流體流動(dòng)與傳熱的數(shù)值計(jì)算

傳熱與流體流動(dòng)過(guò)程的

數(shù)值模擬基礎(chǔ)與應(yīng)用課程性質(zhì)：研究生課程

授課時(shí)數(shù)：40

學(xué)時(shí)授課教師：

張建文博士

11/4/20231課程簡(jiǎn)介與總體步驟：數(shù)學(xué)描述（MathematicalModel）2)離散化、求離散化系數(shù)(Discritization&Coefficients)3)解方程→得到變量如速度、溫度等的分布(Distribution&Profile)4)求各傳遞系數(shù)(HeatTransferCoefficient,MassTransferCoefficients,etc)11/4/20232教材：傳熱與流體流動(dòng)過(guò)程的數(shù)值模擬基礎(chǔ)與應(yīng)用張建文楊振亞張政編著

參考書：SVPatankar,NumericalHeatTransferandFluidFlowR.B.Bird&W.E.Steward，TransportPhenomenaE.R.G.Eckert，AnalysisofheatandmasstransferJacob，HeatTransfer王補(bǔ)宣，工程傳熱與傳質(zhì)學(xué)O.C.Zienkiewieg，Thefiniteelementmethod,byH.Schlichting，Boundarylayertheory陶文銓，數(shù)值傳熱學(xué),陳義良，湍流計(jì)算模型粘性流體力學(xué)，E.R.G.Eckert，對(duì)流傳熱傳質(zhì)（中譯本）11/4/20233目錄第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章11/4/20234§1本課程范圍一、課程范圍1.工程設(shè)備、自然環(huán)境及生物機(jī)體中出現(xiàn)的熱質(zhì)傳遞，流體流動(dòng)、化學(xué)反應(yīng)及其他一些相關(guān)過(guò)程。數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算方法相結(jié)合求解相關(guān)的問(wèn)題。2.預(yù)備知識(shí)化工傳遞過(guò)程、線性代數(shù)、流體力學(xué)與傳熱學(xué)、矩陣、Fortran語(yǔ)言、數(shù)學(xué)物理方程、計(jì)算方法等

第一章序言（論）

11/4/202353.研究化工過(guò)程的六個(gè)層次：a.物質(zhì)的基本物化特性：外觀、性質(zhì)、物化性質(zhì)（密度、Cp、K、D等）基礎(chǔ)物性數(shù)據(jù)

b.化工遷移的基本物理現(xiàn)象c.化工單元設(shè)備：核心裝置與過(guò)程化學(xué)工程的核心d.基本化工裝置：工段、車間各種或大或小的化工系統(tǒng)，不同尺度范圍的系統(tǒng)e.工廠f.大系統(tǒng)11/4/20236二、研究傳遞現(xiàn)象、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的重要性：亦即預(yù)測(cè)傳熱、傳質(zhì)，流動(dòng)的必要性1．存在于一切過(guò)程單元設(shè)備與過(guò)程中①若說(shuō)化工原理是解決化工單元過(guò)程的基本共性的宏觀的問(wèn)題如流動(dòng)阻力系數(shù)、傳熱系數(shù)、傳質(zhì)系數(shù)；相應(yīng)的方程式如貝努利方程、傳熱Nu關(guān)系式，三傳類比關(guān)系式等）②化工傳遞、流體力學(xué)、傳熱學(xué)的研究則主要是放在協(xié)助人們?nèi)ソ沂具@些過(guò)程的內(nèi)在規(guī)律（起源、發(fā)展、變化、結(jié)果）、細(xì)節(jié)（如生產(chǎn)效率的提高、產(chǎn)品質(zhì)量的提高）→要知道局部或細(xì)節(jié)的改變？為何改變及如何著手去改進(jìn)？11/4/20237③局部變化、整體機(jī)理；④化學(xué)反應(yīng)過(guò)程：反應(yīng)級(jí)數(shù)、何處需先加熱、何處不需加熱等具體實(shí)施過(guò)程；⑤攪拌、混合：槳葉形式、擋板構(gòu)型；⑥流動(dòng)則是研究傳熱與傳質(zhì)過(guò)程的基礎(chǔ)，而不僅僅是知道總壓力降（總阻力）而已！11/4/202382.傳遞現(xiàn)象存在于自然界的幾乎所有工業(yè)過(guò)程中，影響著有關(guān)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，有時(shí)甚至是決定性的。自然環(huán)境：大氣、海洋的環(huán)流、生態(tài)環(huán)境的保護(hù)、污染、臭氧層空洞的變化、CO2的溫室效應(yīng)，暴風(fēng)雨、河流泛濫；生物流體：血液流動(dòng)、人體溫度控制、腎臟、肺功能等；工業(yè)過(guò)程：電力、能源工業(yè)、原子能→解決能源工業(yè)與熱能工程；動(dòng)力、航天、交通：解決衛(wèi)星回收、保護(hù)的關(guān)鍵問(wèn)題；電子線路、計(jì)算機(jī)：超大型計(jì)算機(jī)發(fā)展的核心問(wèn)題；化工安全、冶金、輕工、建筑、機(jī)械、材料工業(yè)：無(wú)不與這些過(guò)程有關(guān)→所有這些都要求更細(xì)的過(guò)程、更精密的控制→有必要預(yù)測(cè)有關(guān)的過(guò)程。

11/4/20239意義：①工程設(shè)備設(shè)計(jì)師可從大量了解方案中確定最佳設(shè)計(jì)以確保最佳性能；②生產(chǎn)過(guò)程工藝師可更安全、有效地操作現(xiàn)有設(shè)備；③自動(dòng)化控制工程師；④研究工程師；⑤預(yù)災(zāi)難發(fā)生及應(yīng)對(duì)措施。11/4/202310三、本課程的目的目的在于使學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本課程之后，掌握應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)研究化工單元內(nèi)部過(guò)程（即三傳和一反過(guò)程）的一套數(shù)值計(jì)算方法，即應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)求解有關(guān)的動(dòng)量、能量、物質(zhì)（組分）傳遞的微分方程，計(jì)算在有關(guān)化工單元過(guò)程中物料（包括固體、液體及氣體）的溫度、壓力、速度、濃度分布，并由此進(jìn)而計(jì)算有關(guān)過(guò)程的傳熱、流動(dòng)阻力、傳質(zhì)參數(shù)、反應(yīng)速率、產(chǎn)品分布的基本方法等。11/4/202311三、本課程的目的數(shù)值求解有關(guān)過(guò)程的方法很多，但本課程不打算介紹所有現(xiàn)成的方法，這樣只會(huì)把同學(xué)們搞糊涂，感到茫然、不知所措。本課程主要介紹由Patankar教授與Spalding教授所開(kāi)創(chuàng)的（通用）數(shù)值計(jì)算方法。學(xué)習(xí)和掌握這一套方法后即可用以計(jì)算分析在科研工作中可能遇到的實(shí)際問(wèn)題，并可在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)、掌握其他數(shù)值計(jì)算方法。11/4/202312根據(jù)我們課題組多年來(lái)在不同項(xiàng)目的研究經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)來(lái)看，這一套方法非常行之有效。本書以物理上的依據(jù)為基礎(chǔ)，形式又簡(jiǎn)明易懂。推薦采用本書學(xué)習(xí)。本課程為40學(xué)時(shí)，由于時(shí)間關(guān)系，不能對(duì)全書內(nèi)容作詳細(xì)介紹，特別是計(jì)算程序，只能作少量介紹，但本課程重在培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的方法和思想，以便：①在本書學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上自學(xué)，鉆研、編制有關(guān)的程序；②今后辦相關(guān)學(xué)習(xí)、研討班，同學(xué)可參加；③建立工作上的聯(lián)系。11/4/202313§2、預(yù)測(cè)有關(guān)物理現(xiàn)象的方法1．實(shí)驗(yàn)研究最可靠的數(shù)據(jù)資料往往來(lái)源于實(shí)驗(yàn)，如化工過(guò)程設(shè)備的氣動(dòng)性能，塔、反應(yīng)器、流化床，…的操作性能、流體力學(xué)性能等的實(shí)驗(yàn)研究；核爆實(shí)驗(yàn)等…。采用實(shí)物實(shí)驗(yàn)研究可抓住特征、重點(diǎn)的試驗(yàn)，直觀、明確的觀察→對(duì)于掌握有關(guān)外部現(xiàn)象與基本性能之間的本質(zhì)關(guān)系有重要意義。但試驗(yàn)的代價(jià)→昂貴，某些時(shí)候甚至不可能實(shí)現(xiàn)，尤其是在大型工業(yè)化裝置上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)更為困難?！荒茚槍?duì)已有的現(xiàn)象或裝置做→很難用于開(kāi)發(fā)。1：1，逐漸放大→大大影響了我國(guó)化學(xué)工業(yè)的發(fā)展。對(duì)一些基本物理現(xiàn)象的規(guī)律并不都能從實(shí)物試驗(yàn)中獲得。11/4/202314②相似理論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)縮小規(guī)模：或取一局部物體作模型試驗(yàn)。如裂解爐的開(kāi)發(fā)：?jiǎn)喂茉囼?yàn)、多管縮小尺寸、傳熱試驗(yàn)、加熱時(shí)間等；再如降膜結(jié)晶法：a.短單管→物理現(xiàn)象觀察分析；b.長(zhǎng)、單管，中間實(shí)驗(yàn)；c.多根管的放大試驗(yàn)；d工業(yè)裝置。但即使如此，有時(shí)也存在不同程度的困難。11/4/202315②相似理論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)幾何相似：按比例縮放，比例放大…本來(lái)已經(jīng)小的尺寸怎么辦？調(diào)試干擾困難等等，有時(shí)幾何不相似反而好！控制無(wú)因次準(zhǔn)數(shù)相等很困難；運(yùn)動(dòng)相似，熱質(zhì)條件相似；對(duì)多個(gè)準(zhǔn)數(shù)控制時(shí)，很難滿足都相等。如Re相等，M數(shù)相等，Gr數(shù)、Pr數(shù)等，氣相、自然對(duì)流、射流主要因素相似11/4/2023162．理論計(jì)算、或是理論計(jì)算輔以實(shí)驗(yàn)（工作量大大減少的試驗(yàn)）→建立在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上→一組反映物理過(guò)程內(nèi)部聯(lián)系的微分方程

