關(guān)于方程1,1的兩個根

關(guān)于方程1,1的兩個根

1考察方程11.1使用交換代數(shù)s，定義s，os是s的單位元或零元。當s為滿足s時。aα2+bα+cIs=Os(a,b,c∈R)則稱α是交換代數(shù)S中二次方程ax2+bx+cIs=Os(1)的一個根。設(shè)Δ=b2-4ac,對于方程(1),(i)當Δ=b2-4ac>0時,作代換x=√Δ2ay-b2aΙsx=Δ√2ay?b2aIs則方程(1)變?yōu)閥2-Is=Os;(2)(ii)當Δ=b2-4ac<0時,作代換X=√-Δ2ay-b2aΙsX=?Δ√2ay?b2aIs則方程(1)變?yōu)閥2+Is=Os;(3)(iii)當Δ=b2-4ac=0時,作代換X=y-b2aΙsX=y?b2aIs則方程(1)變?yōu)閥2=Os。(4)于是,考察方程(1)在S中的根,可轉(zhuǎn)化為考察方程(2)或(3)或(4)中的根。定義1.2在交換代數(shù)S中,滿足方程(2)、(3)與(4)的元素,依次稱為S的自逆元、反自逆元與自共軛零因子。S中的全體自逆元所成集、全體反自逆元所成集與全體自共軛零因子所成集依次記為U,V與W。于是,求方程(1)在S中的根,可轉(zhuǎn)化為求S中的自逆元集U,或反自逆元集V,或自共軛零因子集W。2發(fā)酵參數(shù)定理2.1在交換代數(shù)S中,若u∈U,v∈V,w∈W,則-u∈U,-v∈V,-w∈W。(證明略)定理2.2交換代數(shù)S中二次方程ax2+bx+cIs=Os的求根公式為X={-bΙs+√Δu2a?Δ＞0；-bΙs+√-Δv2a?Δ＜0；-bΙs2a+w?Δ=0。X=??????????bIs+Δ√u2a?Δ＞0；?bIs+?Δ√v2a?Δ＜0；?bIs2a+w?Δ=0。其中,u∈U,v∈V,w∈W,Δ=b2-4ac。證明(i)當Δ=b2-4ac>0時,X=-bΙs+√Δu2a(u∈U)X=?bIs+Δ√u2a(u∈U),顯然是滿足方程(1)。反之,設(shè)X=α∈S是方程(1)的一個根,則y=2a√Δα+b√ΔΙsy=2aΔ√α+bΔ√Is是方程(2)的一個根。即(2a√Δα+b√ΔΙs)2-Ιs=Οs,(2aΔ√α+bΔ√Is)2?Is=Os,則2a√Δα+b√ΔΙs=u(u∈U),2aΔ√α+bΔ√Is=u(u∈U),所以α=-bΙs+√Δu2a(u∈U)α=?bIs+Δ√u2a(u∈U)。(ii)當Δ=b2-4ac<0時,X=-bΙs+√-Δv2a(v∈V)X=?bIs+?Δ√v2a(v∈V)是方程(1)的根;反之,設(shè)X=α∈S是方程(1)的一個根,則y=2a√-Δα+b√-ΔΙsy=2a?Δ√α+b?Δ√Is是方程(3)的一個根,即(2a√-Δα+b√-ΔΙs)2+Ιs=Οs,(2a?Δ√α+b?Δ√Is)2+Is=Os,則2a√-Δα+b√-ΔΙs=v(v∈V),2a?Δ√α+b?Δ√Is=v(v∈V),所以α=-bΙs+√-Δv2a(v∈V)α=?bIs+?Δ√v2a(v∈V)。(iii)當Δ=b2-4ac=0時,顯然X=-b2aΙs+w(w∈W)X=?b2aIs+w(w∈W)是方程(1)的根。反之,若X=α∈S是方程(1)的根,則y=α+b2aΙsy=α+b2aIs是方程(4)的根.即(α+b2aΙs)2=Οs,(α+b2aIs)2=Os,則α+b2aΙs=w(w∈W),α+b2aIs=w(w∈W),所以α=-b2aΙs+w(w∈W)α=?b2aIs+w(w∈W)。證畢。例求交換代數(shù)中,二次方程ax2+bx+cIs=Os的根。(i)當Δ>0時,二次方程(1)在S中有4個根:X1=-b2a(1001)+√Δ2a(1001)=-b+√Δ2a(1001)?X2=-b2a(1001)+√Δ2a(-1001)?X3=-b2a(1001)+√Δ2a(100-1)?X4=-b2a(1001)+√Δ2a(-100-1)?X1=?b2a(1001)+Δ√2a(1001)=?b+Δ√2a(1001)?X2=?b2a(1001)+Δ√2a(?1001)?X3=?b2a(1001)+Δ√2a(100?1)?X4=?b2a(1001)+Δ√2a(?100?1)?(ii)當Δ<0時,方程(1)在S中有4個根:X1=-b2a(1001)+√-Δ2a(i00i)X2=-b2a(1001)+√-Δ2a(-i00i)X3=-b2a(1001)+√-Δ2a(i00-i)X4=-b2a(1001)+√-Δ2a(-i00-i)X1=?b2a(1001)+?Δ√2a(i00i)X2=?b2a(1001)+?Δ√2a(?i00i)X3=?b2a(1001)+?Δ√2a(i00?i)X4=?b2a(1001)+?Δ√2a(?i00?i)(iii)當Δ=0時,方程(1)在S中有二重根:X1=X2=-b2a(1001)X1=X2=?b2a(1001)。定理2.3若交換代數(shù)S中有非零冪零元,則當Δ=0時,二次方程ax2+bx+cIs=Os在S中有無窮多根。證明設(shè)OS≠α∈S的冪零元,冪零指數(shù)為T(≥2