圓的有關(guān)性質(zhì)

圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題1.（2014?珠海，第5題3分）如圖，線(xiàn)段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∠CAB=20°，則∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理．分析：利用垂徑定理得出=，進(jìn)而求出∠BOD=40°，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案．解答：解：∵線(xiàn)段AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識(shí)，得出∠BOD的度數(shù)是解題關(guān)鍵．2.（2014?廣西賀州，第11題3分）如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點(diǎn)E，且AC=2，AE=，CE=1．則弧BD的長(zhǎng)是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算．分析：連接OC，先根據(jù)勾股定理判斷出△ACE的形狀，再由垂徑定理得出CE=DE，故=，由銳角三角函數(shù)的定義求出∠A的度數(shù)，故可得出∠BOC的度數(shù)，求出OC的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．解答：解：連接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，涉及到直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，難度適中．3．（2014?溫州，第8題4分）如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項(xiàng)中與∠AOB相等的是（）A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C考點(diǎn)：圓周角定理．分析：根據(jù)圓周角定理，可得∠AOB=2∠C．解答：解：如圖，由圓周角定理可得：∠AOB=2∠C．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第5題3分）下列敘述正確的是（）A．方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定B．在不等式兩邊同乘或同除以一個(gè)不為0的數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變C．不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓D．兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等考點(diǎn)：方差；不等式的性質(zhì)；全等三角形的判定；確定圓的條件分析：利用方差的意義、不等號(hào)的性質(zhì)、全等三角形的判定及確定圓的條件對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．解答：解：A、方差越大，越不穩(wěn)定，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正確；D、兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了方差的意義、不等號(hào)的性質(zhì)、全等三角形的判定及確定圓的條件，屬于基本定理的應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單．5.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第6題3分）如圖，已知⊙O的半徑為13，弦AB長(zhǎng)為24，則點(diǎn)O到AB的距離是（）A．6B．5C．4D．3考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理分析：過(guò)O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．解答：解：過(guò)O作OC⊥AB于C，∵OC過(guò)O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出OC的長(zhǎng)．6.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第15題3分）如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C恰好在半圓上，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，則AC的長(zhǎng)為（）A．1B．C．3D．考點(diǎn)：圓周角定理；解直角三角形分析：由以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點(diǎn)C恰好在半圓上，過(guò)C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．解答：解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B===，∴AC=．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7.（2014?武漢，第10題3分）如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：（1）連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．利用切線(xiàn)求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽R(shí)T△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．解答：解：連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=．在Rt△BFP和Rt△OAF中，，∴Rt△BFP∽R(shí)T△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（）2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是切線(xiàn)與相似三角形相結(jié)合，找準(zhǔn)線(xiàn)段及角的關(guān)系．8．（2014·臺(tái)灣，第10題3分）如圖，有一圓通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且的中垂線(xiàn)與相交于D點(diǎn)．若∠B＝74°，∠C＝46°，則的度數(shù)為何？()A．23 B．28 C．30 D．37分析：由有一圓通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且的中垂線(xiàn)與相交于D點(diǎn)．若∠B＝74°，∠C＝46°，可求得與的度數(shù)，繼而求得答案．解：∵有一圓通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且的中垂線(xiàn)與相交于D點(diǎn)，∴＝2×∠C＝2×46°═92°，＝2×∠B＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋，∴＝EQ\f(1,2)(148﹣92)＝28°．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及弧與圓心角的關(guān)系．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．（2014·臺(tái)灣，第21題3分）如圖，G為△ABC的重心．若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交于兩點(diǎn)，則關(guān)于△ABC三邊長(zhǎng)的大小關(guān)系，下列何者正確？()A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC分析：G為△ABC的重心，則△ABG面積＝△BCG面積＝△ACG面積，根據(jù)三角形的面積公式即可判斷．解：∵G為△ABC的重心，∴△ABG面積＝△BCG面積＝△ACG面積，又∵GHa＝GHb＞GHc，∴BC＝AC＜AB．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心的性質(zhì)以及三角形的面積公式，理解重心的性質(zhì)是關(guān)鍵．10．（2014?浙江湖州，第4題3分）如圖，已知AB是△ABC外接圓的直徑，∠A=35°，則∠B的度數(shù)是（） A．35° B． 45° C． 55° D． 65°分析：由AB是△ABC外接圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度數(shù)．解：∵AB是△ABC外接圓的直徑，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11.（2014?孝感，第10題3分）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn)，且∠D=30°，下列四個(gè)結(jié)論：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④考點(diǎn)：垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形．