湖南省寧鄉(xiāng)市2024屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題含解析

湖南省寧鄉(xiāng)市2024屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量X，Y滿足，，且，則的值為（）A.0.2 B.0.3C.0..5 D.0.62．△ABC兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.3．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題4．已知數(shù)列滿足且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列5．已知為等差數(shù)列，為其前n項和，，則下列和與公差無關(guān)的是（）A. B.C. D.6．橢圓的一個焦點坐標為，則（）A.2 B.3C.4 D.87．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.18．某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元9．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.10．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無法確定11．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的上焦點和右頂點，則橢圓的方程是________________14．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.15．若動直線分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點，則的最小值為______16．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，且，則的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和18．（12分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點分別在棱、上·（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求的通項公式；.（2）求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21．（12分）在等比數(shù)列中，已知，（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）若以數(shù)列中的相鄰兩項，構(gòu)造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同22．（10分）已知動圓過定點，且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）直線過點與曲線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點，使？若存在，求點坐標，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用正態(tài)分布的計算公式：，【詳解】且又故選：D2、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D4、D【解析】由，化簡得，結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由，可得，所以，又由，，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，，，，所以不是等差數(shù)列；不等于常數(shù)，所以不是等比數(shù)列.故選：D.5、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C6、D【解析】由條件可得，，，，由關(guān)系可求值.【詳解】∵橢圓方程為：，∴，∴，，∵橢圓的一個焦點坐標為，∴，又，∴，∴，故選：D.7、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當截距都為零時，直線過原點，；當截距不為零時，，.綜上：或.故選：A.8、D【解析】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價【詳解】設(shè)這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當且僅當x，即x＝4時，f（x）取最小值816元故選：D9、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A10、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.11、D【解析】根據(jù)題意得出的符號，進而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.12、A【解析】由題意橢圓的焦點在軸上，故，求解即可【詳解】由題意，，故橢圓的焦點在軸上故焦距故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)過點的圓的切線為，分類討論求得直線分別與圓的切線，求得直線的方程，從而得到直線與軸、軸的交點坐標，得到橢圓的右焦點和上頂點，進而求得橢圓的方程.【詳解】設(shè)過點的圓的切線分別為，即，當直線與軸垂直時，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點；當直線與軸不垂直時，原點到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，此時直線與圓相切于點，因此，直線的斜率為，直線的方程為，所以直線交軸交于點，交于軸于點，橢圓的右焦點為，上頂點為，所以，可得，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.14、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出與平行的曲線的切線，再利用兩點間距離公式進行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點為，由，所以曲線的切線的斜率為，直線的斜率為，當切線與平行時，即，即切點為，當直線過切點時，有最小值，即，此時，解方程組：，，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：利用曲線的切線性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.16、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點P坐標可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算知，即可證得結(jié)論；（2）利用空間向量結(jié)合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，其中，，若是的中點，則，，，于是，∴，即【小問2詳解】由題設(shè)知，，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時設(shè)，而，由此得點，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合當時，探求數(shù)列的性質(zhì)即可計算作答.(2)由(1)求出，再利用錯位相減法計算作答.小問1詳解】依題意，當時，因為，則，當時，，解得，于是得數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以的通項公式是.【小問2詳解】由(1)可知，，則，因此，兩式相減得：，于是得，所以數(shù)列的前n項和.20、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷極值點，代入原函數(shù)計算即可；（2）將變形，即對恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定實數(shù)a的取值范圍..【小問1詳解】對函數(shù)求導(dǎo)可得：,可知當時，時，，即可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由上可知，的極大值為，無極小值【小問2詳解】由對恒成立,當時，恒成立；當時，對恒成立,可變形為：對恒成立,令，則;求導(dǎo)可得：由（1）知即恒成立，當時，，則在上單調(diào)遞增;又，因，故，，所以在上恒成立，當時，令，得，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，從而可知的最大值為，即，因此，對都有恒成立，所以，實數(shù)a的取值范圍是.21、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)、等比數(shù)列和等差數(shù)列前項和公式進行求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合雙曲線漸近線方程和離心率公式進行證明即可.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，因此，所以，所以；【小問2詳解】由（1