傳遞過(guò)程原理方面的知識(shí)，數(shù)學(xué)模型的可靠程度將起決定性作用（1）依賴于準(zhǔn)確可靠的數(shù)學(xué)模型，（2）依賴于合適的數(shù)學(xué)方法。1)經(jīng)典的求解方法（應(yīng)用范圍極其有限）即經(jīng)典流體力學(xué)傳熱、傳遞過(guò)程提供的方法；獲得求解微分方程，簡(jiǎn)化模型的封閉解，有一定的參考價(jià)值，說(shuō)明某個(gè)局部問(wèn)題、簡(jiǎn)化問(wèn)題、或是用于對(duì)數(shù)值方法的驗(yàn)證。

11/4/2023172)數(shù)值方法代數(shù)方法代替微分方程，進(jìn)而用計(jì)算機(jī)求解，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，近20年來(lái)得到蓬勃的發(fā)展。數(shù)值方法的發(fā)展及大型計(jì)算機(jī)機(jī)的應(yīng)用使得可對(duì)似乎任何實(shí)際問(wèn)題求出數(shù)學(xué)模型隱含解。新的專業(yè)方向：CFD、CHT、CHM、CC、環(huán)境流體力學(xué)、大氣、海洋環(huán)流等…學(xué)科的蓬勃發(fā)展。

11/4/202318優(yōu)缺點(diǎn)3)優(yōu)點(diǎn)：a.成本低：硬件、實(shí)物成本下降；智力成本、知識(shí)成本上升，知識(shí)價(jià)值體現(xiàn)；b.速度快，高效能，人的智力因素起重要作用；c.可提供完備的資料：研究細(xì)節(jié)、不受干擾；局部情況，可以揭示內(nèi)部規(guī)律；d.模擬真實(shí)的條件：高低溫，快、慢速；有毒、易爆等條件；e.模擬理想條件：二維、穩(wěn)態(tài)、常物性、絕熱、無(wú)干擾、有干擾等。11/4/202319優(yōu)缺點(diǎn)4)缺點(diǎn)：一分為二的觀點(diǎn)，缺點(diǎn)難免存在。a.數(shù)學(xué)模型的適用限度是關(guān)鍵因素，對(duì)于一些數(shù)學(xué)模型尚不清楚的過(guò)程（如復(fù)雜紊流、某些非牛頓流、多相流、相變過(guò)程、流變化等等）。有待于進(jìn)一步的模型研究如紊流模型、非牛頓流體模型、二相氣液流等；需要提出模型，計(jì)算分析→較正模型，深化完善模型。需要的是弄清楚模型：伴有傳質(zhì)過(guò)程、復(fù)雜化學(xué)反應(yīng)、動(dòng)力學(xué)等等。30多年來(lái)模型研究在不斷發(fā)展完善更接近于真實(shí)。11/4/202320b：即便對(duì)于已能用合適的數(shù)學(xué)模型描述的過(guò)程，如熱傳導(dǎo)、層流、流動(dòng)、擴(kuò)散過(guò)程、簡(jiǎn)單紊流邊界層，本構(gòu)方程均清楚的非牛頓流體等也存在一些問(wèn)題，幾何復(fù)雜、變物性大、紊流變化快、尺度小、多孔介質(zhì)，一些非穩(wěn)態(tài)（非定常）問(wèn)題不得不作一定的簡(jiǎn)化→受計(jì)算方法、計(jì)算機(jī)功能的限制、實(shí)際問(wèn)題仍需作適當(dāng)簡(jiǎn)化11/4/202321→計(jì)算精度與范圍有賴于計(jì)算機(jī)及計(jì)算方法的進(jìn)一步發(fā)展，如以前不能完成的，現(xiàn)在可以解決；以前只能粗略解決的，現(xiàn)可以精細(xì)分析→最好的預(yù)測(cè)方法實(shí)驗(yàn)與理論相結(jié)合；各自優(yōu)點(diǎn)互相補(bǔ)充，而不是互相排斥、隨著技術(shù)的發(fā)展，理論所起作用逐漸變大。技術(shù)發(fā)展對(duì)理論和實(shí)驗(yàn)二方面都提出更高的要求。11/4/202322§3本課程基本內(nèi)容與安排第一部分基本理論預(yù)計(jì)課時(shí)實(shí)際第一章緒論22第二章數(shù)學(xué)描述33第三章離散化方法44第四章熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散46第五章對(duì)流傳熱與擴(kuò)散46第六章流場(chǎng)計(jì)算46第七章求解方法、方法修飾22第八章專題22第九章應(yīng)用實(shí)例1111/4/202323第二部分計(jì)算程序及應(yīng)用預(yù)計(jì)課時(shí)實(shí)際一、基本框圖結(jié)構(gòu)分析33

二、幾何處理及網(wǎng)絡(luò)44

三、主程序分析44

四、介紹部分應(yīng)用程序44CFX、Phoenix、Fluent、Star-CD

第三部分考試3學(xué)時(shí)

11/4/202324§4學(xué)習(xí)本課程的基礎(chǔ)知識(shí)要求1.傳遞過(guò)程原理、流體力學(xué)、傳熱學(xué)2.線性代數(shù)、張量、數(shù)值計(jì)算方法3.數(shù)學(xué)物理方程4.計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力

11/4/202325第二章物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述重點(diǎn)內(nèi)容：①笛卡爾坐標(biāo)（x，y，z）系中流動(dòng)控制微分方程組（PDE）的推導(dǎo)；②牛頓粘性定律及奈維爾—斯托克斯方程的獲得③控制微分方程之間的相似性及傳遞方程的定義④傳遞方程在有限時(shí)間和有限控制體積內(nèi)的積分形式；⑤物理行為分類：橢圓型、拋物型和雙曲型⑥粘性流體流動(dòng)的定解約束條件

11/4/202326如緒論所言，將控制傳熱、流體流動(dòng)及其他有關(guān)過(guò)程的規(guī)律表達(dá)成數(shù)學(xué)形式（數(shù)學(xué)形式參見(jiàn)TRANSPORTPHENOMEA，流體力學(xué)，工程傳熱傳質(zhì)學(xué)）后，下一步即可著手對(duì)這些過(guò)程方程進(jìn)行數(shù)值解（離散化，網(wǎng)格），本章在于進(jìn)一步明確相關(guān)方程的形式和意義。本課程的一個(gè)重要形式將所有方程用一個(gè)共同的形式來(lái)表達(dá)——通用變量的傳遞方程形式來(lái)表達(dá)，進(jìn)而構(gòu)成通用解法的基礎(chǔ)11/4/202327§2.1控制微分方程1)直角坐標(biāo)上的穩(wěn)態(tài)過(guò)程

2)圓管內(nèi)軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)

3)邊界層類型

4)TW=Const時(shí)的充分發(fā)展

5)恒定壁面熱流密度一、基本概念首先介紹一下傳遞過(guò)程現(xiàn)象中的一些基本概念11/4/2023281.主要物理量→所研究的問(wèn)題（因變量）在一定時(shí)間、空間的變化①因變量（物理量）滯止焓比內(nèi)能e≡h-P/ρ密度ρ[kg/m3]速度單位時(shí)間、單位面積、密度的質(zhì)量流

(kg/sec/m2)/(kg/m3)=m/s質(zhì)量分量mi[kg/kg]∑mi=1比焓h[J/kg],對(duì)多組分：溫度T[°K，°C]湍流動(dòng)能k[m2/s2]11/4/202329湍流耗散率ε[m2/s3]其他：物性λ、μ、a、D、Cp（參數(shù)、因變量）→φ:普遍化變量→φ=f（x,y,z,t）或f（，t）2)自變量(坐標(biāo))A.

