組的志愿者人數(shù)為，記為，從這人中選出人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“選出的兩人來自不同組”所包含的基本事件有：、、、，共種，因此，所求事件的概率為.18.如圖，在正方體中，E為的中點．（1）求證：平面；（2）求點D到平面的距離．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形證得，進而證得平面.（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，用空間向量求點D到平面的距離.【小問1詳解】在正方體中，，且，于是四邊形為平行四邊形，即，又平面，平面，所以平面【小問2詳解】以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的法向量為，則，令，得，點D到平面的距離，所以點D到平面距離為.19.某高校的入學面試中有3道難度相當?shù)念}目，李明答對每道題目的概率都是0.8，若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的．（1）求李明第二次答題通過面試的概率；（2）求李明最終通過面試的概率．【答案】（1）0.16；（2）0.992.【解析】【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式即可.（2）利用獨立事件、對立事件概率公式計算得解.【小問1詳解】李明第二次答題通過面試的事件為，所以.【小問2詳解】李明最終通過面試的事件為，其對立事件為3道題都沒答對，所以.20.如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，平面平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明;(2)建立空間直角坐標系，利用空間角的坐標運算求解方法進行求解.【小問1詳解】∵四邊形是正方形，∴．又∵平面平面，平面平面，且平面∴平面．【小問2詳解】由，得，∴．建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∴，，．設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為．則，令，則，∴．，令，則，∴，∴．∴平面與平面夾角的余弦值為．21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E為的中點，且．（1）求證：平面；（2）記的中點為N，若M在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2或【解析】【分析】（1）連接，由勾股定理證得，由等腰三角形得性質(zhì)證得，再結(jié)合線面垂直得判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，設，利用空間向量的夾角公式求出余弦值，進而列出方程，解之即可.小問1詳解】連接，∵，，∴且∴四邊形為平行四邊形；∵且E為的中點，∴，所以，∴，∴，即，又∵，∴平面【小問2詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,所以，設平面的法向量為，則，即，取設，則，而，所以，∵平面的法向量為，設直線與平面所成的角為，則化簡得，解得：或，滿足故線段的長度為2或．22.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．（1）求證：；（2）若四邊形ACEF為矩形，且，求直線DF與平面DCE所成角的正弦值；（3）若四邊形ACEF為正方形，在線段AF上是否存在點P，使得二面角的余弦值為？若存在，請求出線段AP的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理經(jīng)過計算可證得AC⊥CD,然后根據(jù)已知條件，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得CD⊥平面ACEF,從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得AF,AB,AD兩兩垂直，以A為原點，以射線AB、AD、AF為x,y,z軸，建立空間直角坐