分析：分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．解答：解：∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，OA過(guò)圓心，∴OA⊥BC，故①正確；∵∠D=30°，∴∠ABC=∠D=30°，∴∠AOB=60°，∵點(diǎn)A是點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴BC=2CE，∵OA=OB，∴OB=OB=AB=6cm，∴BE=AB?cos30°=6×=3cm，∴BC=2BE=6cm，故B正確；∵∠AOB=60°，∴sin∠AOB=sin60°=，故③正確；∵∠AOB=60°，∴AB=OB，∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴AC=OC，∴AB=BO=OC=CA，∴四邊形ABOC是菱形，故④正確．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．12.（2014?呼和浩特，第6題3分）已知⊙O的面積為2π，則其內(nèi)接正三角形的面積為（）A．3B．3C．D．考點(diǎn)：垂徑定理；等邊三角形的性質(zhì)．分析：先求出正三角形的外接圓的半徑，再求出正三角形的邊長(zhǎng)，最后求其面積即可．解答：解：如圖所示，連接OB、OC，過(guò)O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面積為2π∴⊙O的半徑為∵△ABC為正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB?sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB?cos∠BOD=?cos60°=，∴△BOC的面積=?BC?OD=××=，∴△ABC的面積=3S△BOC=3×=．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．二.填空題1．（2014?舟山，第16題4分）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE=CF；②線(xiàn)段EF的最小值為2；③當(dāng)AD=2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在上，則AD=2；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線(xiàn)段EF掃過(guò)的面積是16．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③⑤．考點(diǎn)：圓的綜合題；垂線(xiàn)段最短；平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；切線(xiàn)的判定；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：推理填空題．分析：（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF．（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線(xiàn)之間，垂線(xiàn)段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進(jìn)而求出AD長(zhǎng)．（5）首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性確定線(xiàn)段EF掃過(guò)的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線(xiàn)段EF掃過(guò)的面積．解答：解：①連接CD，如圖1所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴CE=CD．∴∠E=∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°．∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．∴∠F=∠CDF．∴CD=CF．∴CE=CD=CF．∴結(jié)論“CE=CF”正確．②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB=90°．∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=BC=2．根據(jù)“點(diǎn)到直線(xiàn)之間，垂線(xiàn)段最短”可得：點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2．∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴線(xiàn)段EF的最小值為4．∴結(jié)論“線(xiàn)段EF的最小值為2”錯(cuò)誤．（3）當(dāng)AD=2時(shí)，連接OC，如圖3所示．∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA=CO，∠ACO=60°．∵AO=4，AD=2，∴DO=2．∴AD=DO．∴∠ACD=∠OCD=30°．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴∠ECA=∠DCA．∴∠ECA=30°．∴∠ECO=90°．∴OC⊥EF．∵EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確．④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在上時(shí)，連接FB、AF，如圖4所示．∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴ED⊥AC．∴∠AGD=90°．∴∠AGD=∠ACB．∴ED∥BC．∴△FHC∽△FDE．∴=．∵FC=EF，∴FH=FD．∴FH=DH．∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°．∴BF=BD．∴∠FBH=∠DBH=30°．∴∠FBD=60°．∵AB是半圓的直徑，∴∠AFB=90°．∴∠FAB=30°．∴FB=AB=4．∴DB=4．∴AD=AB﹣DB=4．∴結(jié)論“AD=2”錯(cuò)誤．⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)．∴EF掃過(guò)的圖形就是圖5中陰影部分．∴S陰影=2S△ABC=2×AC?BC=AC?BC=4×4=16．∴EF掃過(guò)的面積為16．∴結(jié)論“EF掃過(guò)的面積為16”正確．故答案為：①、③、⑤．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的判定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．2.（2014?福建泉州，第17題4分）如圖，有一直徑是米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個(gè)圓周角是90°的最大扇形ABC，則：（1）AB的長(zhǎng)為1米；（2）用該扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，所得圓錐的底面圓的半徑為米．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算；圓周角定理專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：（1）根據(jù)圓周角定理由∠BAC=90°得BC為⊙O的直徑，即BC=，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=1；（2）由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，則2πr=，然后解方程即可．解答：解：（1）∵∠BAC=90°，∴BC為⊙O的直徑，即BC=，∴AB=BC=1；（2）設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr=，解得r=．故答案為1，．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．也考查了圓周角定理．3.（2014?廣東，第14題4分）如圖，在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，那么圓心O到AB的距離為3．考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，連結(jié)OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，連結(jié)OA，如圖，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圓心O到AB的距離為3．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．4．（2014?四川自貢，第14題4分）一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為3cm．考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；弦切角定理分析：連接OC，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的高等于底邊高的倍．