廣東省佛山市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

廣東省佛山市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.C. D.2．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．橢圓上的點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.5．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.6．橢圓C：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.247．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)8．已知拋物線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．設(shè),,,則,,大小關(guān)系為A. B.C. D.10．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥011．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值12．命題的否定是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為___________.14．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為____.15．已知直線與圓相切，則__________.16．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)對(duì)全市人員進(jìn)行核酸檢測(cè).已知組建一個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時(shí)可做200人次的核酸檢測(cè)，組建一個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時(shí)可做300人次的核酸檢測(cè).某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測(cè)工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和________個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知n個(gè)圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個(gè)圓外切，其中圓.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記n個(gè)圓的面積之和為S，求證：.18．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值19．（12分）已知橢圓的焦距為4，點(diǎn)在G上.（1）求橢圓G方程；（2）過橢圓G右焦點(diǎn)的直線l與橢圓G交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀21．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解.問題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之差的絕對(duì)值為.（1）求的值；（2）若過原點(diǎn)的直線與曲線在點(diǎn)處相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為的一個(gè)方向向量，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：B2、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.3、D【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D4、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項(xiàng)，再計(jì)算平行線間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點(diǎn)P到直線的最短距離為故選：A5、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C6、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出，再判斷形狀計(jì)算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長半軸長，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D7、C【解析】因?yàn)榫€段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時(shí)，Q一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.8、D【解析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式后得到焦準(zhǔn)距，可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題關(guān)鍵.9、C【解析】由,可得,,故選C.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)10、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.11、C【解析】對(duì)求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個(gè)零點(diǎn)，且無最小值.故選：C12、C【解析】根據(jù)含全稱量詞命題的否定可寫出結(jié)果.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定是.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結(jié)合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是.故答案為：14、或【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,即反射光線過點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線,此時(shí),也與圓相切,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線方程15、【解析】由直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑r，即.故答案為：16、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進(jìn)而作出可行域，最后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】設(shè)需要組建個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，則每小時(shí)做核酸檢測(cè)的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點(diǎn)，所以組建4個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和2個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.故答案為：4；2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）證明見解析.【解析】（1）由已知得，設(shè)圓分別切軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為.在從而有得，由等比數(shù)列的定義得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由此求得答案；（2）由（1）得再由圓的面積公式和等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得證.【小問1詳解】解：直線的傾斜角為則圓心在直線上，，設(shè)圓分別切軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為.在中，所以即化簡得，變形得，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.，.【小問2詳解】解：由（1）得所以，所以.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)底面，得到平面一個(gè)法向量，然后由夾角公式求解.【小問1詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，連接OE，如圖，由分別為的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，令，則，則，因?yàn)榈酌?，所以為平面一個(gè)法向量，所以所以平面與平面CEB夾角的余弦值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，根據(jù)得到，即得直線l的方程.【小問1詳解】解：橢圓的焦距是4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是，.因?yàn)辄c(diǎn)在G上，所以，所以，.所以橢圓G的方程是.【小問2詳解】解：顯然直線l不垂直于x軸，可設(shè)l的方程為，，，將直線l的方程代入橢圓G的方程，得，則，.因?yàn)?，所以，則，即，由，得，.所以，解得，即，所以直線l的方程為.20、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形21、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.22、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