2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共32.0分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，則tanA的值為(????)A.5 B.6 C.-4 D.-6在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=22，b=4，B=45°，則A=(????)A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°方程3sin2x+cos2x=2k-1，x∈[0,π]有兩個(gè)不等根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(????)A.(-12,32) B.(-如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線和虛線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(

)

A.2

B.23

C.4

D.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB=50m，BC=120m，于A處測得水深A(yù)D=80m，于B處測得水深BE=200m，于C處測得水深CF=110m，則∠DEF的余弦值為(????)A.1665

B.1965

C.1657已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直線，給出下列命題：

①m⊥n，m//α，α//β?n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β?n⊥β；

③m⊥α，n//β，α//β?m⊥n；④m⊥α，m//n，α//β?n⊥β．

其中正確的是(????)A.①② B.②③ C.①④ D.③④若0<x，y<π2，且sinx=xcosy，則(????)A.y<x4 B.x4<y<x2已知△ABC的面積為，則角C的度數(shù)為(????)A. B. C. D.二、單空題（本大題共5小題，共20.0分）已知3sin2θ=5cosθ+1，則cos(π+2θ)=α是第二象限角，，則tanα=________．在平行四邊形ABCD中，AB?BD=0，沿BD將四邊形折起成直二面角A-BD-C，且|2AB+BD已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1，c=3，A+B=2C，則sinB=______．已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx的一條對稱軸為x=π3，則a=______．三、多空題（本大題共1小題，共4.0分）如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，線段BC上的點(diǎn)Q，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體P-BCD的體積的最大值是

(1)

；當(dāng)P-BCD體積取最大值時(shí)，|PQ|min=

(2)

四、解答題（本大題共4小題，共44.0分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π2

已知a、b、c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，2sinAcos2C2+2sinC?cos2A2=3sinB

(1)證明a、b、c成等差數(shù)列；

(2)若∠B為銳角，且a=btanA，求a：b：如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB'=2，D為底棱AC的中點(diǎn)．

(1)求證：A'B⊥平面AB'C'；

(2)過B'C'以及點(diǎn)D的平面與AB交于點(diǎn)E，求證：E為AB中點(diǎn)；

(3)求三棱錐D-AB'C'的體積．

已知函數(shù)．

(1)求函f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π4個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[0,π2]上的值域．

【答案與解析】1.答案：B

解析：本題主要考查解三角形中的正弦定理及應(yīng)用，同時(shí)考查兩角和差的余弦公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，這些都是三角中的基本公式，務(wù)必要掌握，注意公式的逆用．

運(yùn)用正弦定理，把邊化成角得到sinA=5sinBsinC，再與條件cosA=5cosBcosC相減，運(yùn)用兩角和的余弦公式，再用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為cosA，由同角公式，即可求出tanA．

解：∵a=5bsinC，

由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，

又cosA=5cosBcosC②，

②-①得，cosA-sinA=5(cosBcosC-sinBsinC)，

=5cos(B+C)=-5cosA，

∴sinA=6cosA，

∴tanA=sinAcosA=6．

故選B．

2.解析：解：∵a=22，b=4，B=45°，

∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：22sinA=4sin45°，

∴解得sinA=12，

∵a<b，

∴A<B，

∴A=30°．

故選：A解析：解：cos2x+3sin2x=2k-1，

得2(12cos2x+32sin2x)=2k-1，即2sin(2x+π6)=2k-1，

可得：sin(2x+π6)=2k-12=k-12，

由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，

∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的圖象形狀如圖，

解析：本題考查由三視圖還原幾何體，錐體體積的有關(guān)計(jì)算，還原幾何體是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

由已知三視圖還原幾何體，代入四棱錐的體積公式計(jì)算可得．

解：構(gòu)造棱長為2的正方體如圖所示，由三視圖知該幾何體是圖中的四棱錐P-ABCD，

其中B，D分別為棱的中點(diǎn)，

則其體積V=13×2×2-2×12×2×1×2=43．解析：解：如圖所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF=MF2+DM2=302+1702=10298(m)，

DE=DN2+EN2=502+1202=130(m)，

EF=(BE-FC)2+BC2解析：解：①應(yīng)該是n⊥β或n//β或n?β，即①錯(cuò)誤；

②應(yīng)該是n//β或n?β，即②錯(cuò)誤；

③由線面垂直、線面平行和面面平行的性質(zhì)定理可知③正確；

④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正確；

故選：D．

根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系、平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得解．

本題考查了空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系，需要熟記其判定定理和性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的空間立體感，屬于基礎(chǔ)題．

7.答案：C

解析：解：∵0<x，y<π2，

∴0<sinx<x<tanx，

又∵sinx=xcosy，

∴cosy=sinxx>sinxtanx=cosx，

故y<x，

又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，

∴sinx2?cosx2=12xcosy，

即cosy=sinx2?cosx2解析：試題分析：解：∵absinC，∴absinC=即.又根據(jù)余弦定理得，∴-2absinC=-2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故選D．

考點(diǎn)：解三角形

點(diǎn)評：關(guān)鍵是對于已知中的面積關(guān)系式的表示，再結(jié)合余弦定理來求解得到角的值，屬于基礎(chǔ)題。

9.答案：79

解析：解：由3sin2θ=5cosθ+1，

可得：3(1-cos2θ)=5cosθ+1

3cos2θ+5cosθ-2=0，即(3cosθ-1)(cosθ+2)=0，

∴cosθ=13．

那么：cos(π+2θ)=-cos2θ=1-2cos2θ=1-2×解析：本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式.先套用誘導(dǎo)公式，再套用正切的二倍角公式，解方程可得答案．解：