題目中一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，說(shuō)明⊙O的半徑為，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的長(zhǎng)，利用垂徑定理即可得出CE的長(zhǎng)．解答：解：連接OC，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F，且△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，故高為2，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得FC=，即CE=3．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)．題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目．5.（2014?株洲，第11題，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C都在圓O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°．（第1題圖）考點(diǎn)：圓周角定理．分析：根據(jù)圓周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果．解答：解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°∴3∠ACB=84°∴∠ACB=28°．故答案為：28°．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓周角定理，關(guān)鍵在于找出兩個(gè)角之間的關(guān)系，利用代換的方法結(jié)論．6.（2014年江蘇南京，第13題，2分）如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為cm．（第2題圖）考點(diǎn)：垂徑定理、圓周角定理．分析：先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根據(jù)垂徑定理得到BE=AB=，且△BOE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解．解答：連結(jié)OB，如圖，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE為等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案為2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理．7.（2014?泰州，第15題，3分）如圖，A、B、C、D依次為一直線(xiàn)上4個(gè)點(diǎn)，BC=2，△BCE為等邊三角形，⊙O過(guò)A、D、E3點(diǎn)，且∠AOD=120°．設(shè)AB=x，CD=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=（x＞0）．（第3題圖）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理．分析：連接AE，DE，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可表示出x與y的關(guān)系，從而不難求解．解答：解：連接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴為240°，∴∠AED=120°，∵△BCE為等邊三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴=，即=，∴y=（x＞0）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生圓周角定理以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用能力．8．（2014?菏澤，第10題3分）如圖，在△ABC中∠A=25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為50°．考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系；直角三角形的性質(zhì)．分析：連接CD，求出∠B=65°，再根據(jù)CB=CD，求出∠BCD的度數(shù)即可．解答：解：連接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度數(shù)為50°．故答案為：50°．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓心角、弧之間的關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理、圓心角與弧的關(guān)系，關(guān)鍵是做出輔助線(xiàn)求出∠BCD的度數(shù)．9．（2014年山東泰安，第23題4分）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)O為圓心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足為E，交⊙O于D，連接BE．設(shè)∠BEC=α，則sinα的值為．分析：連結(jié)BC，根據(jù)圓周角定理由AB是半圓的直徑得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=6，再根據(jù)垂徑定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE=2，則可根據(jù)正弦的定義求解．解：連結(jié)BC，如圖，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，在Rt△BCE中，BE==2，∴sinα===．故答案為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ砗蛨A周角定理．三.解答題1.（2014?福建泉州，第26題14分）如圖，直線(xiàn)y=﹣x+3與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P（2，1）．（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)PC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′；①求△A′BC的周長(zhǎng)和sin∠BA′C的值；②對(duì)大于1的常數(shù)m，求x軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得sin∠BMC=．考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義專(zhuān)題：壓軸題；探究型．分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，1）代入即可．（2）①先求出直線(xiàn)y=﹣x+3與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用勾股定理即可求出△A′BC的周長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，運(yùn)用面積法可以求出CD長(zhǎng)，從而求出sin∠BA′C的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點(diǎn)M應(yīng)是⊙E與x軸的交點(diǎn)．然后對(duì)⊙E與x軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論，只需運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)就可求出滿(mǎn)足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=．∵點(diǎn)P（2，1）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴k=2×1=2．∴反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=．（2）①過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1所示．當(dāng)x=0時(shí)，y=0+3=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．OB=3．當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x+3，解得x=3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），OA=3．∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y軸，點(diǎn)P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周長(zhǎng)為3++2．∵S△ABC=BC?A′O=A′B?CD，∴BC?A′O=A′B?CD．∴2×3=3×CD．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周長(zhǎng)為3++2，sin∠BA′C的值為．