含30°角的直角三角形的性質第2課時課件人教版數學八年級上冊

第十三章軸對稱含30°角的直角三角形的性質學習目標1.運用等邊三角形能推導出30°角的直角三角形的性質2.含30°角的直角三角形的性質及應用（重點）3.會運用含30°角的直角三角形的性質進行有關的證明和計算（難點）情境引入問題1如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數量關系嗎？分離拼接ACB新課導入問題2

將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現？新課導入情境引入性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？含30°角的直角三角形的性質講授新課證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．

延長BC到D，使BD=AB，連接AD，

則△ABD

是等邊三角形．

又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=BD．

證法1講授新課講授新課EABC在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法證法2講授新課知識要點含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.應用格式：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．判斷下列說法是否正確：1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．

2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半。

3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．×××√即時練

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例題講授新課

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC例題方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．講授新課

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數量關系？請說明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例題講授新課在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據，如果問題中出現探究線段倍分關系的結論時，要聯想此性質．講授新課例題想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？

如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多長？ABCDE講授新課ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB，DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是，DE的長是1.85m.講授新課例題

已知:等腰三角形的底角為15°,腰長為20.求腰上的高.解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直角三角形來解決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質解決問題.講授新課例題

如圖，某貨輪于上午8時20分從A處出發(fā)，此時觀測到海島B的方位為北偏東60°，該貨輪以每小時30海里的速度向東航行到C處，此時觀測到海島B的方位為北偏東30°，繼續(xù)向東航行到D處，觀測到海島B的方位為北偏西30°.當貨輪到達C處時恰好與海島B相距60海里，求該貨輪到達C，D處的時間．導引：說明△ABC是等腰三角形及△BCD是等邊三角形是解決本題的關鍵．

講授新課解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，

∠ACB＝90°＋30°＝120°，∠BCD＝∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝30°，

∴AC＝BC＝60海里，

∴貨輪從A處到C處所需時間為60÷30＝2(小時)．∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴CD＝BC＝60海里，∴貨輪從C處到D處所需時間為60÷30＝2(小時)，∴貨輪從A處到D處所需時間為2＋2＝4(小時)．答：該貨輪到達C處的時間是上午10時20分，到達D處的時間是中午12時20分．講授新課小

結

本題運用建模思想，把實際問題轉化為等邊三角形和等腰三角形模型，從而利用等邊三角形、等腰三角形及方位角的有關知識解決問題．1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，則AB等于(

)

A．6cmB．7cmC．8cm

D．9cmC2.如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關系式正確的為(

)A．BD＝CDB．BD＝2CDC．BD＝3CDD．BD＝4CDB當堂練習3.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B4.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元

D．225a元B當堂練習5.如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=

.ABCD16.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC

=

.57.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=______.ACB8當堂練習8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，∴AC

=AE

=

BE

=2.5．當堂練習9.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，D是BC的中點，DE⊥AB于E點，求證：BE=3EA.證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°.∵D是BC的中點，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.當堂練習10.如圖，已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為BC、AC上的點，且CD=AE，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q,求證:BP=2PQ.∴△ADC≌△