數(shù)學建模-收益風險分析報告

.投資的收益和風險學號專業(yè)班級手機****************自動化111班**********目錄一、摘要2二、問題的提出2三、問題的分析3四、建模過程41、模型假設：42、定義符號說明：43、模型建立:44、問題分析與求解5〔1、問題一：5〔2、問題二：7〔3、模型求解：8五、模型的結(jié)果分析與評價8六、模型評價與改進11七、參考文獻12附錄：Matlab程序12A、問題一的求解12B、問題二的求解：12一、摘要本方案借鑒了金融投資理論,在進一步明確"風險"和"總風險"這兩個概念的基礎上,將本問題歸并為非線性規(guī)劃問題。對市場上的多種風險投資和一種無風險資產(chǎn)〔存銀行進行組合投資策略的的設計需要考慮連個目標,總體收益盡可能大和總體風險盡可能小,然而,這兩目標并不是相輔相成的,在一定意義上是對立的。隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展,人們逐漸地認識到,為了獲得較好的收益,應將閑置資金進行投資。財富的積累需要一個過程,但投資理財有助于我們獲取財富,一方面可以加速我們富裕的過程,從無到有,從少到多,實現(xiàn)原始財富的積累與財富的進一步增值；另一方面達到財務目標,平衡一生中的收支差距。[關鍵字]：經(jīng)濟效益線性規(guī)劃模型有效投資方案線性加權(quán)二、問題的提出隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展,人們逐漸地認識到,為了獲得較好的收益,應將閑置資金進行投資,但是現(xiàn)在投資的方式多樣化,所存在的風險都各不相同,因此了解一些基本投資規(guī)劃方案,選擇合適的投資組合方案,使凈收益盡可能大,而總風險盡可能小。市場上有n種資產(chǎn)〔如股票、債券、…<i=1,…n>供投資者選擇,某公司有數(shù)額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務分析人員對這n種資產(chǎn)進行了評估,估算出在這一時期購買的平均收益率為并預測出購買的風險損失率為?？紤]到投資越分散,總的風險越小,公司確定,當用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時,總體風險用所投資的中最大的一個風險來度量。購買要付交易費,費率為,并且當購買額不超過給定值時,交易費按購買計算〔不買當然無須付費。另外,假定同期銀行存款利率是,且既無交易費又無風險?！?5%已知n=4時的相關數(shù)據(jù)如下：<%><%><%><元>2814〔學號1103211.52198235.54.552252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案,即用給定的資金M,有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息,使凈收益盡可能大,而總體風險盡可能小。<2>試就一般情況下對以上問題進行討論,并利用一下數(shù)據(jù)進行計算。<%><%><%><元>9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.433.122033.653.52.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.7.2679.45.34.532815237.6131三、問題的分析由題意可知,由于資產(chǎn)預期收益的不確定性,導致它的風險特性,在這里投資的平均收益率為,風險損失為。要使投資者的凈收益盡可能大,而風險損失盡可能小,第一個解決方法就是進行投資組合,分散風險,以期待獲得較高的收益,模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合,當然最優(yōu)投資還決定于個人的因素,即投資者對風險,收益的偏好程度,怎樣解決二者的相互關系也是模型要解決的一個重要問題。本題所給的投資問題是利用原給的數(shù)據(jù),通過計算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案,并推廣到一般情況,利用第二問進行驗證,下面是實際要考慮的兩點情況：〔1 在風險一定的情況下,取得最大的收益〔2 在收益一定的情況下,所冒的風險最小當然,不同的投資者對利益和風險的側(cè)重點不同,將在一定的圍視為正常,所以只需要給出一種盡量好的模型,即風險盡量小,收益盡量大,這是一般投資者的心里。對于模型一,在問題一的情況下,公司可對五種項目投資,其中銀行的無風險,收益=5%為定值,在投資期間是不會變動的,其它的投資項目雖都有一定的風險,但其收益可能大于銀行的利率,我們擬建立一個模型,這個模型對一般的投資者都適用,并根據(jù)他們風險承受能力的不同提出多個實用于各種類型人的投資方案〔一般投資者分為：冒險型與保守型。