②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C且半徑為m的⊙E，連接CE并延長(zhǎng)，交⊙E于點(diǎn)P，連接BP，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示．∵CP是⊙E的直徑，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BPC．∴點(diǎn)M在⊙E上．∵點(diǎn)M在x軸上∴點(diǎn)M是⊙E與x軸的交點(diǎn)．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四邊形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞EC．∴⊙E與x軸相離．∴x軸上不存在點(diǎn)M，使得sin∠BMC=．②當(dāng)m=2時(shí)，EH=EC．∴⊙E與x軸相切．Ⅰ．切點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，如圖2②所示．∴點(diǎn)M與點(diǎn)H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．Ⅱ．切點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）．③當(dāng)m＞2時(shí)，EH＜EC．∴⊙E與x軸相交．Ⅰ．交點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為M、M′，連接EM，如圖2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣，∴OM′=OH+HM′=+，∴M（﹣，0）、M′（+，0）．Ⅱ．交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．綜上所述：當(dāng)1＜m＜2時(shí)，滿(mǎn)足要求的點(diǎn)M不存在；當(dāng)m=2時(shí)，滿(mǎn)足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）和（﹣，0）；當(dāng)m＞2時(shí)，滿(mǎn)足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識(shí)，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過(guò)構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，難度系數(shù)比較大．由BC=2，sin∠BMC=聯(lián)想到點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關(guān)鍵．2．（2014?安徽省,第19題10分）如圖，在⊙O中，半徑OC與弦AB垂直，垂足為E，以O(shè)C為直徑的圓與弦AB的一個(gè)交點(diǎn)為F，D是CF延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O的交點(diǎn)．若OE=4，OF=6，求⊙O的半徑和CD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根據(jù)圓周角定理由OC為小圓的直徑得到∠OFC=90°，則可證明Rt△OEF∽R(shí)t△OFC，然后利用相似比可計(jì)算出⊙O的半徑OC=9；接著在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出C=3，由于OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答： 解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC為小圓的直徑，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽R(shí)t△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半徑OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ?、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．3．(2014年天津市，第21題10分)已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D．（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．分析： （Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．解答： 解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直徑為10，則OB=5，∴BD=5．點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．4．（2014?新疆，第21題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F，C是⊙O上兩點(diǎn)，且==，連接AC，AF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，垂足為D．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若CD=2，求⊙O的半徑．考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定．專(zhuān)題：證明題．分析：（1）連結(jié)OC，由=，根據(jù)圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）連結(jié)BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半徑為4．解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：連結(jié)BC，如圖，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半徑為4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．5．（2014年云南省，第23題9分）已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCD是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)DP的解析式（關(guān)系式）；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫(huà)圓．得到的圓稱(chēng)為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線(xiàn)與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 圓的綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線(xiàn)段最短；勾股定理；切線(xiàn)長(zhǎng)定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題： 綜合題；存在型；分類(lèi)討論．分析： （1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)DP的解析式．（2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線(xiàn)之間，垂線(xiàn)段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最?。柚谌切蜗嗨疲纯汕蟪鯠P⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．解答： 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．設(shè)直線(xiàn)DP的解析式為y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直線(xiàn)DP上，∴∴∴直線(xiàn)DP的解析式為y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都與⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四邊形DEPF=2S△PED=2×PE?DE=PE?DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線(xiàn)之間，垂線(xiàn)段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最?。逥P⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四邊形DEPF=DE=．∴四邊形DEPF面積的最小值為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的關(guān)鍵．另外，要注意“△DOM與△ABC相似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．6.（2014年廣東汕尾，第20題11分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交BC于E．（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；（2）求證：BC2=BD?BA；（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．