（人教A版2023選擇性必修第一冊(cè)浙江專用）2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期挑戰(zhàn)滿分?jǐn)?shù)學(xué)沖刺期中測(cè)試卷01（測(cè)試范圍：第1-3章）

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一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

A．4B．2C．1D．

2．圓的方程為，則該圓的圓心和半徑分別為（）

A．B．

C．D．

3．已知空間的一組基底，若與共線，則的值為（）．

A．2B．C．1D．0

4．若直線與直線互相垂直，則的最小值為（）

A．B．3C．5D．

5．在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn).，則二面角的余弦值為（）

A．B．C．D．

6．已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（）

A．B．C．D．

7．已知拋物線，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（）

A．B．C．D．3

8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).若圓上存在唯一點(diǎn)，使得直線在軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．B．C．和D．和

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．全對(duì)得5分，少選得3分，多選、錯(cuò)選不得分）

9．下列說(shuō)法中，正確的是（）

A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8

B．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為

C．過(guò)點(diǎn)且與直線相互平行的直線方程是

D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為

10．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切

11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）

A．直線平面

B．三棱錐的體積為定值

C．異面直線與所成角的取值范圍是

D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為

12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）

A．2=2

B．

C．軸，且

D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距為4，則．

14．已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為

15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是.

16．已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)的最小值是2，則的最小值是．

四、解答題（本大題共6小題，第17-18題每小題10分，第19-21題每小題12分，第22題14分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17．已知點(diǎn).

(1)求過(guò)點(diǎn)A且與平行的直線方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)A且與垂直的直線方程；

(3)若中點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)A與的直線方程.

18．已知圓：與圓：.

(1)若圓與圓外切，求實(shí)數(shù)m的值;

(2)在(1)的條件下，若直線l過(guò)點(diǎn)(2，1)，且與圓的相交弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.

19．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形.∠BCD=60°，四邊形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求證：AC⊥BE：

(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.

20．如圖，已知拋物線與圓交于四點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)求的取值范圍；

(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)．

21．四棱柱中，底面為正方形，面，點(diǎn)M，N，Q分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面∥平面；

(2)若，棱上存在點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為，求的值．

22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線有公共頂點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為2，的一條漸近線為.

(1)求，的方程：

(2)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明；

(3)過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，求證：直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形面積為定值，并求出該定值.

知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充題．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)滿足（且）．

(1)求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀；

(2)對(duì)的兩個(gè)不同取值，記對(duì)應(yīng)的曲線為．

（i）若曲線關(guān)于某直線對(duì)稱，求的積；

（ii）若，判斷兩曲線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測(cè)試卷01（測(cè)試范圍：第1-3章）

一、單選題

1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

A．4B．2C．1D．

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義進(jìn)行求解即可．

【解析】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：．

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)拋物線方程及對(duì)的幾何意義的理解，屬于基礎(chǔ)題．

2．圓的方程為，則該圓的圓心和半徑分別為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】將圓的一般方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)即可得出答案.

【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓的圓心為，半徑為.

故選:C

3．已知空間的一組基底，若與共線，則的值為（）．

A．2B．C．1D．0

【答案】D

【分析】根據(jù)空間向量基本定理，由向量共線的條件，列方程求.

【解析】因?yàn)榕c共線，空間的一組基底，

所以，

所以，解得，

所以.

故選：D.

4．若直線與直線互相垂直，則的最小值為（）

A．B．3C．5D．

【答案】C

【分析】由兩直線垂直得關(guān)系后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，

【解析】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，

所以，化簡(jiǎn)得，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為5，

故選：C

5．在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn).，則二面角的余弦值為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【解析】平面平面，且為交線，，平面，

平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)椋赗t中，，

所以，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，令，則.

設(shè)二面角的平面角為，

則.

故選：C

6．已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)離心率及，建立關(guān)于的等式即可得解.

【解析】顯然離心率，解得，即，

分別為C的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，則，，

于是，而，

即，又，因此聯(lián)立解得，

所以橢圓的方程為.

故選：B

7．已知拋物線，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（）

A．B．C．D．3

【答案】A

【分析】由條件確定點(diǎn)的軌跡，結(jié)合拋物線的定義，圓的性質(zhì)求的最小值.

【解析】∵拋物線的方程為，

∴，拋物線的準(zhǔn)線方程為，

∵方程可化為，

∴過(guò)定點(diǎn)，

設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋瑸榇棺悖?/p>

∴，所以，

即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,

∴,，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，

∴，

過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，

所以的最小值為，

故選：A.

