北京市東城區(qū)東直門中學2023-2024學年數學高二上期末教學質量檢測試題含解析

北京市東城區(qū)東直門中學2023-2024學年數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數列滿足，，則（）A.21 B.42C.63 D.842．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知二次函數交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.4．已知函數，若，，則實數的取值范圍是A. B.C. D.5．已知等差數列的前項和為，，，當取最大時的值為（）A. B.C. D.6．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據以上數據，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠里程的眾數小于B類輪胎行駛的最遠里程的眾數B.A類輪胎行駛的最遠里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠里程的平均數大于B類輪胎行駛的最遠里程的平均數D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定7．攢（cuán）尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個圓錐，其軸截面（過圓錐軸的截面）是底邊長為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂的面積約為（）A. B.C. D.8．展開式的第項為（）A. B.C. D.9．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或10．已知直線，若異面，，則的位置關系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面11．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.12．已知橢圓的兩焦點分別為，，P為橢圓上一點，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國南北朝時期的數學家祖暅提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為________.14．美好人生路車站早上有6：40，6：50兩班開往A校的公交車，若李華同學在早上6：35至6：50之間隨機到達該車站，乘開往A校的公交車，公交車準時發(fā)車，則他等車時間不超過5分鐘的概率為______15．已知點P在圓上，已知，，則的最小值為___________.16．圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列的公差，前3項和，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.18．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；q：當時，函數恒成立.（1）若p為真，求實數t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實數t的取值范圍19．（12分）已知函數.（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在上是增函數，求實數的最大值.20．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優(yōu)惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：乘坐站數票價（元）246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？21．（12分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點P為棱的中點，點Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長22．（10分）已知數列，，其中，是各項均為正數的等比數列，滿足，，且（1）求數列，的通項公式；（2）設，求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設等比數列公比為q，根據給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D2、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變?yōu)榈淖钚≈祮栴}，數形結合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為.故選：D3、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C4、A【解析】函數，若，，可得，解得或，則實數的取值范圍是，故選A.5、B【解析】由已知條件及等差數列通項公式、前n項和公式求基本量，再根據等差數列前n項和的函數性質判斷取最大時的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當時，取最大值.故選：B6、D【解析】根據眾數、極差、平均數和方差的定義以及計算公式即可求解.【詳解】解：對A：A類輪胎行駛的最遠里程的眾數為99，B類輪胎行駛的最遠里程的眾數為95，選項A錯誤；對B：A類輪胎行駛的最遠里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠里程的極差為14，選項B錯誤對C：A類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，B類輪胎行駛的最遠里程的平均數為，選項C錯誤對D：A類輪胎行駛的最遠里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項D正確故選：D.7、B【解析】由軸截面三角形，根據已知可得圓錐底面半徑和母線長，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側面積.故選：B8、B【解析】由展開式的通項公式求解即可【詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B9、B【解析】根據圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標準方程為：，則圓心為，半徑為，因為圓與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B10、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關系是相交或異面.故選：D11、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.12、B【解析】根據橢圓定義和余弦定理解得，結合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為r，因為圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：14、【解析】根據題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】由題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達，則所求概率.故答案為：.15、【解析】推導出極化恒等式，即，結合最小值為，求出最小值.【詳解】由題意，取線段AB中點，則，，兩式分別平方得：①，②，①－②得：，因為圓心到距離為，所以最小值為，又，故最小值為：.故答案為：16、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由，且成等比數列列式求解出和，然后寫出；（2）由，用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）∵，∴①又∵成等比數列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴兩式相減，得∴【點睛】本題考查了等差數列基本量的計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】(1)由給定條件結合橢圓標準方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結的命題為真命題求解作答.【小問1詳解】因方程所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實數t的取值范圍是.【小問2詳解】，則有，當且僅當，即時取“=”，即，因當時，函數恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因為假命題，且為真命題，則與一真一假，當p真q假時，，當p假q真時，，所以實數t的取值范圍是.19、（1）；（2）.【解析】（1）先對函數求導，再根據在處的切線斜率可得到參數的值，然后代入，求出的值，則即可得出；（2）根據函數在上是增函數，可得，即恒成立，再進行參變分離，構造函數，對進行求導分析，找出最小值，即實數的最大值【詳解】解：（1）由題意，函數.故，則，由題意，知，即.又，則.，即..（2）由題意，可知，即恒成立，恒成立.設，則.令，解得.令，解得.令，解得x.在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值..，故的最大值為.【點睛】本題主要考查利用某點處的一階導數分析得出參數的值，參變量分離方法的應用，不等式的計算能力．本題屬中檔題20、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據共付費6元得一人付費2元一人付費4元，再確定人與乘坐站數，即可得結果；（2）先根據共付費8元得一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數.【小問1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問2詳解】甲、乙兩人共付費8元，則甲、乙一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元；當甲付費2元，乙付費6元時，甲乘坐站數有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數有8，9，10，11，12五種選擇，此時，共有35=15（種）方案；當兩人都付費4元時，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.21、（1），（2）【解析】（1）推導出，以A為原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長【詳解】解（1）在直四棱柱中，因為平面，平面，平面，所以因為，所以以A為原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以,所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，因為平面，所以平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以二面角的余弦值為（2）設，則，因為點為的中點，所以，則，設平面一個法向量為，