分析： （1）利用切線(xiàn)的性質(zhì)及圓周角定理證明；（2）利用相似三角形證明；（3）利用正方形的性質(zhì)證明．證明：（1）如圖，連接OD．∵DE為切線(xiàn)，∴∠EDC+∠ODC=90°；∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．∴EB=EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD?BA；（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD=45°；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°∴Rt△ABC為等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題是幾何證明題，綜合考查了切線(xiàn)性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．試題著重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，難度不大．7.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第26題14分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：∠A=∠BCD；（2）若M為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對(duì)等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進(jìn)而證得直線(xiàn)DM與⊙O相切．解答：（1）證明：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）當(dāng)MC=MD（或點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)）時(shí)，直線(xiàn)DM與⊙O相切；解：連接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直線(xiàn)DM與⊙O相切．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線(xiàn)的判定，以及圓周角定理，關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．8.（2014?武漢2014?武漢，第22題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點(diǎn)，AB=13，AC=5．（1）如圖（1），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)；（2）如圖（2），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理分析：（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中點(diǎn)，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長(zhǎng)，利用勾股定理求得NP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得PA．解答：解：（1）如圖（1）所示，連接PB，∵AB是⊙O的直徑且P是的中點(diǎn)，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△ABC中有AB=13，∴PA===．（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點(diǎn)，作PN⊥AB于點(diǎn)N，∵P點(diǎn)為弧BC的中點(diǎn)，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因?yàn)锳B為直徑∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因?yàn)椤螦CB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13AC=5OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在RT△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在RT△ANP中有PA===3∴PA=3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)是本題的關(guān)鍵．9.（2014?襄陽(yáng)，第25題10分）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)交BP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．（1）求證：△ADP∽△BDA；（2）試探究線(xiàn)段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若AD=2，PD=1，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線(xiàn)的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進(jìn)而得出答案；（2）首先在線(xiàn)段PC上截取PF=PB，連接BF，進(jìn)而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；（3）利用△ADP∽△BDA，得出==，求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ADP∽△CAP，則=，則AP2=CP?PD求出AP的長(zhǎng)，即可得出答案．解答：（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；（2）PA+PB=PC，證明：在線(xiàn)段PC上截取PF=PB，連接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，在△BPA和△BFC中，，∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，∴AP2=CP?PD，∴AP2=（3+AP）?1，解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和切線(xiàn)的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．10.（2014?孝感，第20題8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分線(xiàn)交AC邊于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）請(qǐng)你判斷（1）中AB與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．分析：（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的作法求出角平分線(xiàn)BO；（2）過(guò)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出DO=CO，再根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得出答案．解答：解：（1）如圖：（2）AB與⊙O相切．證明：作OD⊥AB于D，如圖．∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB與⊙O相切．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了復(fù)雜作圖以及切線(xiàn)的判定等知識(shí)，正確把握切線(xiàn)的判定定理是解題關(guān)鍵．11.（2014?孝感，第24題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)D，直線(xiàn)DC與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）求證：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求線(xiàn)段PC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由PD切⊙O于點(diǎn)C，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；（2）由AD⊥PD，AB為⊙O的直徑，易證得CE平分∠ACB，繼而可得∴∠PFC=∠PCF，即可證得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；（3）首先連接AE，易得AE=BE，即可求得AB的長(zhǎng)，繼而可證得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．解答：解：（1）∵PD切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PD．（1分）又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．（3分）（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．