8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).若圓上存在唯一點(diǎn)，使得直線在軸上的截距之積為5，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．B．C．和D．和

【答案】C

【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線在軸上的截距之積列方程，根據(jù)唯一性求得的值.

【解析】圓的圓心在直線上，半徑為，所以在圓外，

設(shè)，其中且，

直線的方程為，縱截距為，

直線的方程為，縱截距為，

依題意有，整理得，

所以在圓上，圓心為，半徑為.

則圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則兩圓外切或內(nèi)切，或圓與圓相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

當(dāng)兩圓外切或內(nèi)切時(shí)：

圓的圓心為，半徑為，

則或，

前者無(wú)解，后者解得.

當(dāng)圓與圓相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，

，將代入，

得.

綜上所述，的值為或.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求直線方程時(shí)，可以根據(jù)已知條件，利用合適的求法來(lái)求，如本題中，已知兩點(diǎn)，則可以考慮兩點(diǎn)式，也可以考慮點(diǎn)斜式來(lái)求解.圓有關(guān)的問(wèn)題，可考慮方程的思想，如本題中“截距之積”，這就是一個(gè)方程，也即是一個(gè)等量關(guān)系式，是解題的突破口.

二、多選題

9．下列說(shuō)法中，正確的是（）

A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8

B．過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為

C．過(guò)點(diǎn)且與直線相互平行的直線方程是

D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為

【答案】AC

【分析】由題意逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

【解析】對(duì)A，直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是×4×4＝8，故A正確；

對(duì)B，當(dāng)x2＝x1或y2＝y(tǒng)1時(shí)，式子＝無(wú)意義，故B不正確；

對(duì)C，與直線平行，所求直線設(shè)為，將點(diǎn)代入得，所以所求直線為，即，故C正確；

對(duì)D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯(cuò)誤，

故選：AC．

10．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離

C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切

【答案】ABD

【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.

【解析】圓心到直線l的距離，

若點(diǎn)在圓C上，則，所以，

則直線l與圓C相切，故A正確；

若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，

則直線l與圓C相離，故B正確；

若點(diǎn)在圓C外，則，所以，

則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；

若點(diǎn)在直線l上，則即，

所以，直線l與圓C相切，故D正確.

故選：ABD.

11．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）

A．直線平面

B．三棱錐的體積為定值

C．異面直線與所成角的取值范圍是

D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為

【答案】ABD

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)，由線面垂直、平行和三棱錐的體積公式和線面角的求法，可得結(jié)論．

【解析】在正方體中，平面，，

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，，，

對(duì)于A，，，，

因?yàn)?，?/p>

即，，

又，且平面，平面，

所以直線平面，故A正確；

對(duì)于B，在正方體中，，

又平面，平面，可得平面，

點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，也即為點(diǎn)到平面的距離，且為定值，而的面積為定值，

則三棱錐的體積為定值，故B正確；

對(duì)于C，，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角．易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；

當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為；故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，設(shè)，，由A選項(xiàng)正確，可知是平面的一個(gè)法向量，

直線與平面所成角的正弦值為：，

當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確．

故選：ABD．

12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）

A．2=2

B．

C．軸，且

D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，

【答案】BD

【分析】對(duì)每個(gè)命題如果是正確的求出各個(gè)命題所在的橢圓的離心率即可．

【解析】,由條件得到，即或（舍，解得：，所以不正確；

,若，則由射影定理可得：，

即，所以，即，，

解得；所以正確；

，若軸，如圖可得，又，則斜率相等，所以，即，或，顯然不符合，

所以，所以不正確；

，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，若命題正確則內(nèi)切圓的圓心為原點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知，

圓心到直線的距離等于，

因?yàn)橹本€的方程為：，即，所以原點(diǎn)到直線的距離，

由題意知：，又，整理得：，，，

解得，

所以，所以正確，

故選：．

三、填空題

13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距為4，則．

【答案】4

【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程得到m的值.

【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上且焦距為4，

所以，

解得.

故答案為：4.

14．已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為

【答案】

【分析】結(jié)合圓心到直線的距離以及半徑求得正確答案.

【解析】圓心，半徑，

圓心到直線的距離等于，

故圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為．

故答案為：

15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是.

【答案】

【分析】由題意可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，再結(jié)合點(diǎn)又在漸近線上，故漸近線和圓要有公共點(diǎn)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求得離心率的取值范圍.

