高二上學(xué)期數(shù)學(xué)周測(cè)試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)周測(cè)（2）一、單選題1．如圖，在四面體中，，，.點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（

）

A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)B，則B的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．3．已知正方形的邊長(zhǎng)為4，平面，，E是中點(diǎn)，F(xiàn)是靠近A的四等分點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在棱CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，滿足平面，則線段PQ的最小值為（

）

A． B．1 C． D．5．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．76．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)

①的最小值為1②四面體的體積為③存在無(wú)數(shù)條直線與垂直④點(diǎn)為所在邊中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球半徑為A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．8．如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（

）

A． B． C．4 D．2二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是10．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，為上靠近的四等分點(diǎn)，為上靠近的四等分點(diǎn)，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最小值為 B．三棱錐的體積為定值C．平面 D．直線與平面所成角的正弦值為11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點(diǎn)，則（

）

A． B．平面BEFC．直線AB交平面EFC于點(diǎn)P，則 D．點(diǎn)到平面BEF的距離為12．若正方體的棱長(zhǎng)為，是中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面B．到平面的距離為C．平面和底面所成角的余弦值為D．若此正方體每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形三、填空題13．設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為.14．已知空間向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)是.15．已知直線l的一個(gè)方向向量為，若點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，為直線l上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離為.16．如圖，在三棱錐中，平面，，，，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為.答案第=page1313頁(yè)，共=sectionpages1414頁(yè)答案第=page1414頁(yè)，共=sectionpages1414頁(yè)參考答案：1．B【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算直接求解即可.【詳解】連接，

.故選：B.2．B【分析】利用空間直角坐標(biāo)系定義即可求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)故選：B3．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，依題意，則有，，，，，故，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，所以，取，得，，于是，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C.4．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，根據(jù)線面垂直得到方程組，求出，，從而求出，得到線段PQ的最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，故，，故，其中，故，故?dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足要求，所以線段PQ的最小值為.

故選：A5．A【分析】根據(jù)，設(shè)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，從而得到答案.【詳解】由，設(shè)，則，解得：，，，所以，故選：A.6．B【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A;由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B;根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C;利用坐標(biāo)法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.【詳解】對(duì)于A:因?yàn)槭钦襟w，所以平面,平面,又因?yàn)槠矫?平面,所以,，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為1，故A正確;對(duì)于B,因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面所以平面，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，所以所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,連接，因?yàn)槠矫?，平面，?所以，又平面，所以平面，當(dāng)不在線段端點(diǎn)時(shí)，過(guò)作交于，過(guò)作交于，平面交線段于,

因?yàn)槠矫?，平?故平面，同理平面,又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以存在無(wú)數(shù)條直線，故C正確;對(duì)于D,如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,

則的外接圓的半徑為所以可得等腰的外接圓圓心為,設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，可得,解得，所以四面體的外接球的半徑為故D錯(cuò)誤.故選:AC.7．D【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8．C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.9．AC【分析】A：利用共線向量定義進(jìn)行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設(shè)平面的法向量為，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】對(duì)于A：，與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；對(duì)于C：，∴，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，故D正確．故選：AC．10．BC【分析】連接，，取上靠近的四等分點(diǎn)，連接，，，說(shuō)明點(diǎn)的軌跡為線段，即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷C；求出及點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可求出線面角，即可判斷D.【詳解】如圖，連接，，取上靠近的四等分點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，，所以，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槊嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面，由題知平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，由，在等腰中，當(dāng)時(shí)線段的長(zhǎng)度最小，且，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵為定值，到平面的距離等于平面的距離，即，由等體積法，∴，故三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，C正確；對(duì)于D，，則，即，點(diǎn)到平面的距離為4，故直線與平面所成角的正弦值為，D錯(cuò)誤．故選：BC.

11．BCD【分析】對(duì)于ABD，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個(gè)分析判斷即可，對(duì)于C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點(diǎn)，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，所以B正確，對(duì)于C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，因?yàn)镕為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椤?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，

對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面BEF的距離為，所以D正確，故選：BCD

12．ACD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABC選項(xiàng)；分析可知平面可與平面平行或重合，作出截面圖形，可判斷D選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，對(duì)于A選項(xiàng)，，，，所以，，，所以，，，又因?yàn)?，、平面，因此，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因?yàn)?，則點(diǎn)到平面的距離為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，易知平面的一個(gè)法向量為，，所以，平面和底面所成角的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，取三棱錐，則，且、、兩兩垂直，易知點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為等邊的中心，設(shè)、、與平面所成的角分別為、、，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，，所以，，又因?yàn)椤?、，故，即、、與平面所成角相等，因?yàn)檎襟w每條棱所在直線與平面所成的角都相等，若平面與平面平行或重合時(shí)，平面截此正方體所得截面的圖形如下面兩幅圖所示，截面分別為三角形、六邊形，

則平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，若平面在其它位置且與正方體各棱所在直線所成角相等時(shí)，同理可知，平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.13．/【分析】由列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：14．【分析】由投影向量的定義結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【