2023-2024學年河南省信陽市息縣培優(yōu)聯(lián)盟校八年級（上）適應性數(shù)學試卷（一）(含解析)

2023-2024學年河南省信陽市息縣培優(yōu)聯(lián)盟校八年級第一學期適應性數(shù)學試卷（一）一、選擇題（每小題3分，共30分）1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C2．如圖，∠C、∠1、∠2之間的大小關系是（）A．∠1＜∠2＜∠C B．∠2＞∠1＞∠C C．∠C＞∠1＞∠2 D．∠1＞∠2＞∠C3．如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．∠BAD＝∠CDE C．DA平分∠BDE D．AC＝DE4．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條角平分線的交點 C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三邊的中垂線的交點5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，則下列條件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DF C．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF6．如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線，這條射線就是角的平分線，在這個操作過程中，運用了三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS7．如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°8．正多邊形每一個外角都等于36°，則從此多邊形一個頂點出發(fā)可引的對角線的條數(shù)是（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條9．如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF交于同一點G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分面積是（）A．3 B．4 C．5 D．610．如圖，任意畫一個∠BAC＝60°的△ABC，再分別作△ABC的另外兩個角的角平分線BE和CD，BE、CD相交于點P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正確的結(jié)論有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個二、填空題（每小題3分，共15分）11．一個三角形的三邊長分別是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周長不超過12cm，則x的取值范圍是．12．如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠ACD＝80°，則∠EAD＝．13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝100°，點D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點A落在BC上的點E處，若∠EDC＝23°，則∠C的度數(shù)為．14．如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面積是．15．如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，點E在線段AD上，且AE＝6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上，以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，v的值為．三、解答題（共75分）16．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，AH是△ABC邊BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求∠BAH的度數(shù)．18．如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的角平分線交AC于點G（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面積為18，求△CBG的面積．19．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點F，且AB＝CF．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．20．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一條直線上．求證：（1）BD＝CE．（2）BD⊥CE．21．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC．（2）寫出AB+AC與AE之間的等量關系，并說明理由．22．已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點E在邊AB上，連接DE、CE，∠EDA＝∠EDC．（1）如圖1，若CE平分∠BCD，求證：AD+BC＝DC；（2）如圖2，若E為AB中點，求證：CE平分∠BCD．23．問題背景：（1）如圖①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，求證：DE＝BD+CE．拓展延伸：（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關系．（不需要證明）實際應用：（3）如圖③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標為（﹣2，0），點A的坐標為（﹣6，3），請直接寫出B點的坐標．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀．解：A選項，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項，不符合題意；D選項，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】注意直角三角形中有一個內(nèi)角為90°．2．如圖，∠C、∠1、∠2之間的大小關系是（）A．∠1＜∠2＜∠C B．∠2＞∠1＞∠C C．∠C＞∠1＞∠2 D．∠1＞∠2＞∠C【分析】由三角形外角定理知∠1＞∠2，由三角形內(nèi)角和定理和鄰補角的定義來比較∠2與∠C的大?。猓喝鐖D，∵∠1＝∠3+∠2，∴∠1＞∠2．∵∠2＝180°﹣∠5，∠C＝180°﹣∠4﹣∠5，∴∠2＞∠C，∴∠1＞∠2＞∠C．故選：D．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)．三角形外角的性質(zhì)是：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．3．如圖，若△ABC≌△ADE，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．∠BAD＝∠CDE C．DA平分∠BDE D．AC＝DE【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐個判斷即可．解：A．∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，故本選項不符合題意；B．∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E，∵∠AOE＝∠DOC，∠E+∠CAE+∠AOE＝180°，∠C+∠COD+∠，CDE＝180°，∴∠CAE＝∠CDE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝∠CDE，故本選項不符合題意；C．∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∴∠BDA＝∠ADE，∴AD平分∠BDE，故本選項不符合題意；D．∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)是解此題的關鍵，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等．4．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條角平分線的交點 C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三邊的中垂線的交點【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點．