江蘇省徐州市睢寧縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

2．已知平面上三點坐標(biāo)為、、，小明在點處休息，一只小狗沿所在直線來回跑動，則小狗距離小明最近時所在位置的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

3．已知橢圓，其上頂點為，左右焦點分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

4．已知直線被圓截得的弦長為2，則（）

A．B．C．2D．

5．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（）

A．16B．18C．21D．26

6．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（）．

A．B．

C．D．

7．已知雙曲線：的實軸長為，則的離心率為（）

A．B．C．D．

8．若關(guān)于的不等式的解集為區(qū)間，且，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．已知雙曲線一條漸近線與實軸夾角為，且，則離心率e的可能取值是（）

A．B．C．D．

10．設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則（）

A．B．離心率

C．短軸長為2，長軸長為4D．面積的最大值為1

11．若圓和圓的交點為、，則（）

A．公共弦所在直線的方程為B．線段的中垂線方程為

C．公共弦的長為D．與和都相切的兩條直線交于點

12．已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，直線平行于且在軸上的截距為，直線與橢圓交于，兩個不同的點．下列結(jié)論正確的是（）

A．橢圓的方程為B．

C．D．或

三、填空題

13．雙曲線的焦點到漸近線的距離等于.

14．已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，，其中為切點，若的最大值為，則的值為．

15．已知為雙曲線的左焦點，直線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是．

16．曼哈頓距離是由19世紀(jì)著名的德國數(shù)學(xué)家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，用來標(biāo)明兩個點在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中的絕對軸距總和.例如在平面直角坐標(biāo)系中，點的曼哈頓距離為.已知動點在圓上，點，則兩點的曼哈頓距離的最大值為.

四、解答題

17．若圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸的交點分別為，，求圓C的方程．

18．已知點，兩條直線，，

(1)設(shè)點到直線的距離分別為，求；

(2)過點作直線分別交于，使為線段的中點，求直線的方程．

19．已知分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且.

(1)求橢圓的方程；

(2)延長，并與橢圓分別相交于兩點，求的面積.

20．雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點且垂直于軸的弦長為．

(1)求雙曲線方程；

(2)過雙曲線的下焦點作傾角為的直線交曲線于、，求的長．

21．已知橢圓C的離心率為，長軸的兩個端點分別為，.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點的直線與橢圓C交于M，N（不與A，B重合）兩點，直線AM與直線交于點Q，求證：、、三點共線.

22．已知橢圓上的點到它的兩個焦點的距離之和為，以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個焦點，點，分別是橢圓的左、右頂點．

（1）求圓和橢圓的方程．

（2）已知，分別是橢圓和圓上的動點（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點，．求證：為定值．睢寧縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷解析

一、單選題

1．若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】由題意得，解不等式組可得的取值范圍．

【詳解】由題意得，解得

故選：A

2．已知平面上三點坐標(biāo)為、、，小明在點處休息，一只小狗沿所在直線來回跑動，則小狗距離小明最近時所在位置的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】設(shè)小狗的位置為點，當(dāng)時，小狗距離小明最近，求出直線、的方程，聯(lián)立可求得結(jié)果.

【詳解】因為，所以，直線的方程為，即，

設(shè)小狗的位置為點，當(dāng)時，小狗距離小明最近，

此時直線的方程為，聯(lián)立，解得，

因此，小狗距離小明最近時所在位置的坐標(biāo)為.

故選：C.

3．已知橢圓，其上頂點為，左右焦點分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求求解.

【詳解】如圖所示，橢圓，其上頂點為，左右焦點分別為，為等邊三角形，

則橢圓的離心率為.

故選：A.

4．已知直線被圓截得的弦長為2，則（）

A．B．C．2D．

【答案】B

【分析】求出該圓的圓心和半徑長，用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后利用圓的半徑長、弦長的一半以及弦心距三者滿足勾股定理可得出關(guān)于的等式，則可解得的值.

【詳解】圓的圓心為，半徑為，

圓心C到直線l的距離為，

由題意可知，，

解之得，即.

故選：B.