即越冒險的人對風險損失的承受能力越強。對于模型二：由于資產(chǎn)預期收益的不確定性,導致它的風險特性,將資產(chǎn)的風險預期收益率用一定的表達式表示出來,在這里,投資的平均收益為,風險損失為,使投資者的凈收益盡可能大,而風險損失盡可能小。四、建模過程1、模型假設：〔1假設題設中給的參數(shù)是準確值,沒有偏差,且在短時期所給出的平均收益率,損失率和交易的費率不變；〔2投資行為只能發(fā)生在開始階段,中途不得撤資或追加,投資任一資產(chǎn)可購買量足夠多,足以吸納全部投資資金；〔3幾種資產(chǎn)相互之間不會產(chǎn)生影響,例如股市的漲跌不會影響到債券的漲跌；〔4M值足夠大,大至可忽略的影響。〔因為一般情況下企業(yè)的投資基本都會是成百上千萬元,而僅為數(shù)百元,故可忽略其影響〔5在投資的過程中,無論盈利與否必須先付交易費,公司總會選擇滿意度高的方案。2、定義符號說明：變量圍說明i=1,2…n欲購買的第i種資產(chǎn)的種類M相當大公司現(xiàn)有的投資總額i=1,2…n公司購買金額i=1,2…n公司購買的平均收益率i=1,2…n公司購買的風險損失率i=1,2…n公司購買超過時所付的交易費Eii=1,2…n公司購買資產(chǎn)所獲得的收益k0.1~1權(quán)因子A不等式右端的系數(shù)矩陣f目標向量3、模型建立:投資者的凈收益為購買各種資產(chǎn)及銀行的收益減去此過程中的交易費用。在對資產(chǎn)進行投資時,對于投資金額的不同,所付的交易費用也有所不同,不投資時不付費,投資額大于時交易費為,否則交易費為。題中所給的交易費的計算數(shù)額是一個分段函數(shù),在實際的計算中不容易處理,但我們注意到,在表1中,的數(shù)值非常小,=103+198+52+40=387元,對其中最大的來說,=198<200元,而已知M是一筆相當大的資金,同時交易費率的值也很小,即使在時,以來計算交易費與用直接計算交費相差無幾,所以,后面我們具體計算式,為簡化暫不考慮的約束,都以來答題算交易費。4、問題分析與求解〔1、問題一：A、問題分析：設購買的金額為,所付的交易費<>,另<>=0：<1>因為投資額M相當大,所以總可以假設對每個的投資,這時〔1式可化簡為：<2>對投資的凈收益：<3>對投資的風險：〔4對投資所需總資金〔投資金額與所需的手續(xù)費<>之和即：<5>當購買的金額為〔i=0~n,投資組合x=<,,……,>的凈收益總額<6>整體風險：<7>資金約束：<8>凈收益總額R<x>盡可能大,而整體風險Q<x>又盡可能小,則該問題的數(shù)學模型可規(guī)劃為多目標規(guī)劃模型,即<9>模型〔9屬于多目標規(guī)劃模型,為了對其求解,可把多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃。假定投資的平均風險水平,則投資M的風險k=M,若要求整體風險Q<x>限制在風險k以,即Q<x><=k,則模型〔9可轉(zhuǎn)化為：<10>B、模型的求解：求模型〔10的最優(yōu)解,由于模型〔10中的約束條件Q<x>k,即所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：這是模型〔10可轉(zhuǎn)化為如下的線性規(guī)劃：<11>給定k,可方便的求解模型〔11。具體計算時,為了方便起見,可令M=1,于是〔1+可視作投資的比例。下面針對n=4,M=1的情形,按原問題給定的數(shù)據(jù),模型〔11可變?yōu)椋骸?、問題二：A、問題分析與求解：上面我們對n=4的問題進行模型分析求解,同理對于n=15,同理可以把多目標規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標模型,再進一步轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃,再來求解：具體計算時,為了方便起見,可令M=1,于是〔1+可視作投資的比例。下面針對n=15,M=1的情形,按原問題給定的數(shù)據(jù),模型可變?yōu)椋骸?、模型求解：采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃函數(shù)求解,它優(yōu)化下列線性規(guī)劃模型：s.t使用格式為X=lp<C,A,b,vlb,vub,,N>其中vlb,vub分別是上下界,X0為初始值,N表示約束條件中前N個約束為等式約束五、模型的結(jié)果分析與評價模型一：風險投資種類n=4時,建立模型求解,任意給定投資風險上限k,在風險不超過k的情況下確定最優(yōu)組合,列表1如下：風險k0.