故選：B．【點評】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)在實際生活中的應用．主要利用了利用了角平分線上的點到角兩邊的距離相等．5．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，則下列條件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DF C．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF【分析】針對選項提供的已知條件，結(jié)合直角三角形全等的判定方法對選項逐一驗證，其中B雖是兩邊相等，但不是對應邊對應相等，也不能判定三角形全等．解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；B、當∠A＝∠D＝90°時，AC與EF不是對應邊，不能判定△ABC和△DEF全等；C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL．做題時要認真驗證各選項是否符合全等要求．6．如圖是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線，這條射線就是角的平分線，在這個操作過程中，運用了三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】根據(jù)題目所給條件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，進而得到∠DAC＝∠BAC．解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，∴AC就是∠DAB的平分線．故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．如圖，△ABC中，∠C＝70°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．360° B．250° C．180° D．140°【分析】先利用三角形內(nèi)角與外角的關系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．8．正多邊形每一個外角都等于36°，則從此多邊形一個頂點出發(fā)可引的對角線的條數(shù)是（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【分析】利用多邊形的外角和是360°，多邊形的每個外角都是36°，即可求出這個多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線可求答案．解：360°÷36°＝10，10﹣3＝7．故這個正多邊形從一個頂點出發(fā)可以作的對角線條數(shù)是7．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形的對角線，多邊形的外角和定理，n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線．9．如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF交于同一點G，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．解：方法1：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S陰影＝S△CGE+S△BGF＝4．方法2：設△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，S6，根據(jù)中線平分三角形面積可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②，由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故陰影部分的面積為4．故選：B．【點評】考查了三角形的重心，三角形的面積，根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積＝△BGD的面積＝△CGD的面積，△AGF的面積＝△AGE的面積＝△CGE的面積．10．如圖，任意畫一個∠BAC＝60°的△ABC，再分別作△ABC的另外兩個角的角平分線BE和CD，BE、CD相交于點P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC，其中正確的結(jié)論有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出∠BPC的度數(shù)，①正確；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，過點P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由角平分線的性質(zhì)可知AP是∠BAC的平分線，②正確；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四邊形內(nèi)角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE，④正確；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，⑤正確；即可得出結(jié)論．解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，①正確；∵∠BPC＝120°，∴∠DPE＝120°，過點P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴AP是∠BAC的平分線，②正確；∴PF＝PG＝PH，∵∠BAC＝60°，∠AFP＝∠AGP＝90°，∴∠FPG＝120°，∴∠DPF＝∠EPG，在△PFD與△PGE中，，∴△PFD≌△PGE（ASA），∴PD＝PE，④正確；在Rt△BHP與Rt△BFP中，，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，兩式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，∵DF＝EG，∴BC＝BD+CE，⑤正確；沒有條件得出AD＝AE，③不正確；故選：B．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．一個三角形的三邊長分別是xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周長不超過12cm，則x的取值范圍是1＜x≤3．【分析】根據(jù)三角形的三邊關系以及周長不超過12cm，可列出不等式組進行求解．解：根據(jù)題意，可得，解不等式組，得：1＜x≤3．故答案為：1＜x≤3．【點評】本題主要考查了三角形的三邊關系，根據(jù)題意列出不等式組是解題關鍵．12．如圖，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠ACD＝80°，則∠EAD＝65°．【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)，求得∠BAC的度數(shù)，可得∠CAE的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠CAE，即可求解．解：∵∠B＝30°，∠ACD＝80°，∴∠B+∠BAC＝80°，∴∠BAC＝50°，∴∠CAE＝180°﹣∠BAC＝130°，∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝＝65°，故答案為：65°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝100°，點D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點A落在BC上的點E處，若∠EDC＝23°，則∠C的度數(shù)為28.5°．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠A＝∠BED，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)得出∠C+23°+∠C＝80°即可．解：∵∠ABC＝100°，∴∠A+∠C＝180°﹣100°＝80°，由翻折變換可知，∠A＝∠BED，∵∠BED＝∠C+∠EDC＝∠C+23°，∴∠A＝∠C+23°，∴∠C+23°+∠C＝80°，即∠C＝28.5°，故答案為：28.5°．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，掌握翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和是180°是正確解答的前提．