5．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過F1的弦AB的長為5，若2a＝8，那么△ABF2的周長是（）

A．16B．18C．21D．26

【答案】D

【分析】如圖，根據(jù)題意和雙曲線的定義直接得出結(jié)果.

【詳解】如圖所示，由雙曲線的定義知，

，(1)

，(2)

又，(3)

所以由(1)，(2)，(3)得，

故的周長為.

故選：D.

6．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（）．

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓相交，根據(jù)圓與圓位置關(guān)系判斷即可求實數(shù)的取值范圍.

【詳解】解：如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2

則圓和圓相交，

又圓的圓心為，半徑為

兩圓圓心距，

由得，

解得，即．

故選：D．

7．已知雙曲線：的實軸長為，則的離心率為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】由判斷的焦點在軸上，則根據(jù)實軸長可得或，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即可求得離心率

【詳解】由，知的焦點在軸上，

因為的實軸長為，所以，解得或，

又因為是雙曲線，所以，所以，

則雙曲線：，

則的離心率為，

故選：A.

8．若關(guān)于的不等式的解集為區(qū)間，且，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】令，，作出其圖象，不等式的解，由圖象分析可得參數(shù)滿足的條件，從而求得結(jié)果．

【詳解】令，，其示意圖如圖，直線過定點，，

若，要滿足，則，此時.從而；

若，要滿足，則.則，由于直線過定點，因此不存在，從而不存在，

所以，

故選：A．

二、多選題

9．已知雙曲線一條漸近線與實軸夾角為，且，則離心率e的可能取值是（）

A．B．C．D．

【答案】BC

【分析】根據(jù)的關(guān)系求得正確答案.

【詳解】由于，所以，

依題意，所以，

所以.

故選：BC

10．設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則（）

A．B．離心率

C．短軸長為2，長軸長為4D．面積的最大值為1

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，求出，然后利用橢圓的定義，逐個選項進行計算并判斷答案.

【詳解】橢圓

由題意，得，，，

則，故A正確，

因為，，，所以，，故B錯誤，

由已知得，長軸長為，短軸長為，故C錯誤，

對于D，當(dāng)且僅當(dāng)點在橢圓的短軸端點處有最大值，此時，，故D正確；

故選：AD

11．若圓和圓的交點為、，則（）

A．公共弦所在直線的方程為

B．線段的中垂線方程為

C．公共弦的長為

D．與和都相切的兩條直線交于點

【答案】ABD

【分析】將兩圓方程作差可得出公共弦的方程，可判斷A選項；分析可知直線垂直平分線段，求出直線的方程，可判斷B選項；求出，可判斷C選項；利用三角形相似求出兩圓公切線的交點的坐標(biāo)，可判斷D選項.

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，

則，所以，，

所以，圓、相交，

對于A選項，將兩圓方程作差可得，即公共弦所在直線的方程為，A對；

對于B選項，由圓的幾何性質(zhì)可知，直線垂直平分線段，

所以，線段的中垂線所在直線的方程為，B對；

對于C選項，圓心到直線的距離為，

所以，，C錯；

對于D選項，設(shè)兩切線交于點，由圓的對稱性可知，點在直線上，

設(shè)兩切線分別切圓于、兩點，分別切圓于點、，

連接、，由切線的幾何性質(zhì)可知，，

又因為，故，

設(shè)點，則，所以，，解得，即點，

因此，與和都相切的兩條直線交于點，D對.

故選：ABD.

12．已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，直線平行于且在軸上的截距為，直線與橢圓交于，兩個不同的點．下列結(jié)論正確的是（）

A．橢圓的方程為B．

C．D．或

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，待定系數(shù)求得橢圓的方程為，進而結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系依次討論各選項即可得答案.

【詳解】解：由題意，得解得故橢圓的方程為，A項正確；由于，故B項正確；

因為直線的斜率，又在軸上的截距為，所以的方程為．由

得．因為直線與橢圓交于，兩個不同的點，所以，

解得，故C項正確，D項錯誤．

故選：ABC

三、填空題

13．雙曲線的焦點到漸近線的距離等于.

【答案】2.

【分析】先求出焦點坐標(biāo)和漸近線方程，進而求出焦點到漸近線的距離即可.