空間坐標(biāo)：正交坐標(biāo)系,非正交坐標(biāo)系，一、二、三維B.

時(shí)間坐標(biāo)：定常(穩(wěn)態(tài)),非定常(非穩(wěn)態(tài))C.

單向坐標(biāo)與雙向坐標(biāo)：當(dāng)流速高到一定程度，為何僅影響下游？導(dǎo)數(shù)階數(shù)與坐標(biāo)單向性的關(guān)系?11/4/2023302.向量運(yùn)算(1)向量的點(diǎn)積A·B=aibi，i=1,2,3,Einstain

求和約定(2)向量的散度divAor

單位時(shí)間、單位法向面積內(nèi)流過(guò)的通量直角坐標(biāo)：

,(Ax

Ay

Az)圓球坐標(biāo)：

,(Ar

Aθ

Az)球坐標(biāo)：

,(ArAθAφ)11/4/202331(4)Laplace算符圓柱坐標(biāo):球坐標(biāo):(5)標(biāo)量的梯度(變量變化最快的方向)由Laplace算符+圓柱與球坐標(biāo)的標(biāo)量梯度及向量散度公式構(gòu)成gradSor▽s圓柱坐標(biāo)：球坐標(biāo)：

11/4/202332(6)乘積的散度▽·(sA)=s▽·A+A·▽s=(7)Kroneckerδ

δij=0，i≠j

δij=1，i=j11/4/202333二、守恒律為研究有關(guān)的物理過(guò)程,必須將它們的規(guī)律描述成相應(yīng)的數(shù)學(xué)形式(一般為微分方程形式)。建立微分方程是對(duì)微元建立有關(guān)物理量的守恒關(guān)系。

守恒律表達(dá)：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)某物理量的變化率=凈流入率+生成率11/4/2023341．質(zhì)量守恒律圖2.2流入/流出微元的質(zhì)量平衡微元內(nèi)的質(zhì)量增加率=進(jìn)入微元的凈質(zhì)量流率

11/4/202335對(duì)面積△y△z(沿x方向):在x處進(jìn)入的量：在x+△x處離開(kāi)的：x方向通過(guò)△y△z流出的凈流量為y方向通過(guò)△x△z流出的凈流量為z方向通過(guò)△x△y流出的凈流量為凈流入率:單位體積流入率:11/4/202336特殊情況:l

直角坐標(biāo)下l

l

ρ=const密度凈流率:單位體積上:故得到一般的表達(dá)式:11/4/202337說(shuō)明:本課程數(shù)值方法是通過(guò)對(duì)一個(gè)控制容積（微元）進(jìn)行平衡構(gòu)成的。以單位容積為基礎(chǔ)來(lái)表達(dá)一個(gè)項(xiàng)的另一個(gè)例子是變化速率。若φ是某個(gè)“比“性質(zhì)，而ρ是密度，則（ρφ）就表示單位容積所包含的相應(yīng)容積性質(zhì)的大小。一個(gè)微分方程包括這樣的一些項(xiàng)：每一項(xiàng)代表一個(gè)以單位容積為基礎(chǔ)的效應(yīng)，而所有各項(xiàng)合在一起反映著平衡或守恒規(guī)律。

11/4/2023382．運(yùn)動(dòng)方程牛頓第二定律描述流體粒子的動(dòng)量的增加率等于作用在粒子上的合力：流體粒子的動(dòng)量增長(zhǎng)率=作用在流體粒子上的合力對(duì)粒子，沿x-，y-，z-三個(gè)方向的單位體積的動(dòng)量的增長(zhǎng)率分別為：

(2-11)11/4/2023392．運(yùn)動(dòng)方程

作用在流體粒子上的力可分為兩類:表面力：如壓力、粘性力；體積力：重力、離心力、哥氏力、電磁力等．通常，將表面力的貢獻(xiàn)以單獨(dú)的項(xiàng)來(lái)表示，而把體積力的貢獻(xiàn)歸入源項(xiàng)圖2.3作用在流體微元6個(gè)表面上的應(yīng)力11/4/2023402．運(yùn)動(dòng)方程以△x△y△z微元為例圖2.4x方向的應(yīng)力分量11/4/202341動(dòng)量累積速率=流入的動(dòng)量速率-流出的動(dòng)量速率+作用在微元上的力的和

以x方向的動(dòng)量為例：在微元內(nèi)x方向的動(dòng)量累積速率為2)在x流入微元的x方向動(dòng)量

在x+△x流出微元的x方向動(dòng)量

在y流入微元的x方向動(dòng)量

在y+△y流出微元的x方向動(dòng)量

在z流入微元的x方向動(dòng)量

在z+△z流出微元的x方向動(dòng)量為j方向上的質(zhì)量11/4/202342由于對(duì)流作用進(jìn)入微元△y△z△x的x方向的凈動(dòng)量為：通過(guò)分子傳遞(因摩擦)而進(jìn)入微元△y△z△x的凈流量：4)x方向作用在微元上的表面壓力：根據(jù)x方向的動(dòng)量與力的平衡,最后除以△x△y△z,得到:5)在x方向作用于微元的體積力（徹體力）：11/4/202343類似地，可寫出y方向及z方向的動(dòng)量方程:11/4/20234411/4/202345此即Navier-Stokes(N—S)

方程。

式中各項(xiàng)的意義：左端：1）單位容積內(nèi)，單位時(shí)間在i方向的動(dòng)量變化率。2）第二項(xiàng)為單位容積內(nèi)、單位時(shí)間通過(guò)微元表面凈流出的i方向的動(dòng)量。

11/4/202346式中各項(xiàng)的意義（續(xù)前頁(yè)）：右端：3）第一項(xiàng)為i方向流速所產(chǎn)生的摩擦力（單位容積內(nèi)）

4）第二項(xiàng)為i方向單位容積內(nèi)所受的表面正壓力差。5）第三項(xiàng)為i方向單位容積所受的體積力(如ρgi)。6）第四項(xiàng)為i方向除第一項(xiàng)外的粘性力7）當(dāng)ρ=const時(shí)的低速流及粘度≈常數(shù)時(shí)，▽.V=0式中ρvi可以看成是單位容積內(nèi)在i方向的“比”動(dòng)量，式中ρvj可以看成是單位容積內(nèi)在j方向的“比”動(dòng)量。11/4/2023473．化學(xué)組分守恒方程單位容積內(nèi)組分l

的增長(zhǎng)率=

單位容積內(nèi)組分l

因?qū)α髋c擴(kuò)散造成的凈流入率+由化學(xué)反應(yīng)造成的組分l的凈生成率Jl:擴(kuò)散流量密度（Fick定律）

11/4/202348式中：ml

化學(xué)組分的質(zhì)量分量，Γl

擴(kuò)散系數(shù)，Rl單位時(shí)間單位容積化學(xué)反應(yīng)生成的物料質(zhì)量.

各項(xiàng)意義：

1）單位容積內(nèi)化學(xué)組分l的質(zhì)量變化率。

2）單位容積內(nèi)化學(xué)組分l的對(duì)流流出率

3）單位容積內(nèi)化學(xué)組分l的擴(kuò)散流入率，F(xiàn)ick定律確定

4）單位容積內(nèi)化學(xué)組分l的生成率。有

11/4/2023494．能量守恒（熱力學(xué)第一定律）在忽略粘性耗散項(xiàng)下，有：?jiǎn)挝蝗莘e內(nèi)儲(chǔ)存的能量（內(nèi)能e+動(dòng)能，一般動(dòng)能相對(duì)于內(nèi)能可忽略；或）的增長(zhǎng)率=單位容積內(nèi)通過(guò)對(duì)流與擴(kuò)散凈流入的能量+外功、其他能源（如輻射，電加熱等）所外加的能量+化學(xué)反應(yīng)等的生成熱

qj——Fourier定律

11/4/202350多組分情形

11/4/202351單位質(zhì)量流體的比焓，c為定壓比熱。各項(xiàng)意義：第1項(xiàng)單位容積內(nèi)單位時(shí)間的焓變第2項(xiàng)單位容積內(nèi)單位時(shí)間的通過(guò)微元表示表示凈對(duì)流出的熱焓。第3項(xiàng)單位容積內(nèi)單位時(shí)間的根據(jù)定理通過(guò)熱傳導(dǎo)流出的熱焓第4項(xiàng)單位容積內(nèi)單位時(shí)間的單位容積內(nèi)生成的熱焓量。

