線性代數(shù)性質(zhì)定理公式全總結(jié)

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概念、性質(zhì)、定理、公式必需明白，解法必需熟練，計(jì)算必需確鑿

?A可逆??r(A)?n??A的列（行）向量線性無(wú)關(guān)?A的特征值全不為0A?0????Ax??只有零解??x??，Ax??????Rn,Ax??總有唯一解?AT?A是正定矩陣?A?E??A?p1p2???pspi是初等陣??存在n階矩陣B,使得AB?E或AB?E注：全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合Rn叫做n維向量空間.?A不可逆?r(AA?0???)?n?A的列（行）向量線性相關(guān)??0是A的特征值??Ax??有非零解,其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于??0的特征向量?r(aE?bA)?n注aE?bA?????(aE?bA)x??有非零解???=-ab1

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向量組等價(jià)??矩陣等價(jià)(?)?具有?反身性、對(duì)稱性、傳遞性????矩陣相像()?矩陣合同()??√關(guān)于e1,e2,???,en：

①稱為

n的標(biāo)準(zhǔn)基，

n中的自然基，單位坐標(biāo)向量p教材87；

②e1,e2,???,en線性無(wú)關(guān)；③e1,e2,???,en?1；④trE=n；

⑤任意一個(gè)n維向量都可以用e1,e2,???,en線性表示.

a11行列式的定義Dn?a12a22an2a1na2nann?j1j2a21an1?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anjn

√行列式的計(jì)算：

①行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.

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②若A與B都是方陣（不必同階）,則

AOA?AO=??ABOBOB?BOABO=?ABO?(?1)mnAB（拉普拉斯展開式）

③上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.

?④關(guān)于副對(duì)角線：

a1na2n?1?OOa2n?1an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nan1（即：所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）

an11x1⑤范德蒙德行列式：x121x22x21xn2?xn1?j?i?n??x?x?

ijx1n?1n?1x2n?1xn?a11?a21矩陣的定義由m?n個(gè)數(shù)排成的m行n列的表A?????am1?A11?A12?????A1nA21A22A2na12a22am2a1n??a2n?稱為m?n矩陣.記作：A??aij?或Am?n

m?n??amn?伴隨矩陣A?Aij*??TAn1??An2?，Aij為A中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.??Ann?√逆矩陣的求法:

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主換位?ab?1?d?b?A??1注①A?○：?????

cd?caad?bcA副變號(hào)????初等行變換②(AE)?????(EA?1)

?1?a1?③???a2?1?a1??1?????a3????mn1a2????????a1??3a3?(A)?(A)

mnmna2?1?a1????????1?a??11a31a2??????√方陣的冪的性質(zhì)：AA?Am?n√設(shè)Am?n,Bn?s,A的列向量為?1,?2,???,?n,B的列向量為?1,?2,???,?s，

則

AB?Cm?s??b11b12?b21b22??1,?2,???,?n?????bn1bn21b1s??b2s???c1,c2,??bns?,cs??A?i?ci，

(i?1,2,,s)??i為

Ax?ci的解

?A??1,??2,?s??,??A??A,2??s,??AT,,c2,?,???c1?scc?12,,cc,?1,?2,???,?n線性表示.即：C的列向量能由A的列向量線性表示，B為系數(shù)矩陣.s可由

同理：C的行向量能由B的行向量線性表示，A為系數(shù)矩陣.

?a11?a21?即：???an1a12a22an2a1n???1??c1??a11?1?a12?2???????a??a??a2n???2??c2??211222???????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2??a1n?2?c1?a2n?2?c2?amn?2?cm

√用對(duì)角矩陣?左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用?的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；

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用對(duì)角矩陣?右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用?的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘.

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?AB??AT√分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：????TCD???B?A?1?A?分塊矩陣的逆矩陣：????B????A?1?AC?????OB???O?1?1TCT?T?D?????B?1??BA??????1??A?1?1B?1????A?1A?1CB?1?O??AO?????1?1???CBB?B?????BCA?A11分塊對(duì)角陣相乘：A?????B11,B???A22??*??A11B11AB????B22??????AB*??B*n?n?A11?,A??A22B22???n?A22??A??BA*分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣：????B???A??????(?1)mnBA???(?1)mnAB?????√矩陣方程的解法(A?0)：設(shè)法化成(I)AX?B或(II)XA?B(I)的解法：構(gòu)造(AB)?????(EX)