…（4分）∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，…（5分）∴PC=PF，∴△PCF是等腰三角形．…（6分）（3）連接AE．∵CE平分∠ACB，∴=，∴．∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，．（7分）∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，（8分）∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴．設(shè)PC=4k，PB=3k，則在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6（k=0不合題意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．（10分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2014?浙江湖州，第19題分）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線(xiàn)AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理．分析： （1）過(guò)O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，再根據(jù)勾股定理求出CE及AE的長(zhǎng)，根據(jù)AC=AE﹣CE即可得出結(jié)論．解答： （1）證明：作OE⊥AB，∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13.（2014?湘潭，第25題）△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時(shí)S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑．（第1題圖）考點(diǎn)：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到兩組對(duì)應(yīng)角相等即可．（2）四邊形ADFE面積S可以看成△ADF與△AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過(guò)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，就可以解決問(wèn)題．（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將∠EDF轉(zhuǎn)化為∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通過(guò)解直角三角形就可求出AF長(zhǎng)．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD?DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE?EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為3．∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為3．（3）如圖2，∵A、D、F、E四點(diǎn)共圓，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圓的直徑．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．設(shè)EC=x，則EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圓直徑長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵．14.（2014年江蘇南京，第26題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓．（1）求⊙O的半徑；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B沿邊BA向點(diǎn)A以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，若⊙P與⊙O相切，求t的值．（第2題圖）考點(diǎn)：圓的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、解直角三角形分析：（1）求圓的半徑，因?yàn)橄嗲?，我們通常連接切點(diǎn)和圓心，設(shè)出半徑，再利用圓的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)表示其中關(guān)系，得到方程，求解即得半徑．（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內(nèi)切．所以我們要分別討論，當(dāng)外切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑的和；當(dāng)內(nèi)切時(shí)，圓心距等于大圓與小圓半徑的差．分別作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，類(lèi)似（1）通過(guò)表示邊長(zhǎng)之間的關(guān)系列方程，易得t的值．解答：（1）如圖1，設(shè)⊙O與AB、BC、CA的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，則AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．∵∠C=90°，∴四邊形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四邊形CEOF是正方形．設(shè)⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即⊙O的半徑為1cm．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC，垂直為G．∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，∴PG=，BG=．若⊙P與⊙O相切，則可分為兩種情況，⊙P與⊙O外切，⊙P與⊙O內(nèi)切．①當(dāng)⊙P與⊙O外切時(shí)，如圖3，連接OP，則OP=1+t，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OE，垂足為H．∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四邊形PHEG是矩形，∴HE=PG，PH=CE，∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．在Rt△OPH中，由勾股定理，，解得t=．②當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時(shí)，如圖4，連接OP，則OP=t﹣1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PG，垂足為M．∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四邊形OEGM是矩形，∴MG=OE，OM=EG，∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，在Rt△OPM中，由勾股定理，，解得t=2．綜上所述，⊙P與⊙O相切時(shí)，t=s或t=2s．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的性質(zhì)、兩圓相切及通過(guò)設(shè)邊長(zhǎng)，表示其他邊長(zhǎng)關(guān)系再利用直角三角形求解等常規(guī)考查點(diǎn)，總體題目難度不高，是一道非常值得練習(xí)的題目．15.（2014?呼和浩特，第24題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)CM．（1）求證：∠ACM=∠ABC；（2）延長(zhǎng)BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求△ACE的外接圓的半徑．考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線(xiàn)得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠AOC，得出結(jié)論，（2）連接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圓的直徑是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，解答：（1）證明：如圖，連接OC∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠AOC，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圓的直徑是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半徑為3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圓的半徑為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角的關(guān)系．圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題1.