新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值A(chǔ)級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Paa則X的均值E(X)=()A.2 B.2或12 C.12.[探究點(diǎn)一]若隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則E(ξ)的值為()X012345P2x3x7x2x3xxA.118 B.19 C.203.[探究點(diǎn)二]若隨機(jī)變量X的分布列如下表,則E(5X+4)=()X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.34.[探究點(diǎn)三]今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)數(shù)為X,則E(X)的值為()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.225.[探究點(diǎn)三]甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率為13,乙、丙打中的概率均為t4(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是316,設(shè)X表示甲、乙兩人中中靶的人數(shù),則X的均值是A.14 B.25 C.16.[探究點(diǎn)一]某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目,如果成功,一年后可獲利12%;如果失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是過(guò)去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果:投資成功投資失敗192例8例則該公司一年后估計(jì)可獲收益的均值是.

7.[探究點(diǎn)二]離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則a=,b=.

8.[探究點(diǎn)三]為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):處罰金額x/元05101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)y8050402010(1)若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率,則處罰10元時(shí)與處罰20元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率的差是多少?(2)若從這5種處罰金額中隨機(jī)抽取2種不同的金額進(jìn)行處罰,在兩個(gè)路口進(jìn)行試驗(yàn).①求這兩種金額之和不低于20元的概率;②若用X表示這兩種金額之和,求X的分布列和均值.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.某船隊(duì)若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元;若不出海也要損失1000元.根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是()A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元10.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,則2a+13A.323 B.283 C.1411.(多選題)已知隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-102Psinsincosα其中α∈0,π2,則下列表述正確的是()A.sinα4+sinαB.cosα=3C.E(ξ)=1D.sinα=312.(多選題)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X的分布列為X012P12p1則下列說(shuō)法正確的是()A.p∈0,12 B.E(X)最大值為32C.p∈0,14 D.E(X)最大值為5213.李老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如表:X123P!?!請(qǐng)小王同學(xué)計(jì)算X的均值,盡管“?”處完全無(wú)法看清,且兩個(gè)“!”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“!”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小王給出了正確答案E(X)=.

14.袋中原有3個(gè)白球和2個(gè)黑球,每次從中任取2個(gè)球,然后放回2個(gè)黑球.設(shè)第一次取到白球的個(gè)數(shù)為ξ,則E(ξ)=,第二次取到1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為.

15.某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽.設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和均值.16.A,B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?每隊(duì)三名隊(duì)員,A隊(duì)隊(duì)員分別是A1,A2,A3,B隊(duì)隊(duì)員分別是B1,B2,B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì),對(duì)陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下.對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1和B121A2和B223A3和B323現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)比賽,勝隊(duì)得1分,負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)A,B兩隊(duì)最后所得總分分別為X,Y.(1)求X,Y的分布列;(2)求E(X),E(Y).C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和均值.參考答案7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.C由分布列的性質(zhì)知,a2+a22=1,解得a=1或所以E(X)=0×12+1×12.C由題可得,2x+3x+7x+2x+3x+x=1,則x=118,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=203.A由題中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故選A.4.B當(dāng)X=0時(shí),P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;當(dāng)X=1時(shí),P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;當(dāng)X=2時(shí),P(X=2)=0.9×0.85=0.765.所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.5.D∵316∴t=3(t=-3舍去).記X的所有可能取值為0,1,2,則分布列為X012P171∴E(X)=0×16+1×712+2×6.4760由題意知,一年后獲利6000元的概率為0.96,獲利-25000元的概率為0.04,故該公司一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760.7.1100易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.①又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②由①②,得a=110,b=08.解(1)由題意可知,處罰10元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率與處罰20元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率的差是40200(2)①設(shè)“兩種金額之和不低于20元”的事件為A,從5種金額中隨機(jī)抽取2種,總的抽選方法共有C52=10種,滿足金額之和不低于20元的有6種,故所求概率P(A)=②根據(jù)條件,X的可能取值為5,10,15,20,25,30,35,分布列為X5101520253035P1111111故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15+30×1109.B出海的期望效益為5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).10.D由題意知均值是2,則3a+2b=2,即3a2則2a+13b=3a2+b2a+13b=3+13+a2b+故2a+111.ABC對(duì)于A,由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì),得sinα4+sinα對(duì)于B,由sinα4+sinα4+cosα=1,得sin聯(lián)立sinα=2-2cosα,sin2α+co解得cosα=35或cosα=1(舍去對(duì)于D,因?yàn)棣痢?,π2,則sinα=45;對(duì)于C,E(ξ)=-sinα4+2cosα=-14×4512.AB由表可得0≤12-p≤12均值E(X)=0×12-p+1×p+2×12=p+1,當(dāng)且僅當(dāng)p=12時(shí),E(X)取最大值,最大值為313.2設(shè)“!”為x,“?”為y,則2x+y=1.E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.14.652750P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31C52=35,P(ξ=第二次取到1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為P=11015.解(1)由題意知,參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為C3因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-1100(2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31×C33C6P(X=3)=C3所以X的分布列為X123P131E(X)=1×15+2×35+3×1516.解(1)X的可能取值分別為3,2,1,0,則P(X=3)=23×25×25=875,P(X=2)=23×25×根據(jù)題意,X+Y=3,則P(Y=0)=P(X=3)=875P(Y=1)=P(X=2)=2875P(Y=2)=P(X=1)=25P(Y=3)=P(X=0)=325故X的分布列為X0123P32288Y的分布列為Y3210P32288(2)E(X)=3×875+2×2875+1×25+因?yàn)閄+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=231517.解記E=“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”,F=“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設(shè)知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E與F,E與F,E(1)記H=“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”,則H