2024屆北京市西城區(qū)41中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)41中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.43．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，點(diǎn)，.若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.A. B.C. D.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.86．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.8．某地為應(yīng)對(duì)極端天氣搶險(xiǎn)救災(zāi)，需調(diào)用A，B兩種卡車，其中A型卡車x輛，B型卡車y輛，以備不時(shí)之需，若x和y滿足約束條件則最多需調(diào)用卡車的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.149．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.10．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的單調(diào)減區(qū)間為B.設(shè)，若對(duì)，使得成立，則C.當(dāng)時(shí)，D.若方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則12．已知曲線，則“”是“C為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)_____14．設(shè)有下列命題：①當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為_(kāi)_______________．（填寫所有真命題的序號(hào)）15．已知正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，高為1，則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，線段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.18．（12分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）已知圓C：（1）若點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；（2）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，求直線的方程20．（12分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求證：EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱錐C—PBD的體積.21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當(dāng)PB的長(zhǎng)為何值時(shí)，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A2、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知：.故選：D3、A【解析】由在直線上，設(shè)，再利用向量垂直，可得，進(jìn)而可求E點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)樵谥本€上，故存在實(shí)數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.4、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.5、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.6、D【解析】求得，根據(jù)的面積列方程，由此求得，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.7、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B8、B【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)調(diào)用卡車的數(shù)量為z，則，其中x和y滿足約束條件，作出可行域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，縱截距最大，最大.故選：B9、D【解析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.11、B【解析】函數(shù)，，，,，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及極值，畫出圖象A.結(jié)合圖象可判斷出正誤；B.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)，的值域?yàn)椋魧?duì)，，使得成立，可得．分別求出，，即可判斷出正誤C.由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，由此即可判斷出正誤；D.方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則，且時(shí)，有2個(gè)不等的實(shí)根，由圖象即可判斷出正誤；【詳解】函數(shù)，，，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，，由此作出函數(shù)的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結(jié)合圖象，可得A不正確B.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，的值域?yàn)椋瑢?duì)，，．，，由，若對(duì)，，使得成立，則，所以，因此B正確C．由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即，因此C不正確；D.方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則，且時(shí)，有2個(gè)不等的實(shí)根，結(jié)合圖象可知，因此D不正確故選：B12、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷可得選項(xiàng)【詳解】解：當(dāng)時(shí)，表示雙曲線，當(dāng)表示雙曲線時(shí)，則，所以“”是“C為雙曲線”的充分不必要條件.故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：14、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號(hào)成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設(shè)，，利用指、對(duì)互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由于，所以②不正確；因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15、【解析】先計(jì)算兩個(gè)底面的面積，再由體積公式計(jì)算即可.【詳解】上底面的面積為，下底面的面積為，則這個(gè)正三棱臺(tái)的體積為.故答案為：16、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡(jiǎn)即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線：，，不妨設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)因?yàn)榫€段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡(jiǎn)得，，即，而，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，在平面中找到即可證明（2）建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值求出面面夾角的余弦值【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn).所以且，又，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即取可取，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即可取，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴，即平面與平面夾角的余弦值為.19、（1）或（2）【解析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；（2）根據(jù)圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直線，可求出直線的斜率，進(jìn)而求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為由圓心到直線的距離知，此時(shí)，直線與圓相切當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即．由題意知，解得，∴方程為故過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或【小問(wèn)2詳解】解：∵圓心，，即，又，∴，則.20、(1)見(jiàn)解析（2）【解析】本試題主要是考查了線面平行的判定和三棱錐體積的求解的綜合問(wèn)題．培養(yǎng)了同學(xué)們的推理論證能力和計(jì)算能力（1）根據(jù)已知的條件關(guān)鍵是分析出EF//PA，利用線面平行判定定理得到（2）根據(jù)上一問(wèn)中的結(jié)論可知PM⊥平面ABCD.然后利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的思想求解棱錐的體積解：（Ⅰ）證明：連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，故在CPA中，EF//PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD.在直角PAM中，求得PM=，∴PM=21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的最值即可【詳解】解：（1）由題意得，，令，得，令，得或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）易知，因?yàn)?所以（或由，可得）,又當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步，確定函數(shù)的定義域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為