11/4/202352穩(wěn)態(tài)

更進(jìn)一步，對(duì)靜止流體，u=0，即得到穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程若取c=const，則

能量方程變?yōu)?1/4/202353三、傳遞律

1、熱傳導(dǎo)（Fourier定律）定義

2、擴(kuò)散（Fick定律）11/4/2023543、粘性作用（Newton/Stokes定律）粘性應(yīng)力張量，影響i方向的動(dòng)量?；?/p>

此即本構(gòu)方程。對(duì)非牛頓流體需給出其與變形率張量之間的關(guān)系。11/4/202355四、守恒與傳遞方程相結(jié)合

1、動(dòng)量方程（運(yùn)動(dòng)方程）其中

當(dāng)▽?v=0，又μ=const時(shí)11/4/2023562、傳質(zhì)方程3、傳熱方程多組分物系

11/4/202357五、一般形式或

應(yīng)清楚，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，源項(xiàng)S可能很復(fù)雜。如圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)的形式極其復(fù)雜。

φ：可代表相應(yīng)的物理量，如化學(xué)組分的質(zhì)量分量，焓或溫度、速度分量、紊流動(dòng)能或紊流耗散率。

Γ、S：對(duì)不同的物理量有相應(yīng)的形式11/4/202358凡是能寫成div(gradφ)

項(xiàng)的擴(kuò)散流量密度均可并入源項(xiàng)內(nèi)。

結(jié)論：由通用φ變量方程形式，可編制通用的計(jì)算方法，計(jì)算程序，從而可收到事半功倍的效果。實(shí)際求解：限定相應(yīng)的初始和邊界條件。11/4/202359六、湍流的時(shí)均方程實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)碰到紊流的問(wèn)題。就工程中所遇到的實(shí)際問(wèn)題，通常關(guān)心的是這種流動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間平均特性。通常的做法是將湍流分解成時(shí)均值與瞬時(shí)變化的脈動(dòng)值。基本條件是：時(shí)均值>>脈動(dòng)值。這樣可通過(guò)平均運(yùn)算的方法把上述不穩(wěn)態(tài)的湍流方程轉(zhuǎn)化為對(duì)紊流流動(dòng)的時(shí)間平均方程。由平均運(yùn)算所產(chǎn)生的附加項(xiàng)是雷諾（Reynolds）應(yīng)力，紊流熱流密度，紊流擴(kuò)散流量密度等。采用流動(dòng)的平均性質(zhì)來(lái)表示這些附加量的方法就是紊流模型的任務(wù)。

11/4/202360許多紊流模型采用紊流粘度或紊流擴(kuò)散系數(shù)來(lái)表示紊流應(yīng)力及流量密度。這樣，紊流的時(shí)間平均方程就具有了與層流流動(dòng)方程完全相同的形式，但對(duì)如粘度μe、擴(kuò)散系數(shù)De及導(dǎo)熱系數(shù)λe等則要由相應(yīng)的有效系數(shù)取代。另一方面，當(dāng)然也有其它處理紊流問(wèn)題的方法。與湍流相關(guān)的一些特性：(1)強(qiáng)湍流區(qū)，湍流影響遠(yuǎn)大于層流，即湍流核心μt>>μ,λt>>λ,Dt>>D(2)層流與湍流過(guò)渡區(qū)，μt≈μ,λt≈λ,Dt≈D(3)層流底層，μt<<μ,λt<<λ,Dt<<D11/4/202361時(shí)間平均：處理湍流問(wèn)題的方法t：足夠大（對(duì)湍流脈動(dòng)），但又不太大（尺度），一種近似處理。l

時(shí)均化規(guī)則：11/4/202362===0!——>將各守恒方程進(jìn)行時(shí)均化處理，即得湍流時(shí)均方程：質(zhì)量守恒：11/4/202363(設(shè)

)化學(xué)組分守恒：設(shè)，，11/4/202364動(dòng)量守恒利用Boussinesq

假設(shè)：11/4/202365能量方程在無(wú)化學(xué)反應(yīng)時(shí)，，∵此處的σh、σl≈const，一般由實(shí)驗(yàn)確定！由上述內(nèi)容知：最重要的問(wèn)題如何得到μt：11/4/202366現(xiàn)已提出了多種模型，現(xiàn)代紊流理論有許多確定μt的模型，例如：(1)混合長(zhǎng)度：（在壁面附近的近壁區(qū)有效）可比較正確地應(yīng)用于平行流、管流。但對(duì)于回流問(wèn)題不好，如會(huì)在處出現(xiàn)μt=0，與實(shí)際相反。一些實(shí)例：Bleeve、Patankar、Launder等人的發(fā)展。

(2)雙方程模型k~ε11/4/202367(3)其它模型

k~w、k~p、k~w~pl通用普遍化變量：11/4/202368§2坐標(biāo)的性質(zhì)以上內(nèi)容用了不少篇幅介紹了因變量，下面講自變量

φ=φ（x,y,z,t）

因變量

自變量，包括：3個(gè)空間變量x,y,z；1個(gè)時(shí)間變量，t

對(duì)實(shí)際問(wèn)題，并不是都涉及這四個(gè)所有自變量。11/4/202369

從求解角度講，所涉及的自變量數(shù)越少，需計(jì)算φ值的位置（或網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)）也越少，工作量相應(yīng)越少，例如：①

當(dāng)有關(guān)物理量只與一個(gè)方向的空間坐標(biāo)有關(guān)時(shí)，所研究的就是一維問(wèn)題；當(dāng)有關(guān)物理量只與兩個(gè)方向的空間坐標(biāo)有關(guān)時(shí)，所研究的就是兩維問(wèn)題；而當(dāng)有關(guān)物理量與三個(gè)方向的空間坐標(biāo)有關(guān)時(shí)，所研究的就是三維問(wèn)題。②

若研究的問(wèn)題與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，反之則是非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題。11/4/202370③

因變量與自變量實(shí)際上是函數(shù)與變量的問(wèn)題，并不具有唯一形式。對(duì)特定的研究對(duì)象，選擇合適的自變量和因變量類型和形式。

§2.2坐標(biāo)的合適選擇對(duì)方程（組）的求解過(guò)程，由于網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的數(shù)目（計(jì)算工作量）與自變量的數(shù)目有關(guān)，因此以較少的自變量進(jìn)行研究，可大大節(jié)省計(jì)算的時(shí)間。這可通過(guò)選擇合適的坐標(biāo)（系），如：11/4/202371(1)在靜止的坐標(biāo)系上看以恒速飛行的飛機(jī)周圍的流體動(dòng)是非穩(wěn)態(tài)的；但若將坐標(biāo)固定在飛機(jī)上，在這種移動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)，氣流流動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的。(2)圓管內(nèi)的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)是三維的，而在(r,θ,z)圓柱坐標(biāo)系內(nèi)則是二維的，顯然，φ=φ(r,z)，與角度無(wú)關(guān)

(3)坐標(biāo)變換可減少自變量數(shù)量，例子有：a.平板上的二維層流邊界層給出流速僅與η

有關(guān)其中C：有因次常數(shù)，由二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題

φ=φ(x,y)φ=φ(η)11/4/202372b.半無(wú)限固體內(nèi)的不穩(wěn)定導(dǎo)熱，φ=φ(x,t)

對(duì)一些簡(jiǎn)單的邊界條件，可把溫度表示成僅與ξ有關(guān)，其中

φ=φ(ξ)(同a的情形)

4)改變因變量可導(dǎo)致自變量數(shù)目的減少，如：a.在充分發(fā)展的通道流中，溫度T=T(x,y)。但對(duì)具有均勻壁溫TW的熱發(fā)展區(qū)，有：θ=θ(y)θ=(T-TW)/(Tb-TW)Tb：整體溫度或混合杯溫度，隨x

變化。11/4/202373b.平面自由射流是一種二維流，但可寫作：uc表示中心線上的速度，y是橫向坐標(biāo)，δ是射流的特征寬度。應(yīng)注意：uc

和δ均隨流動(dòng)方向的坐標(biāo)x而變化。

由以上分析選擇合適的坐標(biāo)構(gòu)造非常很重要。其中：11/4/202374§2.3單向與雙向坐標(biāo)對(duì)一定的特定空間方向而言：若該處條件受某坐標(biāo)方向來(lái)自兩個(gè)方向上的影響，則為雙向坐標(biāo)若該處條件受某坐標(biāo)方向來(lái)自一個(gè)方向上的影響，則為單向坐標(biāo)時(shí)間坐標(biāo)是單向的；空間坐標(biāo)一般是雙向的。例：不穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)：上一時(shí)刻的溫度或加熱狀態(tài)影響后一時(shí)刻的溫度或熱狀態(tài)，而不會(huì)相反——>單向坐標(biāo)