（2014?山東濰坊，第6題3分）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙0上，頂點(diǎn)C在⊙O直徑BE上，連接AE，∠E=36°，則∠ADC的度數(shù)是()A,44°B．54°C．72°D．53°考點(diǎn)：圓周角定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ADC，再根據(jù)圓周角定理的推論由BE為⊙O的直徑得到∠BAE=90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ABE的度數(shù)．解答：∵BE為⊙O的直徑，∴∠BAE=90°，∴∠ABC=90°－∠AEB=54°．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ADC=∠ABC=54°，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．2.(2014年貴州黔東南6．（4分）)如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，則AB的長(zhǎng)為（） A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 2cm考點(diǎn)： 圓周角定理；等腰直角三角形；垂徑定理．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 連結(jié)OA，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直徑CD垂直于弦AB，根據(jù)垂徑定理得AE=BE，且可判斷△OAE為等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE進(jìn)行計(jì)算．解答： 解：連結(jié)OA，如圖，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直徑CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE為等腰直角三角形，∴AE=OA，∵CD=6，∴OA=3，∴AE=，∴AB=2AE=3（cm）．故選B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理．3.（2014?山東臨沂,第9題3分）如圖，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．25°B．50°C．60°D．80°考點(diǎn)：圓周角定理；平行線(xiàn)的性質(zhì)．分析：由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圓周角定理，即可求得答案．解答：解：∵OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∴∠BOC=2∠BAC=50°．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及平行線(xiàn)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2014?四川涼山州，第12題，4分）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則A．cmB．cmC．cm或cmD．cm或cm考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理．專(zhuān)題：分類(lèi)討論．分析：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于點(diǎn)C的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．解答：解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm∴AC===4cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm∴MC=5﹣3=2cm在Rt△AMC中，AC===2cm．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（2014?四川瀘州，第12題，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是（3，a）（a＞3），半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，則a的值是（）A．4B．C．D．解答：解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結(jié)PB，如圖，∵⊙P的圓心坐標(biāo)是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴△PED也為等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ砗偷妊苯侨切蔚男再|(zhì)．6．（2014?四川內(nèi)江，第7題，3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=60°，AB=AC=2，則弦BC的長(zhǎng)為（）A．B．3C．2D．4考點(diǎn)：垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．分析：如圖，首先證得OA⊥BC；然后由圓周角定理推知∠C=30°，通過(guò)解直角△ACD可以求得CD的長(zhǎng)度．則BC=2CD．解答：解：如圖，設(shè)AO與BC交于點(diǎn)D．∵∠AOB=60°，OB=OA，∴△OAB是等邊三角形，∴∠BAO=60°，即∠BAD=60°．又∵AB=AC，∴=∴AD⊥BC，∴BD=CD，∴在直角△ABD中，BD=AB?sin60°=2×=，∴BC=2CD=2．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．推知△OAB是等邊三角形是解題的難點(diǎn)，證得AD⊥BC是解題的關(guān)鍵．7．（2014?甘肅蘭州,第13題4分）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連接BC、BD，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．AE=BEB．=C．OE=DED．∠DBC=90°考點(diǎn)：垂徑定理；圓周角定理．分析：由于CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直徑所對(duì)的圓周角等于90°．解答：解：∵CD⊥AB，∴AE=BE，=，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，不能得出OE=DE．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容．二、填空題1.（2014?四川巴中，第17題3分）如圖，已知A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，則∠BOC的度數(shù)是．考點(diǎn)：圓周角定理．分析：根據(jù)垂直的定義得到∠ADB=90°，再利用互余的定義計(jì)算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根據(jù)圓周角定理求解．解答：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，∴∠BOC=2∠A=70°．故答案為70°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．2．（2014?湖南張家界，第16題，3分）如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為．考點(diǎn)：垂徑定理；等腰梯形的性質(zhì)．專(zhuān)題：壓軸題．分析：A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，因而PA+PC=PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線(xiàn)上時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根據(jù)垂徑定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7，則PA+PC的最小值為．點(diǎn)評(píng)：正確理解BC的長(zhǎng)是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵．3.（2014?江西撫州，第13題，3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠OAB=20°,則∠C的度數(shù)為.解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C=∠AOB=70°4.(2014?年山東東營(yíng),第16題4分)在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，==，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CM+DM的最小值是8cm．考點(diǎn)： 軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；勾股定理；垂徑定理．