【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以漸近線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，即，所以雙曲線離心率的取值范圍是.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線和圓、直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

16．已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)的最小值是2，則的最小值是．

【答案】

【分析】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.

【解析】以，方向?yàn)檩S，垂直于，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，

由可設(shè)，由是單位空間向量可得，

由可設(shè)，

，

當(dāng)，的最小值是2，所以，取，

，

，

當(dāng)時(shí)，最小值為.

故答案為：.

四、解答題

17．已知點(diǎn).

(1)求過(guò)點(diǎn)A且與平行的直線方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)A且與垂直的直線方程；

(3)若中點(diǎn)為，求過(guò)點(diǎn)A與的直線方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線即可；

（2）求出與垂直的直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解即可；

（3）利用中點(diǎn)公式求解中點(diǎn)坐標(biāo)，再確定兩點(diǎn)斜率利用點(diǎn)斜式求解即可.

【解析】（1）解：∵，

∴過(guò)點(diǎn)A且與平行的直線方程為，即；

（2）解：過(guò)點(diǎn)A且與垂直的直線的斜率為，

所以所求直線方程為，即；

（3）解：中點(diǎn)，

∴過(guò)點(diǎn)A與的直線方程，即.

18．已知圓：與圓：.

(1)若圓與圓外切，求實(shí)數(shù)m的值;

(2)在(1)的條件下，若直線l過(guò)點(diǎn)(2，1)，且與圓的相交弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.

【答案】(1)m=5

(2)或

【分析】（1）根據(jù)兩圓外切，兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和可得；

（2）先根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，然后分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得.

【解析】（1）圓：，則，半徑r1=1，

由圓：，得，

則，半徑.∵圓與圓外切，

∴，∴，解得m=5.

（2）由(1)得m=5，圓的方程為，

則，r2=2.由題意可得圓心到直線l的距離，

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2，符合題意;

當(dāng)直線l斜率為k時(shí)，則直線方程為，

化為一般形式為，則圓心(3，0)到直線l的距離，

解得k=0，得直線方程為y=1.

綜上，直線l的方程為或.

19．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形.∠BCD=60°，四邊形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求證：AC⊥BE：

(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見解析

(2)

【分析】（1）作出輔助線，由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而證明出AC⊥BD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦.

【解析】（1）連接BD，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AC⊥BD，

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，交線為CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，

所以ED⊥平面ABCD，

因?yàn)锳C平面ABCD，

所以ED⊥AC，

因?yàn)锽DED=D，

所以AC⊥平面BDE，

因?yàn)锽E平面BDE，

所以AC⊥BD

（2）取BC的中點(diǎn)G，連接DG，BD，

因?yàn)椤螧CD=60°，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，

所以DG⊥BC，因?yàn)锳D∥BC，所以DG⊥AD，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DG所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)平面BCF的法向量為，

則，解得：，令，

則，

平面ADE的法向量為，

設(shè)平面ADE與平面BCF所成角為，顯然為銳角，

則

20．如圖，已知拋物線與圓交于四點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)求的取值范圍；

(2)求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）拋物線方程聯(lián)立圓的方程消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系和判別式可解；

（2）利用韋達(dá)定理可得，由直線和斜率相等可解.

【解析】（1）圓的方程可化為．

將拋物線的方程代入圓的方程有整理得，

由題意可知有兩個(gè)正根，

所以解得，

故的取值范圍為；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

由對(duì)稱性可知，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由（1）可知，得，

所以，

因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，

所以，即，

所以，可得，

又由，有，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

21．四棱柱中，底面為正方形，面，點(diǎn)M，N，Q分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面∥平面；

(2)若，棱上存在點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為，求的值．

【答案】(1)證明見解析；

(2).

【分析】（1）先證明分別與面平行，再由面面平行的判定定理證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【解析】（1）∵分別為棱中點(diǎn)，

，，

四邊形MQBD為平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面，

∵N為棱AD的中點(diǎn)，，

又，，

∵平面，平面，

平面.

又，平面，

平面∥平面.

（2）由題意知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)（），，

則，

故，，

設(shè)，則由可得，，

則

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

取，則，

設(shè)平面MNQ的一個(gè)法向量為，則，

取，則，

由題知，

解得或（與矛盾，舍去），

故，即.

22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線有公共頂點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為2，的一條漸近線為.

(1)求，的方程：

(2)設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明；

(3)過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，求證：直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形面積為定值，并求出該定值.

【答案】(1)，

(2)只有一個(gè)公共點(diǎn)，證明見解析

(3)證明見解析