【詳解】由題意，，漸近線方程為：，焦點到漸近線的距離為：.

故答案為：2.

14．已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，，其中為切點，若的最大值為，則的值為．

【答案】

【分析】根據(jù)直角三角形邊與角的關(guān)系分析得到當(dāng)最小時，最大，再根據(jù)當(dāng)時，最小即可求解.

【詳解】由題可知，，所以的最大值為，

在直角中，,，

所以當(dāng)最小時，最大，此時，

所以，

當(dāng)時，最小，等于圓心到直線的距離，

所以，解得，

故答案為:.

15．已知為雙曲線的左焦點，直線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是．

【答案】

【分析】連接，利用由雙曲線的定義和求出，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到，整理化簡即可求出離心率的取值范圍.

【詳解】

連接，可得四邊形為平行四邊形，即有.

由雙曲線的定義可得.因為，所以，可得.

由雙曲線的性質(zhì)可得，即有，由可得，解得，又,即有，則離心率的取值范圍是．

故答案為：．

16．曼哈頓距離是由19世紀(jì)著名的德國數(shù)學(xué)家赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，用來標(biāo)明兩個點在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中的絕對軸距總和.例如在平面直角坐標(biāo)系中，點的曼哈頓距離為.已知動點在圓上，點，則兩點的曼哈頓距離的最大值為.

【答案】/

【分析】設(shè)點，根據(jù)曼哈頓距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)點，則兩點的曼哈頓距離，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

所以兩點的曼哈頓距離的最大值為.

故答案為：.

四、解答題

17．若圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸的交點分別為，，求圓C的方程．

【答案】

【分析】由條件圓C與x軸的交點分別為，可得圓心在直線上，然后結(jié)合圓心在直線上可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，然后可得答案.

【詳解】因為圓C與x軸的交點分別為，，所以圓心在直線上，

又因為圓C的圓心在直線上，所以圓心坐標(biāo)為

所以半徑為

所以圓C的方程為

18．已知點，兩條直線，，

(1)設(shè)點到直線的距離分別為，求；

(2)過點作直線分別交于，使為線段的中點，求直線的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式求解即可；

（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在，設(shè)方程為，再分別聯(lián)立方程求得，，進而根據(jù)中點坐標(biāo)公式解方程即可.

【詳解】（1）解：因為點，兩條直線，

所以，點到直線的距離，

點到直線的距離分別為，

所以

（2）解：當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，方程為，

此時與的交點分別為，顯然不滿足為線段的中點，

所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為

因為點作直線分別交于，

所以，且，

所以，聯(lián)立方程得，即，

聯(lián)立方程得，即，

因為為線段的中點，

所以，，解得，

所以，所求直線方程為，即.

19．已知分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且.

(1)求橢圓的方程；

(2)延長，并與橢圓分別相交于兩點，求的面積.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由數(shù)量積關(guān)系建立關(guān)于的方程，再由點在橢圓上，聯(lián)立關(guān)于的方程組求解即可；

（2）由（1）知軸，由對稱性可得點坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，解出坐標(biāo)，進而求得面積.

【詳解】（1），

則，解得.

由解得，

故橢圓的方程為.

（2）由（1）可知，直線的方程為，根據(jù)對稱性可知.

直線的方程為，

聯(lián)立方程組整理得，

解得或，則.

.

20．雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點且垂直于軸的弦長為．

(1)求雙曲線方程；

(2)過雙曲線的下焦點作傾角為的直線交曲線于、，求的長．

【答案】(1)

(2)6

【分析】(1)利用雙曲線的一條漸近線方程為,過焦點且垂直于軸的弦長為6,建立方程,即可求雙曲線方程;

(2)設(shè)直線方程,聯(lián)立方程,由韋達定理及弦長公式即可求的長.

【詳解】（1）因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以,

雙曲線的上焦點為，在中令得，所以，

∴,

∴雙曲線方程為;

（2）過雙曲線的下焦點且傾角為的直線斜率為，直線方程為,

代入雙曲線方程可得，，

設(shè)，故，

故的長為6.

21．已知橢圓C的離心率為，長軸的兩個端點分別為，.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過