赤潮藻類(lèi)模型穩(wěn)定性及混沌行為分析

赤潮藻類(lèi)模型穩(wěn)定性及混沌行為分析

1中骨折條藻生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性研究赤潮是自然現(xiàn)象。隨著適當(dāng)?shù)臈l件下藻類(lèi)的爆發(fā)性增加，其危害日益嚴(yán)重，造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。對(duì)赤潮的成因研究已成為迫在眉睫的研究課題。而對(duì)于赤潮的生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型的研究則是最有效和最有希望的方法(GEOHAB2001)。本文根據(jù)對(duì)渤海灣歷年發(fā)生赤潮的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析綜合的基礎(chǔ)上,結(jié)合渤海灣的典型赤潮藻類(lèi)-中肋骨條藻,考慮多方面因素的影響(營(yíng)養(yǎng)物質(zhì),高等動(dòng)物捕食,光照等)建立了以N,P,Z為變量的中肋骨條藻的生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。利用現(xiàn)代非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)理論對(duì)模型進(jìn)行了穩(wěn)定性的研究。發(fā)現(xiàn):某些參數(shù)的變化可以致使變量發(fā)生分岔乃至混沌行為,在實(shí)際意義上,也就是導(dǎo)致了中肋骨條藻出現(xiàn)了爆發(fā)性的增長(zhǎng)(赤潮的發(fā)生)。2藻類(lèi)的食物模型根據(jù)中肋骨條藻赤潮發(fā)生時(shí)形成的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)-中肋骨條藻-浮游動(dòng)物形成的一個(gè)簡(jiǎn)單的食物鏈,利用多種群生態(tài)學(xué)原理,考慮了光照強(qiáng)度的影響,建立了渤海灣典型赤潮藻類(lèi)中肋骨條藻的生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型方程式(1)。dΝdt=-Νe+Νab+cΡΡ+k(Ν0-Ν)dNdt=?Ne+Nab+cPP+k(N0?N)dΡdt=ε1Νe+Νab+cΡΡ-λ(1-e-αΡ)Ζ-(s+k)Ρ(1)dPdt=ε1Ne+Nab+cPP?λ(1?e?αP)Z?(s+k)P(1)dΖdt=ε2λ(1-e-αΡ)Ζ-dΖ2dZdt=ε2λ(1?e?αP)Z?dZ2式中:N(t)——營(yíng)養(yǎng)物質(zhì),包括氮、磷等營(yíng)養(yǎng)元素的濃度總和隨時(shí)間的變化;P(t)——中肋骨條藻密度隨時(shí)間的變化;Z(t)——浮游動(dòng)物密度隨時(shí)間的變化。藻類(lèi)的食物鏈模型結(jié)構(gòu)如圖1。其他各參數(shù)意義及其取值范圍見(jiàn)表1?？紤]浮游動(dòng)物對(duì)藻類(lèi)的消耗時(shí),采用了HollingⅡ型Watt功能性反應(yīng)方程(陳蘭蓀1988)?？紤]光照對(duì)藻類(lèi)生長(zhǎng)的影響時(shí),采用了Steele公式(Edwardsetc1999)?？紤]營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)對(duì)藻類(lèi)的生長(zhǎng)影響時(shí),采用了米門(mén)公式(S.E,揚(yáng)戈遜)。3定常狀態(tài)的穩(wěn)定性根據(jù)模型方程的基本特征,注意到食物鏈模型中各元素的物理意義及在實(shí)際發(fā)生過(guò)程中相互影響、耦合。我們考慮運(yùn)用Lyapunov運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論來(lái)判斷變量各狀態(tài)的穩(wěn)定性。首先求方程的平衡點(diǎn),令方程(1)的左端為零,即得方程式(2)。{dΝdt=0dΡdt=0dΖdt=0(2)解方程(2)得模型方程的平衡點(diǎn)Q(N*,P*,Z*)。作坐標(biāo)平移,令{u=Ν-Ν*v=Ρ-Ρ*w=Ζ-Ζ*令{dudt=f1(u,v,w)dvdt=f2(u,v,w)dwdt=f3(u,v,w)可得模型方程(1)的線(xiàn)性部分的Jacobin矩陣K為式(3)所示。[-aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-k-abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)20ε1aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-(s+k)+ε1abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)2-αλΖ*e-αΡ*-λ(1-e-αΡ*)0ε2αλΖ*e-αΡ*-2dΖ*+ε2λ(1-e-αΡ*)](3)下面分別考慮三種定常狀態(tài)的穩(wěn)定性:(1)對(duì)于(N0,0,0),其物理意義對(duì)應(yīng)于初始水平、藻類(lèi)和浮游動(dòng)物密度均為零,此時(shí)的Jacobin矩陣為:Κ=[-k-aΝ0b(e+Ν0)00-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)0000]由穩(wěn)定性理論,定常狀態(tài)的穩(wěn)定性取決于所對(duì)應(yīng)的Jacobin矩陣的特征值。