2024屆浙江省諸暨市暨陽(yáng)初中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

2024屆浙江省諸暨市暨陽(yáng)初中數(shù)學(xué)高二上期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.2．曲線與曲線的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值4．連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對(duì)立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為5．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則為（）A. B.C. D.6．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.7．點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.18．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．設(shè)，，則與的等比中項(xiàng)為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.11．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.2 B.C. D.812．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，高為1，則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為5，若，那么△的周長(zhǎng)是______.15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則___________.16．在中，，，，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)D為圓心且與直線l相切的圓的方程18．（12分）已知函數(shù).(I)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求的值；(II)若,求的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）雙曲線的離心率為2，經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被C所截得的弦長(zhǎng)為12.（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B是C上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程.21．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求在上的最小值.22．（10分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B2、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為,焦距為,故選：D3、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞減，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.4、D【解析】計(jì)算出事件“t＝12”的概率可判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念，可判斷C；計(jì)算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判斷D；【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對(duì)立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；故選：D5、B【解析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B6、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題7、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.8、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B9、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與的等比中項(xiàng)為.故選：C.10、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C11、C【解析】由斜二測(cè)還原圖形計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.還原原圖形如圖：則，則.故選：C12、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計(jì)算兩個(gè)底面的面積，再由體積公式計(jì)算即可.【詳解】上底面的面積為，下底面的面積為，則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積為.故答案為：14、16【解析】利用橢圓的定義可知，又△的周長(zhǎng)，即可求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng).【詳解】由橢圓定義知：，所以△的周長(zhǎng)為.故答案為：16.15、或##或【解析】根據(jù)向量平行時(shí)坐標(biāo)的關(guān)系和向量的模公式即可求解.【詳解】，且，設(shè)，，解得，或.故答案為：或.16、【解析】可知B對(duì)的邊最大，再用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對(duì)的邊最大，因?yàn)?，，所以?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得；（2）由（1）可得，再利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點(diǎn)，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意可得得到關(guān)于的方程組，解得；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為解得（Ⅱ）令,得或.因?yàn)?所以時(shí)，；時(shí)，.故在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得的方程.（2）結(jié)合點(diǎn)差法求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃的離心率為2，所以，可得.將代入可得，由題設(shè).解得，，，所以C的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，.因此，即.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，從而，于是直線AB的方程是.21、（1）；（2）.【解析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；(2）根據(jù)極值點(diǎn)求出的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最小值.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴∴∴在處的切線為，即；【小問(wèn)2詳解】∵，由題可知，∴，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∵，，∴.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，在平面中找到即可證明（2）建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值求出面面夾角的余弦值【小問(wèn)1詳解】證明