11/4/202375§2.3單向與雙向坐標(biāo)空間坐標(biāo)也可以形成近似的單向坐標(biāo)：具有某一方向非常接近于單向的坐標(biāo)。影響從上游傳到下游，下游條件對(duì)上游的狀態(tài)幾乎沒(méi)有影響。如雨滴、降膜液體、活塞流。對(duì)流是一種單向的過(guò)程，而擴(kuò)散則具有雙向的影響

11/4/202376拋物型、橢圓型與雙曲型

a)拋物型b)橢圓型c)雙曲型方程形式如下：11/4/202377上述坐標(biāo)的單向、雙向坐標(biāo)正好與拋物型、橢圓型、雙曲型對(duì)應(yīng)。這里：一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)代表單向特征，具有拋物特性二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)代表雙向特征，具有橢圓或雙曲特性

不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題：時(shí)間坐標(biāo)

拋物或單向空間坐標(biāo)

橢圓或雙曲

二維邊界層問(wèn)題橫向y方向

橢圓、雙曲主流x方向

拋物、單向術(shù)語(yǔ)：將至少存在一個(gè)單向坐標(biāo)的狀態(tài)稱為拋物型狀態(tài)，否則為橢圓狀態(tài)。從計(jì)算學(xué)的觀點(diǎn)考慮：一個(gè)單向坐標(biāo)可大大簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量和計(jì)算時(shí)間。11/4/202378以不穩(wěn)態(tài)二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例：計(jì)算時(shí)首先構(gòu)成右圖的二維網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)。在任一時(shí)刻，存在一個(gè)相應(yīng)的溫度場(chǎng)。由于時(shí)間t是單向的，任一時(shí)刻的溫度場(chǎng)T(t)僅受上一時(shí)刻T(t-Δt)的影響，而與T(t+Δt)無(wú)關(guān)。所以計(jì)算時(shí)只需要根據(jù)時(shí)間序列順序求解。這樣，在計(jì)算時(shí)：

11/4/202379(1)內(nèi)存只需提供上一時(shí)刻已知的溫度場(chǎng)。(2)同時(shí)處理的未知量只有一個(gè)二維的溫度數(shù)組。它與所有以后時(shí)刻的溫度值無(wú)關(guān)。(3)由此，求解大大簡(jiǎn)化，節(jié)省了機(jī)時(shí)。

一個(gè)二維邊界層流動(dòng)

沿流線計(jì)算時(shí)是一個(gè)單向問(wèn)題三維通道流→沿流線計(jì)算時(shí)是一個(gè)二維問(wèn)題

均可減少一維儲(chǔ)存及求解方程。11/4/202380單向坐標(biāo)與雙向坐標(biāo)的討論還可參見(jiàn):Patankar，Spalding，Gosman，Pun，Runchal，Spalding、Wolfstein（1969）等的論述。雙曲型問(wèn)題是比較特殊的類型。一般作為橢圓型，但若沿特征線方向，則又是單向的。

作業(yè)：2.12.22.4|2.52.711/4/202381第三章離散化方法難點(diǎn)內(nèi)容1.定解問(wèn)題的完整概念。2.數(shù)值方法與離散化方法。3.控制容積（C.V.）法的推導(dǎo)方法與實(shí)例。**4.源項(xiàng)處理（初步）。5.四項(xiàng)基本法則所表示或隱含的物理意義。**

11/4/202382引述：對(duì)物理現(xiàn)象的理論預(yù)測(cè)具有顯而易見(jiàn)的好處和優(yōu)勢(shì)。對(duì)所感興趣的物理現(xiàn)象已采用通用的微分方程（包括對(duì)流、擴(kuò)散等形式）來(lái)表示：

從這里開(kāi)始，探討的重點(diǎn)是推導(dǎo)求解通用方程的方法。首先，對(duì)照?qǐng)D3.1來(lái)確定定解問(wèn)題的含義：0）定解條件：初始條件和邊界條件1）連續(xù)體（連續(xù)介質(zhì)）內(nèi)的微分方程2）研究對(duì)象的域（范圍）3）域的邊界特性及相關(guān)的邊界條件4）與時(shí)間相關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)一步需要限定初始條件

11/4/202383圖3.1定解問(wèn)題說(shuō)明11/4/202384§1數(shù)值方法與離散化的概念1．?dāng)?shù)值方法用于把連續(xù)計(jì)算域內(nèi)有限數(shù)量位置處的因變量值當(dāng)作基本未知量處理。研究它們之間的代數(shù)關(guān)系，最后由給定的邊界條件與初始條件，通過(guò)求解代數(shù)方程的方法得到它們的具體值。11/4/202385數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)研究的類似性

計(jì)算域

網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)

無(wú)限

有限

圖3.2計(jì)算域及網(wǎng)格分布示意圖

11/4/2023862．離散化概念首先，連續(xù)微分方程

離散位置處的表達(dá)式（代數(shù)方程組）由此引出以下的內(nèi)容：無(wú)限

有限過(guò)程

有限點(diǎn)（網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)）這一過(guò)程就是離散化方法11/4/202387包括：1）連續(xù)空間

離散化為分割的有限空間的網(wǎng)格、控制體、網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)

2）連續(xù)的信息離散在各有限點(diǎn)上的離散化信息3）微分方程求取離散信息（有限的）離散化方程4）微分方程的積分

差分代替微分11/4/202388要點(diǎn)：（1）所選取的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的未知的φ值的代數(shù)方程（離散化方程）由支配φ的微分方程推導(dǎo)得到（2）推導(dǎo)過(guò)程中對(duì)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)之間φ如何變化做出假設(shè)（分段假設(shè)）（3）對(duì)空間和因變量所做的離散化使我們可以用比較容易求解的代數(shù)方程組代替微分方程組

11/4/202389§2離散化方程的特點(diǎn)（1）由一個(gè)方程連接一組有限結(jié)點(diǎn)上φ值的代數(shù)關(guān)系[連接關(guān)系]（2）由φ的微分方程推導(dǎo)得到并表示出與之相同的信息[信息傳遞關(guān)系]（3）分段分布假設(shè)使一個(gè)方程只與少數(shù)幾個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的φ值有關(guān)[少量關(guān)系]最常用的關(guān)系式：（a）多項(xiàng)式（b）其它形式（c）分段線性11/4/202390與分段假設(shè)相關(guān)，一個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的φ值僅與有關(guān)的鄰點(diǎn)上的φ值有關(guān)。采用不同的分段分布假設(shè)，離散化方程有不同的形式。（4）當(dāng)結(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，各離散化方程的解趨近于相應(yīng)微分方程的精確解：ngrid

增加,φneighbor變化很小，分布假設(shè)的細(xì)節(jié)因而不太重要[見(jiàn)下頁(yè)的圖]；（5）有限元方法與有限差分方法方程是二種可供選擇的離散化形式，差別在于分布形式及推導(dǎo)方法上的不同；（6）本課程的方法主要是有限差分形式，但采用了許多屬于典型的有限元方法的思想。11/4/202391數(shù)值解與分析解的對(duì)比Tx11/4/202392§3推導(dǎo)離散化方程的方法3．1微分方法Taylor級(jí)數(shù)方法（要求網(wǎng)格均勻分布）截?cái)郥aylor級(jí)數(shù)代替導(dǎo)數(shù)項(xiàng)以一維為例，Δx=x2-x1=x3-x2

一維問(wèn)題網(wǎng)格分布示意圖11/4/202393獲得過(guò)程：從第三項(xiàng)之后截?cái)?，將方程相減得到：從第三項(xiàng)之后截?cái)啵瑢⒎匠滔嗉拥玫剑?1/4/202394代入微分方程獲得由Taylor級(jí)數(shù)得到的差分方程這一方法的特點(diǎn)：l忽略高階項(xiàng)可能導(dǎo)致不期望的結(jié)果（如對(duì)指數(shù)形式），產(chǎn)生較大的誤差l所得方程無(wú)明確的守恒意義l對(duì)N-S方程等非線性方程，無(wú)法使用Taylor級(jí)數(shù)簡(jiǎn)單可行：φ是x的多次項(xiàng)形式，且高階項(xiàng)顯得不重要

11/4/2023953．2變分公式得到離散化方程的另一個(gè)方法是變分方法。變分方法證明：求解某微分方程的問(wèn)題等效于使一稱之為泛函的相關(guān)量最小化(這一點(diǎn)下面還將敘述)。這種等效關(guān)系就是所謂的變分原理。若相關(guān)的因變量的網(wǎng)格點(diǎn)值使泛函最小，則所得到的條件即給出所需要的離散化方程。變分公式的主要缺點(diǎn)在于它的適用范圍有限：因我們感興趣的所有微分方程都不存在變分原理。11/4/202396L(φ)=0(φ∈Ω)L1(φ)=0(ΩL上，ΩL為邊界)建立某種泛函，如：