對(duì)應(yīng)于(N0,0,0),其三個(gè)特征值分別為:-k,Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0),0由于對(duì)應(yīng)矩陣的特征值有一個(gè)為零,所以要利用中心流形定理對(duì)原方程進(jìn)行降維處理。經(jīng)過(guò)分析得到,當(dāng)Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)<0時(shí),此狀態(tài)是穩(wěn)定的,當(dāng)Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)>0時(shí),此狀態(tài)是不穩(wěn)定的。當(dāng)Φ=-(s+k)+ε1aΝ0b(e+Ν0)=0時(shí),此狀態(tài)對(duì)應(yīng)的矩陣有兩個(gè)為零的特征值,此時(shí)將會(huì)發(fā)生余維2的跨臨界分岔。而對(duì)于所給定的所有參數(shù)在其變化范圍內(nèi)?？傆笑?gt;0,也就是說(shuō),定常狀態(tài)(N0,0,0)總是不穩(wěn)定的,任何一個(gè)微小的擾動(dòng)都會(huì)讓它偏離(N0,0,0)這個(gè)平衡位置,所以在實(shí)際的海域中,此種狀態(tài)是不可能穩(wěn)定的存在。(2)對(duì)于(N*i,P*i,0),有兩種情況:(N*1,P*1,0)和(N*2,P*2,0):其中N*1,P*2由方程ckε1N2+[ε1a-b(s+k)+ckε1(e-N0)]N-[b(s+k)+ckε1N0]e=0求得:P*1,P*2由Ρ*1=bε1(Ν0-Νi*)s+k(i=1,2)求得。因?yàn)棣?1Ν*2=-[b(s+k)+ckε1Ν0]eckε1<0所以?xún)筛禺愄?hào),設(shè)N*1>0,N*2<0。對(duì)于N*2無(wú)實(shí)際意義,因此只考慮N*1。對(duì)應(yīng)于(N*1,P*1,0),此時(shí)其Jacobin矩陣為式(4)。[-aeΡ*1(e+Ν*1)2(b+cΡ*1)-k-abΝ*1(e+Ν*1)(b+cΡ*1)20ε1aeΡ*1(e+Ν*1)2(b+cΡ*1)-(s+k)+ε1abΝ*1(e+Ν*1)(b+cΡ*1)2-λ(1-e-αΡ*)00ε2λ(1-e-αΡ*)](4)考慮其第三行,矩陣必有一特征值為ε2λ(1-e-αP*1)且定大于零,所以此狀態(tài)不穩(wěn)定。(3)對(duì)于第三種定常狀態(tài)(N*,P*,Z*),也就是食物鏈中的三種主體都存在的情況,也是赤潮發(fā)生的基礎(chǔ)條件。此時(shí),其Jacobin矩陣為式(5)。[-aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-k-abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)20ε1aeΡ*(e+Ν*)2(b+cΡ*)-(s+k)+ε1abΝ*(e+Ν*)(b+cΡ*)2-aλΖ*e-αΡ*-λ(1-e-αΡ*)0ε2αλΖ*e-αΡ*-2dΖ*+ε2λ(1-e-αΡ*)](5)其中Ζ*=ε2λ(1-eαΡ*)d代入式(1)中的第一式和第二式可求得關(guān)于N*、P*的兩個(gè)高次方程,但是無(wú)法解出具體的表達(dá)式,因此下面借助于數(shù)值的方法對(duì)其穩(wěn)定性和分岔情況進(jìn)行探討。4n0中的混沌行為利用現(xiàn)代非線(xiàn)性分岔與混沌理論可以較好地解決復(fù)雜情況下系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)的失穩(wěn)及突變現(xiàn)象,這與赤潮的產(chǎn)生密切相關(guān)。各參數(shù)采用表1中的默認(rèn)值,可以算出初始條件(N,P,Z)=(0.4,0.1,0.05)。選取參數(shù)初始濃度N0作為分岔參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究,分別讓N0取不同的值進(jìn)行分析。如圖2中(a)、(b)所示。對(duì)于圖2(a),當(dāng)N0=0.8時(shí),系統(tǒng)經(jīng)過(guò)輕微的振蕩過(guò)程趨于穩(wěn)定。對(duì)于圖2(b),當(dāng)N0=2.0時(shí),系統(tǒng)發(fā)生劇烈振蕩并且持久進(jìn)行。由Hopf分岔理論可知,當(dāng)N0在這個(gè)區(qū)間變化時(shí),導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔,系統(tǒng)從趨于一個(gè)穩(wěn)定解變化為趨于一個(gè)極限環(huán)。當(dāng)N0繼續(xù)變大時(shí),系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)更加復(fù)雜的情況以至于混沌的產(chǎn)生,此時(shí),N0=6.0,其他參數(shù)取默認(rèn)值,如圖3所示。導(dǎo)致混沌產(chǎn)生的途徑很多,可以通過(guò)倍周期分岔、切分岔以及有名的周期3意味著分岔。本系統(tǒng)混沌行為的產(chǎn)生途徑還有待去研究,這對(duì)于了解赤潮產(chǎn)生以至于最后控制赤潮都很有意義。至于赤潮的產(chǎn)生是因?yàn)榉植韺?dǎo)致還是混沌的行為,至今尚無(wú)定論,有待于進(jìn)一步研究。但有一點(diǎn)可以肯定,赤潮的爆發(fā)性增值肯定與系統(tǒng)的分岔和混沌行為有關(guān),這是我們今后著重研究的方向。5對(duì)藻類(lèi)