河北省中國(guó)第二十冶金建設(shè)公司綜合學(xué)校高中分校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

河北省中國(guó)第二十冶金建設(shè)公司綜合學(xué)校高中分校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解3．已知向量，則（）A. B.C. D.4．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.5．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.6．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，7．設(shè)雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.4 B.2C. D.8．設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.C.3 D.49．中共一大會(huì)址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學(xué)生的幾個(gè)重要的研學(xué)旅行地.某中學(xué)在校學(xué)生人，學(xué)校團(tuán)委為了了解本校學(xué)生到上述紅色基地研學(xué)旅行的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，其中到過(guò)中共一大會(huì)址或井岡山研學(xué)旅行的共有人，到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的人，到過(guò)中共一大會(huì)址并且到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的恰有人，根據(jù)這項(xiàng)調(diào)查，估計(jì)該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生大約有（）人A. B.C. D.10．為了調(diào)查全國(guó)人口的壽命，抽查了11個(gè)?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個(gè)體C.樣本 D.樣本容量11．設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.12．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則__________.14．已知數(shù)列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.15．如圖將自然數(shù)，…按到箭頭所指方向排列，并依次在，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是___________，超過(guò)2021的第一個(gè)拐彎數(shù)是____________16．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布（），若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在內(nèi)取值的概率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）設(shè)，分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，E的離心率為.短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）已知某中學(xué)高二物化生組合學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取了名學(xué)生，成績(jī)分為A（優(yōu)秀），B（良好），C（及格）三個(gè)等級(jí)，設(shè)，分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，例如：表中物理成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的共有（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)且物理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的共有8人，已知與均為A等級(jí)的概率是0.07（1）設(shè)在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)多的概率20．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，M為上一點(diǎn)，且（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值22．（10分）在一次重大軍事聯(lián)合演習(xí)中，以點(diǎn)為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒區(qū)域，任何船只不得經(jīng)過(guò)該區(qū)域．已知點(diǎn)正北方向海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東，且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過(guò)小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到位于點(diǎn)北偏東，且與點(diǎn)相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（2）該船能否不改變方向繼續(xù)直線航行？請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫妫怨省髅娣e的最小值為故選：B2、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號(hào)，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯(cuò)誤，且知，所以存在極小值和，無(wú)極大值，A錯(cuò)誤，同時(shí)無(wú)論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.3、B【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.4、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】..故選:A.5、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，無(wú)符合條件的選項(xiàng)；當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項(xiàng).6、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.7、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，求出，，，，再利用余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可知、，又且，所以，，，，則，且，即，即，所以離心率.故選：B8、C【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因?yàn)?，可得，解得，即，又因?yàn)?，可得，解得，即，可得，所?故選：C.9、B【解析】作出韋恩圖，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)題意求出的值，由此可得出該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù).【詳解】如下圖所示，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，由題意可得，解的，因此，該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生的人數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.11、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為：，因?yàn)槊娣e為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.12、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標(biāo)函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題，用累乘法求得通項(xiàng)公式：，則，通過(guò)裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】由題，所以累乘法求通項(xiàng)公式：，所以，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合.所以，則.故答案為：14、11【解析】由題設(shè)可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義知從第二項(xiàng)開始是公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而寫出的通項(xiàng)公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相除得，整理?因?yàn)椋蕪牡诙?xiàng)開始是等比數(shù)列，且公比為2，因?yàn)椋瑒t，所以，則，由得：，故故答案為：11.15、①.②.【解析】根據(jù)題意得到拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，歸納得到當(dāng)為奇數(shù)為；當(dāng)為為偶數(shù)為，分別代入，即可求解.【詳解】解：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678拐彎處的數(shù)1235710131721觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個(gè)數(shù)；第3個(gè)數(shù)；第5個(gè)數(shù)；第7個(gè)數(shù)；，所以當(dāng)為奇數(shù)為；同理可得：當(dāng)為為偶數(shù)為；第33次拐彎的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以超過(guò)2021第一個(gè)拐彎數(shù)是.故答案為：；.16、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布（），即正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為：0.4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系直線較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出18、（1）（2）存在，【解析】(1)由條件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得橢圓E的方程：(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，可得，，由此證明，再證明當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也成立，由此確定存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立【小問(wèn)1詳解】由已知得，離心率，所以，故橢圓E的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立方程組得，，所以，..，，所以.所以.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立方程組，得，.，，所以.綜上，存在實(shí)數(shù)使得恒成立.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)與均為A等級(jí)的概率是0.07，求得值，再根據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率是30％求得值，最后利用抽取的總?cè)藬?shù)求出值即可；（2）根據(jù)，，，寫出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問(wèn)2詳解】由，，，可知，則試驗(yàn)的樣本空間，共9個(gè)樣本點(diǎn)其中包含的樣本點(diǎn)有共4個(gè)，故所求概率20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定，證明即可；（2）過(guò)C作，垂足為M，根據(jù)勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明平面BCE即可【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BEF為矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小問(wèn)2詳解】過(guò)C作，垂足為M，則四邊形ADCM為矩形因?yàn)椋?，所以，，，，所以，所以因?yàn)槠矫鍭BCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE21、（1）（2）【解析】（1）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由，，，，所以，，，因此，，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點(diǎn)到平面的距離【小問(wèn)2詳解】由，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為22、（1）海里/小時(shí)；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設(shè)一個(gè)單位為海里