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0210.029收益y0.06860.10490.14160.17820.18800.19110.19860.2032n=4是的風險收益圖如下：由列表〔1和圖〔1可知,收益y隨著風險上限k的增加而增加,在0~0.0090附近增長速度最快,之后增長速度變緩慢。在k=0.0090時,得出一個較優(yōu)的投資組合,收益y=0.1880,X=00.06430.60000.16360.1428例子：假如M=100’000’000<1億>,風險：k=0.009,,收益：y=0.1880,則仿真的收益為18’凈收益總額：R〔x=<0.05*0+0.27*0.0643+0.19*0.6+0.185*0.1636+0.185*0.1428>*100’000’000=18’804’500對投資的風險：Q0=0,Q1=0.009002,Q2=0.009,Q3=0.008998,Q4=0.0037128,最大風險為Q2為0.009002,即0.009,這和仿真的結(jié)果是相當接近的！風險投資種類n=15時,建立模型求解,任意給定投資風險上限k,在風險不超過k的情況下確定最優(yōu)組合,列表2如下：風險k0.0010.0210.0410.0610.0810.1010.1210.1410.5收益y0.05450.14420.22970.29690.32350.33570.34260.34750.4004n=15時的風險收益圖如下：由列表〔2和圖〔2同樣可知,收益y隨著風險上限k的增加而增加,在0~0.08附近增長速度最快,之后增長速度變緩慢。在k=0.081,可以得出一個較優(yōu)的投資組合,收益y=0.3235X=0000.13500000.11910.18020.15200.202500.176100同理和上面一樣可以驗證。又又以上兩圖可知,收益關于風險是離散的。隨著投資風險上限k的增加,收益y逐漸增大,投資者可以根據(jù)自己的偏好,選擇滿足要求的k和y,進行有效資產(chǎn)組合投資,考慮到y(tǒng)要盡量大,k要盡量小。同時分析風險收益曲線,當收益隨風險增大急驟上升,這是由于隨著風險增大,收益逐漸增大,人們對風險的厭惡程度減緩,投資者逐漸走向風險型。當上升曲線漸趨平緩,這是由于當風險大到一定程度時,風險-收益大的資產(chǎn)均已投資,收益變化不大。例子：假設公司有4億元,根據(jù)表一五種數(shù)據(jù)投資：六、模型評價與改進A、模型優(yōu)點:〔1本文通過將風險函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束,建立了線性規(guī)劃模型,直接采用程序進行計算,得出優(yōu)化決策方案,并且給出了有效投資曲線,根據(jù)投資者的主觀偏好,選擇投資方向。〔2模型一采用線性規(guī)劃模型,將多目標規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃,選取了風險上限值來決定收益,根據(jù)收益風險圖,投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。B、模型缺點：當投資金額小于固定值時,建立的線性規(guī)劃模型得到的結(jié)果可能不是最優(yōu)解,要根據(jù)公司的資金M決策模型的優(yōu)良。對于不同的金額,得到的結(jié)果不具有代表性,我們建立的模型中采用的只是M的一個特列,具有單一性。七、參考文獻正森兆鴻等,數(shù)學建模技術,,中國水利水電,2003王敏生王庚,現(xiàn)代數(shù)學建模方法,,科學2006杰黃力偉等,數(shù)學建模原理與案例,,科學,2007志林歐宜貴數(shù)學建模及典型案例分析,化學工業(yè)2006附錄：Matlab程序A、問題一的求解clearf=-[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]';%目標向量A=[0,0.14,0,0,0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026];%不等式左端的系數(shù)矩陣aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];%等式左端的系數(shù)矩陣beq=[1];%等式右端lb=zeros<5,1>;i=1;fork=0.001:0.002:0.05b=[k,k,k,k]';[x,fval,exitflag,options,output]=linprog<f,A,b,aeq,beq,lb>;xy<i>=-fvali=i+1;endk=0.001:0.002:0.05;plot<k,y>;xlabel<'k風險'>;ylabel<'y收益'