與邊界條件有關(guān)F、g與算子L的形式有關(guān)。但對(duì)φ而言，I最小，即：即上面（A）處的泛函計(jì)小化！

給出相應(yīng)的離散化方程。常見(jiàn)的有有限元方法

11/4/2023973．3加權(quán)余數(shù)法（權(quán)余法）本方法是求解微分方程的方法?；靖拍睿毫睿ê笑諏?duì)時(shí)間或坐標(biāo)的任意導(dǎo)數(shù)的）微分方程可表示為：L(φ)=0(φ∈Ω)設(shè)一近似解可表示為：

將代入微分方程，得到一余數(shù)，R=L()一般，R≠0?？墒筊在某種意義上較小，以建立相應(yīng)的近似代數(shù)方程組，取代原微分方程，設(shè)：11/4/202398積分在整個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，w即是權(quán)函數(shù)或加權(quán)因子。l

選擇一組加權(quán)函數(shù)分布得到一組代數(shù)方程l

N個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上N個(gè)未知量選擇N組加權(quán)函數(shù)分布l

選擇不同的加權(quán)函數(shù)分布不同類型的分布：如有限差分、有限元法l

C.V.法是一種特殊的加權(quán)余數(shù)法如在C.V.內(nèi)取w=1，其余為0。迦遼金法：主網(wǎng)格點(diǎn)為1，其余為0，三角形分布。

三角形權(quán)函數(shù)分布11/4/202399

為完成積分同樣需要對(duì)變量本身做分段分布假設(shè)子域法：取N在一個(gè)子域內(nèi)為1，其余為0，以此建立一個(gè)方程。每個(gè)子域建立一個(gè)方程。據(jù)此，子域法又稱控制容積法。3.4控制容積C.V.法推導(dǎo)離散化方程的方法如前所述，控制容積公式可看成是加權(quán)余數(shù)法的一種特殊形式。（1）把計(jì)算域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)由一個(gè)控制容積所包圍；（2）應(yīng)用表示網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)間φ的分段分布公式計(jì)算所要求的積分；（3）得到包含一組網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)處的φ值的離散化方程。11/4/2023100圖3.5C.V.

法網(wǎng)格圖根據(jù)這些原則所得到的離散化方程表示關(guān)于有限控制容積的φ的守恒原理，就象微分方程表示關(guān)于無(wú)窮小控制容積內(nèi)的φ的守恒原理一樣：11/4/2023101所得到的結(jié)果意味著任何一組控制容積內(nèi)，也就是在整個(gè)計(jì)算域內(nèi)，如質(zhì)量、動(dòng)量及能量等的物理量的積分守恒等都可精確地得到滿足。對(duì)任意數(shù)目的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)，這一特征都存在。因此，即使是粗網(wǎng)格的解也同樣顯示準(zhǔn)確的積分平衡。注：按照有限差分的觀點(diǎn)，只關(guān)心網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上（代表C.V.內(nèi)的變量的值）變量的值，而不關(guān)心它們之間是如何變化的。因此，有關(guān)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)間的變量φ分布的假設(shè)只在推導(dǎo)離散化方程時(shí)有用，隨后也就沒(méi)有什么意義了。11/4/2023102選擇采用不同的分布假設(shè)時(shí)，自由度大，對(duì)微分方程中的不同的項(xiàng)可采用不同的分布假設(shè)進(jìn)行積分構(gòu)成不同的差分格式11/4/2023103§4C.V.法推導(dǎo)離散化方程的實(shí)例一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程:T—溫度k—導(dǎo)熱系數(shù)S—源項(xiàng)，單位容積發(fā)熱率作下頁(yè)圖的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)群11/4/2023104以一維為例，Δx=xP-xW

=xE-xP

PWExweDx(dx)w(dx)e一維問(wèn)題網(wǎng)格分布示意圖§4C.V.法推導(dǎo)離散化方程的實(shí)例11/4/2023105

l

積分（在C.V.內(nèi)積分，一維沿x坐標(biāo)進(jìn)行，在圖中的w-e間進(jìn)行）：

l采用分段線性分布T求dT/dx（見(jiàn)下圖簡(jiǎn)單分段分布）(a)階梯式分布(b)分段線性

T的兩種簡(jiǎn)單分段分布11/4/2023106為S在整個(gè)控制容積內(nèi)的平均值。ke、kw為界面上的導(dǎo)熱系數(shù)值，在下一章討論其確定方法?？蛇M(jìn)一步表示為：11/4/2023107說(shuō)明：

1.對(duì)二維、三維問(wèn)題有類似的離散化方法

2.也可采用其它更復(fù)雜的分布假設(shè)求dT/dx；分段線性分布是最簡(jiǎn)單的分布假設(shè)

3.對(duì)不同因變量可采用不同的分布函數(shù)，如求ke、kw也可不采用線性分布

4.即使對(duì)確定的變量，也無(wú)必要對(duì)所有各項(xiàng)都采用同樣的分布函數(shù)假設(shè)

5.選擇分布函數(shù)形式上的自由，導(dǎo)致不同變型的離散化方程形式。但當(dāng)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)數(shù)目增加時(shí)，可預(yù)料所有的這些不同形式的方程都將給出相同的解。

11/4/2023108提出一些有意義的約束，以縮小可能的離散化公式數(shù)。如要求：即使采用很粗的網(wǎng)格，解也應(yīng)該總滿足（新的離散化方法的依據(jù)）:1）物理上真實(shí)的性狀要求如（1）無(wú)內(nèi)熱源導(dǎo)熱，內(nèi)部溫度應(yīng)該位于邊界及初始溫度范圍內(nèi)；（2）被冷卻的熱固體的溫度不可能降低到周圍流體的溫度之下等。

圖3.4物理上真實(shí)與不真實(shí)的性狀11/4/20231092）總的平衡要求：在整個(gè)積分域內(nèi)積分守恒。要求熱流密度、質(zhì)量流量及動(dòng)量通量必須準(zhǔn)確地同相應(yīng)的源和匯建立平衡。這種平衡不應(yīng)只限于網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)數(shù)很大時(shí)的情形，而是對(duì)于任何數(shù)目的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)均應(yīng)得到滿足。

控制容積守恒+控制容積之間的連續(xù)處理控制容積界面上的熱流密度、質(zhì)量流量及動(dòng)量通量時(shí)需小心處理。11/4/2023110l

物理真實(shí)性+總的平衡：這兩方面的條件指導(dǎo)選擇分布假設(shè)及所采用的有關(guān)措施在這些約束條件的基礎(chǔ)上，建立一些相關(guān)的法則，從而由此發(fā)展新的公式。這樣就可直接由物理學(xué)上的原理進(jìn)行指導(dǎo)。l

源項(xiàng)的處理建立基本法則前，首先對(duì)源項(xiàng)S進(jìn)行處理。通常源項(xiàng)是因變量本身的函數(shù)；在構(gòu)成離散化方程的過(guò)程中，需要知道這種函數(shù)關(guān)系。但我們離散化方程由線性代數(shù)方程的求解技術(shù)，形式上只考慮線性的函數(shù)關(guān)系，這通常稱之為“源項(xiàng)的線性化”。下一章中具體討論。這里只做簡(jiǎn)單的表示：11/4/2023111SC：S的常數(shù)部分，SP是TP的系數(shù)，SP（P點(diǎn)處(C.V.內(nèi))的平均源項(xiàng)值）這一式中TP表示在表示平均值時(shí)，假設(shè)TP代表整個(gè)控制容積內(nèi)的值，即采用階梯式分布（前已說(shuō)過(guò)，對(duì)dT/dx

項(xiàng)采用線性分布時(shí)，可自由地對(duì)源項(xiàng)采用階梯式分布）。應(yīng)用線性化源項(xiàng)表達(dá)式，離散化方程式形式為：

S=SC+SPTP11/4/2023112在此基礎(chǔ)上將建立離散化方程應(yīng)服從的一些基本公式，以確保得到的解滿足物理上真實(shí)及總的平衡兩方面的要求。

11/4/2023113§5推導(dǎo)離散化方程的四條法則法則1：控制容積面上的連續(xù)作為兩個(gè)相鄰控制容積的公共面的界面，在這兩個(gè)相鄰控制容積的離散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式表示通過(guò)界面的熱流密度、質(zhì)量流量及動(dòng)量通量（流量密度）討論：通過(guò)一個(gè)特定的面離開(kāi)控制容積的流量密度必須與通過(guò)同一面進(jìn)入相鄰控制容積的流量密度相同，否則將不能滿足總體平衡。這易于理解，但稍不小心就可能會(huì)違反。舉例：11/4/2023114作法1：對(duì)右圖控制容積，可能通過(guò)TW、TP、TE