分析： 作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D與AB相交于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得=，然后求出C′D為直徑，從而得解．解答： 解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D與AB相交于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，由垂徑定理，=，∴=，∵==，AB為直徑，∴C′D為直徑，∴CM+DM的最小值是8cm．故答案為：8．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．5．（2014?四川南充，第14題，3分）如圖，兩圓圓心相同，大圓的弦AB與小圓相切，AB=8，則圖中陰影部分的面積是．（結(jié)果保留π）分析：設(shè)AB于小圓切于點(diǎn)C，連接OC，OB，利用垂徑定理即可求得BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓環(huán)（陰影）的面積=π?OB2﹣π?OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．解：設(shè)AB于小圓切于點(diǎn)C，連接OC，OB．∵AB于小圓切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4cm∵圓環(huán)（陰影）的面積=π?OB2﹣π?OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圓環(huán)（陰影）的面積=π?OB2﹣π?OC2=π（OB2﹣OC2）=π?BC2=16πcm2．故答案是：16π．點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，注意到圓環(huán)（陰影）的面積=π?OB2﹣π?OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圓的半徑之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的關(guān)系．6．（2014?甘肅蘭州,第18題4分）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠ADC=54°，則∠BAC的度數(shù)等于．考點(diǎn)：圓周角定理．分析：由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得∠B的度數(shù)，又由直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可求得∠ACB=90°，繼而求得答案．解答：解：∵∠ABC與∠ADC是所對(duì)的圓周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案為：36°．點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等與直徑所對(duì)的圓周角是直角定理的應(yīng)用．三、解答題1.（2014?上海，第25題14分）如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線(xiàn)CE與射線(xiàn)BA交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP∥CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．考點(diǎn)：圓的綜合題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC進(jìn)而得出答案；（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF的長(zhǎng)；（3）當(dāng)∠AEG=∠B時(shí)，A、E、G重合，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，進(jìn)而求出即可．解答：解：（1）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∴BH=AB?cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此時(shí)CP=r=5；（2）如圖2，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，∵CE=CP，∴四邊形APCE是菱形，連接AC、EP，則AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，則∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如圖3：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴當(dāng)∠AEG=∠B時(shí)，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出△AGE是等腰三角形時(shí)只能∠AGE=∠AEG進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．2.（2014?山東煙臺(tái)，第24題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù).分析：連接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα?tan=．解答：證明：連接AC，則∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana?tan=?==．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，本題解題的關(guān)鍵是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα?tan=．3.（2014?遵義26．（12分））如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圓⊙O交BC于E點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AC于P點(diǎn)，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于F．（1）求證：CF=DB；（2）當(dāng)AD=時(shí)，試求E點(diǎn)到CF的距離．考點(diǎn)：圓的綜合題專(zhuān)題：綜合題．分析：（1）連結(jié)AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，則根據(jù)圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑，則∠AEC=90°，即AE⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BE=CE，再證明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CF=DB；（2）作EH⊥CF于H，由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°，則∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DC=AD=1，AC=2CD=2，則AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理計(jì)算出BD=，DF=2，所以CF=BD=，EF=DF=，接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根據(jù)圓周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PC=DC=，再證明Rt△FHE∽R(shí)t△FPC，利用相似比可計(jì)算出EH．解答：（1）證明：連結(jié)AE，如圖，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴BE=CE，CD∥BF，∴∠DCE=∠FBF，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（ASA），∴DE=FE，∴四邊形BDCF為平行四邊形，∴CF=DB；（2）解：作EH⊥CF于H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，AD=，∴DC=AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2，BF=CD=1，∴AF=3，在Rt△ABD中，BD==，在Rt△ADF中，DF==2，∴CF=BD=，EF=DF=，∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAE=30°，∴∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，∴∠DPC=90°，在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，∴PC=DC=，∵∠HFE=∠PFC，∴Rt△FHE∽R(shí)t△FPC，∴=，即=，∴EH=，即E點(diǎn)到CF的距離為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線(xiàn)段相等的問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用勾