安徽省阜陽(yáng)市潁州區(qū)阜陽(yáng)三中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

安徽省阜陽(yáng)市潁州區(qū)阜陽(yáng)三中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.322．我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.3．如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.4．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.5．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.6．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-17．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.8．在等比數(shù)列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-329．設(shè)，，且，則等于（）A. B.C. D.10．設(shè)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.5C.8 D.1011．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.2412．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)_________.14．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)，．若，則弦AB的長(zhǎng)是____15．已知向量，若，則實(shí)數(shù)___________.16．中國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿三進(jìn)一，用來(lái)記錄每年進(jìn)的錢(qián)數(shù).由圖可得，這位古人一年的收入的錢(qián)數(shù)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某地從今年8月份開(kāi)始啟動(dòng)12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作，共有8千人需要接種疫苗.前4周的累計(jì)接種人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：前x周1234累計(jì)接種人數(shù)y（千人）2.5344.5（1）求y關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預(yù)計(jì)該地第幾周才能完成疫苗接種工作?參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，18．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.19．（12分）已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)T，求證：21．（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，橢圓右焦點(diǎn)也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經(jīng)過(guò)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值22．（10分）如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)和為方程兩根，得到，然后再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楹蜑榉匠痰膬筛?，所以，又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：C2、D【解析】先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，，，，總結(jié)一般性的規(guī)律，將一般性的數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解【詳解】解：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題3、B【解析】先用向量與表示，然后用向量表示向量與，即可得解【詳解】解：為的中點(diǎn)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D5、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.6、C【解析】先通過(guò)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.7、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運(yùn)算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B8、C【解析】首先根據(jù)a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C9、A【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.10、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得：，結(jié)合雙曲線的方程可得答案.【詳解】由雙曲線可得根據(jù)雙曲線的定義可得：故選：C11、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B12、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，即c=3，又橢圓的短軸長(zhǎng)為8，即b=4，所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的左頂點(diǎn)為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求得圓心到直線的距離，結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：14、4【解析】由題意得，再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得，由拋物線的定義知：，故答案為：4.15、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：216、25【解析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制計(jì)算，即可求解【詳解】解：由題意可得，從左到右的數(shù)字依次為221，即古人一年的收入的錢(qián)數(shù)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）預(yù)計(jì)第9周才能完成接種工作【解析】（1）利用最小二乘法原理求解即可；（2）解方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：由表中數(shù)據(jù)得，，，，.所以所以y關(guān)于的線性回歸方程為.【小問(wèn)2詳解】解：令，解得.所以預(yù)計(jì)第9周才能完成接種工作.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問(wèn)題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，欲證，只須證，再用向量數(shù)量積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問(wèn)2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則∴，，∴，∴.19、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，與的距離即為點(diǎn)M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABDE面積取得最大值為6．20、（1）1（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過(guò)韋達(dá)定理證明直線和的斜率相等即可.【小問(wèn)1詳解】由點(diǎn)在橢圓E上，得：又，即解得：【小問(wèn)2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會(huì)平行設(shè)直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設(shè)直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系（2）涉及到直線方程時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分21、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，再與橢圓聯(lián)立，，韋達(dá)定理代入，結(jié)合均值不等式即得解【小問(wèn)1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線方程為，由消去得，，設(shè)，，則因，所以或（舍去），所以直線方程為由，消去得，設(shè)，，則設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)