，

故答案為：．

11.答案：4π

解析：解：由AB?BD=0得AB⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，∴AB⊥平面BDC，∴AB⊥BC，

同理CD⊥AD，取AC中點(diǎn)O，如圖所示：，

則O到四頂點(diǎn)的距離相等，即為三棱錐A-BCD的外接球的球心，

∴AC2=CD2+AD2=CD2+BD2+AB2=2AB2+BD2，

∵|2AB+BD|=2，∴|2AB+BD|2=2AB2+22AB?BD+BD2=2AB2+BD2解析：解：△ABC中，A+B=2C，A+B+C=π，∴C=π3．

由余弦定理可得3=1+b2-2×1×b×cosπ3，解得b=2．

再由正弦定理可得3sinπ3=2sinB，解得sinB=1，

故答案為1．解析：解：由題意顯然a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=a2+1sin(x+α)，且tanα=1a，

因?yàn)楹瘮?shù)的一條對稱軸為x=π3，所以π3+α=π2+kπ，k∈Z，

所以α=π6+kπ，k∈Z，

則tanα=tan(π6+kπ)=33，

所以33=115

解析：解：由題意可知△PBD是由△ABD繞BD旋轉(zhuǎn)而得到的，故當(dāng)四面體P-BCD的體積最大時(shí)，平面PBD⊥平面BCD．

在△ABC中，由余弦定理可得AC=4+4-8cos120°=23，

設(shè)AD=x(0<x<23)，則S△BCD=12×2×(23-x)×sin30°=3-x2，S△ABD=12×2×x×12=12x，

BD=4+x2-23x，∴A到BD的距離為d=2S△ABDBD=xx2+4-23x，即P到平面BCD的距離為d=xx2+4-23x．

∴四面體P-BCD的體積V=13S△BCD?d=13?-12(x-3)2+32(x-3)2+1，

∴當(dāng)x=3時(shí)，V取得最大值13?321=12．

當(dāng)P-BCD體積取最大值時(shí)，D為AC的中點(diǎn)，PD⊥平面BCD，

故PD=CD=3，BD=1，∴PB=2，PC=6，

∴cos∠PBC=PB2+BC2-PC22PB?BC=14，∴∠PBC為銳角，

∴P解析：(1)由函數(shù)f(x)的部分圖象求出A、T和ω、φ的值，即可寫出f(x)的解析式；

(2)求出x∈[-π2,0]時(shí)2x+π6的取值范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f(x)的最大最小值．

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．

16.答案：解：(1)由2sinAcos2C2+2sinCcos2A2=3sinB

得：sinA(cosC+1)+sinC(cosA+1)=2sinB

得：sin(A+C)+sinA+sinC=3sinB

△ABC中，A+B+C=π，

∴sin(A+C)=sin(π-B)=sinB

故sinA+sinC=2sinB

由正弦定理得：a+c=2b，

故a、b、c成等差數(shù)列

(2)a=btanA及正弦定理得，sinAcosA=ab=sinAsinB

△ABC中，sinA≠0

所以sinB=cosA

又∠B為銳角，顯然∠A也為銳角，

故sinB=sin解析：(1)利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合正弦定理求解即可．

(2)利用正弦定理以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，結(jié)合勾股定理求出a，b，c的關(guān)系即可．

本題考查正弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．

17.答案：證明：(1)∵直三棱柱ABC-A'B'C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB'=2，

∴A'B⊥AB'，AA'⊥BC，AB⊥BC，

∵AB∩AA'=A，∴BC⊥平面ABB'A'，

∵BC//B'C'，∴B'C'⊥平面ABB'A'，

∵A'B?平面ABB'A'，∴B'C'⊥A'B，

∵AB'∩B'C'=B'，∴A'B⊥平面AB'C'．

(2)∵D為底棱AC的中點(diǎn)，

過B'C'以及點(diǎn)D的平面與AB交于點(diǎn)E，

∴B'C'與DE共面，

∵平面ABC//平面A'B'C'，∴B'C'//DE，

∵B'C'//BC，∴DE//BC，

∵D是AC的中點(diǎn)，∴E為AB中點(diǎn)．

解：(3)以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB'為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵AB=BC=BB'=2，D為底棱AC的中點(diǎn)，

∴D(1,1，0)，A(2,0，0)，B'(0,0，2)，C'(0,2，2)，

AD=(-1,1，0)，AB'=(-2,0，2)，AC'=(-2,2，2)，

設(shè)平面AB'C'的法向量n=(x,y，z)，

則AB'?n=-2x+2z=0AC'?n=-2x+2y+2z，取x=1，得n=(1,0，1)，

∴點(diǎn)D到平面AB'C'的距離d=|解析：(1)推導(dǎo)出A'B⊥AB'，B'C'⊥A'B，由此能證明A'B⊥平面AB'C'．

(2)推導(dǎo)出B'C'//DE，從而DE//BC，由此能證明E為AB中點(diǎn)．

(3)以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB'為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出三棱錐D-AB'C'的體積．

本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)為直線的中點(diǎn)的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

18.答案：解：(1)f(x)=cosx(s