的二次分布曲線計(jì)算界面上的熱流密度kdT/dx

。對(duì)下一個(gè)控制容積采用同一類公式意味著：公共界面上的梯度dT/dx

是由不同的與正要考查的控制容積有關(guān)的分布曲線求出。

11/4/2023115作法2：導(dǎo)致熱流密度的不連續(xù)性。假定在給定的控制容積的各表面上，熱流密度完全為控制容積中心結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)kP

控制。在考慮P點(diǎn)周圍的控制容積時(shí)，界面e處的熱流密度將表示成：同理，將E點(diǎn)作為控制容積中心結(jié)點(diǎn)時(shí)，界面e的熱流密度為：11/4/2023116圖3.5由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性11/4/2023117說(shuō)明：并不是采用高階分布假設(shè)就更有利！為避免這種不連續(xù)性，必須將通過(guò)界面上的熱流密度當(dāng)作屬于界面本身的性質(zhì)，而不屬于某些特定控制容積。11/4/2023118

作法3：線性分布不會(huì)出現(xiàn)這一問(wèn)題：ke的計(jì)算也會(huì)造成不必要的誤差。如采用階梯分布的導(dǎo)熱系數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)這種問(wèn)題，如上面所述.下一章將進(jìn)一步討論這一問(wèn)題。

11/4/2023119法則2：正系數(shù)（同號(hào)規(guī)則）對(duì)大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，某一網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)處的因變量值只是通過(guò)對(duì)流與擴(kuò)散過(guò)程才受到相鄰網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上值的影響。這樣在其它條件不變時(shí)，在一個(gè)網(wǎng)格傳點(diǎn)處該因變量值的增加應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)格傳點(diǎn)上該值的增加（而不是減少）。即：

TE

TP

TWaE

aP

同號(hào)！aW

11/4/2023120

中心結(jié)點(diǎn)系數(shù)aP

與各相鄰結(jié)點(diǎn)的系數(shù)aE、aW

均同號(hào)。！

可全為正或全為負(fù)，但我們?nèi)∪珵檎＜矗核械南禂?shù)（aP、aE、aW）均必須為正

某些公式會(huì)違反這一法則，結(jié)果往往得到物理上不真實(shí)的解。若存在負(fù)相鄰系數(shù)，此時(shí)，邊界溫度的增加會(huì)引起相鄰網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的溫度降低，而失去物理真實(shí)性。11/4/2023121法則3：源項(xiàng)的負(fù)斜率線性化

在以前離散化系數(shù)中，?？梢?jiàn)：即使所有相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)為正，由于存在SP，中心結(jié)點(diǎn)的系數(shù)aP

仍可能為負(fù)。但若SP≤0，也不會(huì)出現(xiàn)這種危險(xiǎn)。故法則3成為：

11/4/2023122說(shuō)明:1）從物理上講，大多數(shù)物理過(guò)程確實(shí)在源項(xiàng)與自變量之間有負(fù)的斜率關(guān)系。實(shí)際上正的SP往往使物理狀態(tài)變得不穩(wěn)定。正SP意味著當(dāng)TP

增加時(shí)，源項(xiàng)也隨著增加；若沒(méi)有有效的散熱機(jī)構(gòu)，這可能會(huì)反過(guò)來(lái)導(dǎo)致TP

增加，持續(xù)下去造成溫度飛升的不穩(wěn)定現(xiàn)象。2）從計(jì)算方法上講，保持負(fù)SP

使之不產(chǎn)生不穩(wěn)定性及物理上不真實(shí)解是至關(guān)重要的。下一章進(jìn)一步討論源項(xiàng)線性化問(wèn)題。但必須要注意：為使計(jì)算成功，負(fù)SP的原則是不必可少的！11/4/2023123法則4：相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)之和控制微分方程往往只包含變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（暫不考慮源項(xiàng)中因變量影響）。這表明若T為因變量，則函數(shù)T

與T+C均滿足微分方程。微分方程所具有的這一特性也必定要反映在與之相對(duì)應(yīng)的離散化方程中。因此，當(dāng)TP

及所有Tnb

都增加同一常數(shù)時(shí)，離散化方程形式仍然適用。由此：aP

必須等于所有相鄰結(jié)點(diǎn)的系數(shù)之和，即要求，

(3.19)11/4/2023124討論：若TP

、Tnb

是方程(3.19)的解，則TP+C及Tnb+C同樣滿足方程(3.19)。11/4/2023125l

無(wú)源項(xiàng)時(shí)中心結(jié)點(diǎn)值TP是各相鄰結(jié)點(diǎn)值Tnb

的加權(quán)平均值。l

當(dāng)源項(xiàng)與溫度有關(guān)時(shí)，T與T+C

不能同時(shí)滿足，本法則不適用。這是因?yàn)門與T+C不能同時(shí)滿足微分方程。但若取SP=0，本法則又可適用。當(dāng)T

和T+C

均滿足微分方程時(shí)，所求溫度并不變成多值或不確定。T的值可由適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件唯一確定。遵守法則4可確保若邊界溫度增加一常數(shù)值，則所有溫度就會(huì)準(zhǔn)確地增加同一常數(shù)。

11/4/2023126§6小結(jié)本章以簡(jiǎn)單的一維熱傳導(dǎo)的例子推導(dǎo)了四條基本法則。在內(nèi)容上以溫度作為因變量，這樣只是為了概念上的方便，以后將討論對(duì)通用變量φ的推導(dǎo)。本章里的四條法則完全適用于一般變量中，具體細(xì)節(jié)在后續(xù)章節(jié)中不斷給出。（至于）適用微分方程中的對(duì)流項(xiàng)，需要特殊的公式，這是第五章所討論的內(nèi)容；第四章將以熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例討論方程的處理。11/4/2023127難點(diǎn)內(nèi)容1.定解問(wèn)題的完整概念。2.數(shù)值方法與離散化方法。3.控制容積（C.V.）法的推導(dǎo)方法與實(shí)例。**4.源項(xiàng)處理（初步）。5.四項(xiàng)基本法則，所表示或隱含的物理意義。**

作業(yè)：3.1，3.2，3.3，3.411/4/2023128第四章熱傳導(dǎo)（所有方法的基礎(chǔ)）重點(diǎn)內(nèi)容：

(1)不同分布假設(shè)

(2)界面導(dǎo)熱系數(shù)的處理**

(3)迭代方法**

(4)源項(xiàng)的線性化、邊界條件的處理**

(5)不同的格式，f=0,0.5,1

對(duì)應(yīng)的顯式、

C—N

格式、全隱格式**

(6)網(wǎng)格布置**

11/4/2023129§1.對(duì)象在前面，我們已建立了通用微分方程：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)源項(xiàng)

φ=u,v,w,T,c......11/4/2023130在第四章，我們不考慮

對(duì)流項(xiàng)，集中處理其余的三項(xiàng)來(lái)構(gòu)成求解通用微分方程的數(shù)值方法。l

本章實(shí)際上除了熱傳導(dǎo)問(wèn)題外，還可用于研究位流、質(zhì)量擴(kuò)散、通過(guò)多孔介質(zhì)的流動(dòng)、充分發(fā)展通道流等。原因是這類問(wèn)題的描述可用這一方程的形式。

這里的技術(shù)可直接而有效地應(yīng)用于不同的領(lǐng)域

11/4/2023131l

解法同樣適用于以后各章，差異僅在于代數(shù)方程各項(xiàng)的差別。●

概念上的一致性：理解動(dòng)量傳遞與擴(kuò)散傳遞之間的相似性，用某種方法把速度與溫度相比擬，這對(duì)概念上大有幫助，本部分內(nèi)容是后面更復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)。

11/4/2023132§2.一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)1、基本方程l

將通用方程中的φ換為T，討論穩(wěn)態(tài)（）熱傳導(dǎo)問(wèn)題。(4.1)

根據(jù)第三章的離散化方法及網(wǎng)格構(gòu)成圖（圖3.2），得到了對(duì)各節(jié)點(diǎn)的離散化方程：11/4/2023133圖4.1網(wǎng)格構(gòu)成示意圖：網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)及控制容積界面在圖4.1中，網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的位置是任意的，可以有許多不同的安排方案，如：等距（均勻分布）網(wǎng)格、變距（非均勻分布）網(wǎng)格。

PWExweDx(dx)w(dx)e11/4/2023134(4.2)S=SC+SPTP(4.4)

(4.3)