14．如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面積是42．【分析】過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE＝OD＝OF＝4，根據(jù)△ABC的面積等于△ACO的面積、△BCO的面積、△ABO的面積的和，即可求出答案．解：過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝4，∴△ABC的面積是：S△AOB+S△AOC+S△OBC＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD＝×4×（AB+AC+BC）＝×4×21＝42，故答案為：42．【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)，三角形的面積，主要考查學生運用定理進行推理的能力．15．如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，點E在線段AD上，且AE＝6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上，以vcm/s的速度由點B向點C運動，當△EAP與△PBQ全等時，v的值為2或．【分析】當△EAP與PBQ全等時，有兩種情況：①當EA＝PB時，△APE≌△BQP，②當AP＝BP時，△AEP≌△BQP，分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問題的基本數(shù)量關系求解即可．【解答】當△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當EA＝PB時，△APE≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，∴BQ＝AP＝4cm；∵動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，∴點P和點Q的運動時間為：4÷2＝2s，∴v的值為：4÷2＝2cm/s；②當AP＝BP時，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB＝10cm，AE＝6cm，∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，∵5÷2＝2.5s，∴2.5v＝6，∴v＝?故答案為：2或．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，數(shù)形結(jié)合、分類討論并熟練掌握相關性質(zhì)及定理是解題的關鍵．三、解答題（共75分）16．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，AH是△ABC邊BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求∠BAH的度數(shù)．【分析】由直角三角形的兩銳角互余即可求解∠HAC，根據(jù)∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC，即可得解．解：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°，∴∠ACD＝∠ACB＝35°，∵∠ADC＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；∵AH⊥BC，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的高的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的角平分線交AC于點G（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面積為18，求△CBG的面積．【分析】（1）根據(jù)作角平分線的基本作法作圖；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解．解：（1）如圖：AG即為所求；（2）過G作GE⊥AB，GF⊥BC，∵BG平分∠ABC，∴EG＝FG，∵S△ABG：S△BCG＝AB：BC＝8：12＝18：S△BCG，∴△CBG的面積為27．【點評】本題考查了基本作圖，掌握基本的尺規(guī)作圖和三角形的面積公式是解題的關鍵．19．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點F，且AB＝CF．（1）求證：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得出∠ADB＝∠CDF，再根據(jù)同角的余角相等得出∠BAD＝∠FCD，然后由AAS證明△ABD≌△CFD即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BD＝DF，再根據(jù)線段的和差即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，∴∠BAD＝∠FCD，在△ABD和△CFD中∴△ABD≌△CFD（AAS），（2）解：∵△ABD≌△CFD（AAS），∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴DF＝BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的應用，證明三角形全等是解決問題的關鍵，屬于中考?？碱}型．20．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一條直線上．求證：（1）BD＝CE．（2）BD⊥CE．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AB＝AC、AD＝AE，由∠BAC＝∠DAE＝90°可得出∠BAD＝∠CAE，由此即可證出△BAD≌△CAE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BD＝CE；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ABC＝∠ACB＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠ACE＝∠ABC＝45°，進而即可得出∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即BD⊥CE．【解答】證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴BD⊥CE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS證出△BAD≌△CAE；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)找出∠ACB＝∠ACE＝45°．21．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC．（2）寫出AB+AC與AE之間的等量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．【解答】證明：（1）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE與△CDE均為直角三角形，∵在Rt△BDE與Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．理由：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED與△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（ASA），∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知角平分線的性質(zhì)及其逆定理是解答此題的關鍵．22．已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點E在邊AB上，連接DE、CE，∠EDA＝∠EDC．（1）如圖1，若CE平分∠BCD，求證：AD+BC＝DC；（2）如圖2，若E為AB中點，求證：CE平分∠BCD．【分析】（1）過點E作EG⊥CD于G，利用AAS證明△DAE≌△DGE，得到GD＝AD，再利用AAS證明△BCE≌△GCE，得到CG＝BC，即可解決問題；（2）過點E作EM⊥CD于M，利用AAS證明△DAE≌△DME，得到AE＝ME，再利用HL證明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到∠BCE＝∠MCE，即可解決問題．【解答】證明：（1）如圖1，過點E作EG⊥CD于G，則∠DGE＝∠CGE＝90°＝∠A，在△DAE和△DGE