11/4/2023135這里，對(duì)dT/dx采用的是分段線性分布，也可采用其他分布形式。TP代表整個(gè)C.V.的值。問(wèn)題在于：

a.源項(xiàng)S如何線性化？如何表示源項(xiàng)線性化的SP、SC的值？

b.網(wǎng)格構(gòu)成圖中，(δx)e、(δx)w與Δx的關(guān)系？

c.界面上的ke、kw如何處理?11/4/20231362、網(wǎng)格布置圖4.1網(wǎng)格構(gòu)成示意圖：網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)及控制容積界面

1)網(wǎng)格間距，即(δx)e、(δx)w不必要相等。

2)網(wǎng)格面的位置，原則上可在P—E、P—W之間任意位置，不受限制。但為了方便，應(yīng)用中有二種簡(jiǎn)單的網(wǎng)格布置方法。PWExweDx(dx)w(dx)e11/4/2023137A：先確定網(wǎng)格點(diǎn)，界面置于網(wǎng)格點(diǎn)中點(diǎn)。網(wǎng)格可能是不等距的。網(wǎng)格點(diǎn)不在界面中點(diǎn)。邊界上有半個(gè)C.V.。B：先確定界面，區(qū)分不同區(qū)域，再將網(wǎng)格點(diǎn)布置在C.V.的中心（在邊界上無(wú)C.V.）這一問(wèn)題在第六節(jié)還要討論。

確定網(wǎng)格分布的方法：l

可根據(jù)T~x的變化情況確定網(wǎng)格的粗細(xì)分布：在T變化劇烈、陡峭處，采用細(xì)密的網(wǎng)格；而在T變化平緩的地方采用粗網(wǎng)格。根據(jù)定性預(yù)計(jì)設(shè)計(jì)網(wǎng)格分布求T~x，在此基礎(chǔ)上構(gòu)成合適的網(wǎng)格（均勻或非均勻網(wǎng)格）

11/4/2023138但由我們方法的本質(zhì)，即便對(duì)于粗的網(wǎng)格分布，也應(yīng)該獲得具有物理意義的解。計(jì)算達(dá)到的精度與網(wǎng)格數(shù)目及網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的分布方式以及與所求解問(wèn)題的特性有關(guān)。通常的作法是用粗網(wǎng)格進(jìn)行試探求解，之后逐步加密網(wǎng)格，確定采用合適的網(wǎng)格分布。3、界面導(dǎo)熱系數(shù)ke,kwke,kw分別代表界面上的值，未知。kP,kW為結(jié)點(diǎn)上的值，往往已知或人工規(guī)定。

11/4/2023139（1）材料的不均勻?qū)嵯禂?shù)k的（2）導(dǎo)熱系數(shù)k與溫度不均勻性來(lái)源于：T有關(guān)（3）湍流情況下的有效擴(kuò)散系數(shù)ke,Γe。問(wèn)題：在已知結(jié)點(diǎn)kP,kW,kE下如何求界面的ke,kw？方法1：線性內(nèi)插

ke=fekP+(1-fe)kE

(4.5)其中，插值因子fe可由圖4.1所示的距離來(lái)定義：11/4/2023140

(4.6)

若fe=0.5，控制容積界面e位于P、E之間的中點(diǎn)，

ke=0.5(

kP+kE

)，即算術(shù)平均值。但這樣做，往往不能正確地處理組合材料之間的導(dǎo)熱系數(shù)突變問(wèn)題，如對(duì)fe=0.5下的極限情況：圖4.2確定界面導(dǎo)熱系數(shù)ke的方法示意圖

11/4/2023141（1）kE很小ke=fe

kP=0.5kP，實(shí)際上應(yīng)主要與kE有關(guān)，（2）kE很大ke=(1-fe)kE=0.5kE，實(shí)際上應(yīng)主要與kP有關(guān)，方法2：正確的做法:

實(shí)際上主要關(guān)心的不是導(dǎo)熱系數(shù)在界面e上的局部值，目的在于使通過(guò)界面的熱流qe符合實(shí)際，使之得到正確反映，即：

(4.7)符合界面上實(shí)際通過(guò)的熱流密度。11/4/2023142符合界面上實(shí)際通過(guò)的熱流密度。見(jiàn)圖4.2，點(diǎn)P周圍由均勻的導(dǎo)熱系數(shù)kP

的材料構(gòu)成，點(diǎn)E周圍材料的導(dǎo)熱系數(shù)為kE。對(duì)界面e，根據(jù)無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析：

(4.8)界面上的有效導(dǎo)熱系數(shù)為：

11/4/2023143

(4.9)當(dāng)fe=0.5時(shí)，或

(4.10)(4.10)說(shuō)明ke是kP和kE

的調(diào)和平均值！11/4/2023144(4.11)aE：表示P點(diǎn)和E點(diǎn)之間的材料的熱導(dǎo)，其他系數(shù)的物理意義類似。兩種極限：1）若kE=0，則由（4.10）知：ke—>0

即對(duì)絕熱層表面應(yīng)無(wú)熱流密度2）kP>>kE，則：

(4.13)含義1：同調(diào)和平均值，ke完全與kP無(wú)關(guān)。熱阻主要集中在材料kE含義2：ke≠kE，而是它的1/fe11/4/2023145界面上的熱流密度為：(4.14)意義在于為得到正確的qe值，由方程(4.13)知，kP>>kE，溫度TP一直擴(kuò)展到界面e處，故正確的界面熱流密度應(yīng)由（4.14）給出。（4.14）可看作（4.13）中的因子fe對(duì)方程（4.7）的名義距離(δx)e的補(bǔ)償。11/4/2023146

對(duì)式(4.14)的說(shuō)明11/4/2023147對(duì)這一極限情況的討論表明：這一公式可適用于導(dǎo)熱系數(shù)突然變化的情況而不需在發(fā)生突變的領(lǐng)域內(nèi)采用極細(xì)網(wǎng)格；對(duì)組合件的處理極為方便。以上是對(duì)無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)一維導(dǎo)熱狀態(tài)下，導(dǎo)熱系數(shù)在相鄰的兩個(gè)控制容積之間發(fā)生階躍變化時(shí)得到的。即使在內(nèi)熱源不為零或是導(dǎo)熱系數(shù)連續(xù)變化的場(chǎng)合，采用這種調(diào)和平均表達(dá)式也比算術(shù)平均值好得多。有關(guān)內(nèi)容參見(jiàn)后附文獻(xiàn)

的論作。11/4/20231484、非線性與迭代方法離散化方程[形式上]是一個(gè)線性的代數(shù)方程，可用解線性代數(shù)方程組的方法來(lái)求解。實(shí)際問(wèn)題是多種多樣的，如：

1)k=f(T)2)S是T的非線性函數(shù)這些都將導(dǎo)致離散化方程中的系數(shù)本身將與T有關(guān)。難以直接求解，因此更多地采用迭代法求解！

11/4/2023149迭代求解的過(guò)程[打靶法]：1)開(kāi)始時(shí)對(duì)所有網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上估計(jì)一個(gè)T值2)由估計(jì)的T值計(jì)算出離散化方程的系數(shù)的試探解3)解當(dāng)前的線性代數(shù)方程組，得到新的估計(jì)值4)以解出的T值作為新的較好的估計(jì)值，返回第二步重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程（迭代過(guò)程）

直至T值不再發(fā)生有意義的變化為止收斂11/4/2023150與收斂相反的可能是：迭代多次永遠(yuǎn)不會(huì)收斂到一個(gè)解。T值可能穩(wěn)定地漂移或以不斷增大的振幅震蕩，這即是解的發(fā)散。需要確保收斂的手段！

11/4/2023151確保收斂的手段：四項(xiàng)基本法則，源項(xiàng)線性化，計(jì)算方法上的手段等，下邊具體講。5、源項(xiàng)的線性化源項(xiàng)S與T有關(guān)時(shí)，采用方程：

這一線性形式表達(dá)這一關(guān)系。原因：1)線性框架結(jié)構(gòu)只允許采用一種形式的線性關(guān)系2)線性關(guān)系的組合比把S處理成常數(shù)好S是T的線性函數(shù)時(shí)，如何規(guī)定SC、SP？∵SC、SP=SC(T)、SP(T)∴SC、SP均可能隨T而變化。11/4/2023152

要求S的線性化———一個(gè)良好的表達(dá)式

——滿足非正的SP(SP≤0)例如：(1)S=a-bT，a>0，b>0處理：a.SC=a,SP=-b推薦的方法

b.SC=a-bT*,SP=0懶惰的做法

c.SC=a+c1T*,SP=-(b+c1)相當(dāng)于欠松弛，使S的

變化變慢

c1>0=-c2>-b

降低升高降低

TSPT

升高降低升高

TSPT11/4/2023153(2)S=a+bT，a>0，b>0處理：a.SC=a,SP=bX!違反四項(xiàng)法則，可能導(dǎo)致

負(fù)的系數(shù)