湘教版（2023） 必修第二冊4.4平面與平面的位置關(guān)系 課件+學(xué)案 （共8份打包）

第第頁湘教版（2023）必修第二冊4.4平面與平面的位置關(guān)系課件+學(xué)案（共8份打包）第1課時平面與平面平行的判定

教材要點

要點一平面與平面之間的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形寫法公共點情況

兩平面相交____________有一條公共直線

兩平面平行____________沒有公共點

(1)判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型．

(2)畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行．

要點二平面與平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內(nèi)的________直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行

圖形語言

符號語言若aα，bα，________且a∥β，b∥β，則α∥β

狀元隨筆(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．

基礎(chǔ)自測

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)已知平面α，β和直線m、n，若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β.()

(2)一個平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則兩平面平行．()

(3)平行于同一條直線的兩個平面平行．()

(4)平行于同一平面的兩個平面平行．()

2．在正方體中，相互平行的面不會是()

A．前后相對側(cè)面B．上下相對底面

C．左右相對側(cè)面D．相鄰的側(cè)面

3．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是()

A．一定平行B．一定相交

C．平行或相交D．以上判斷都不對

4．如圖，已知在三棱錐PABC中D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．

題型1平面與平面位置關(guān)系的判定

例1已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系一定是()

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不對

變式探究1在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？

變式探究2在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？

方法歸納

平面與平面的位置關(guān)系的判定方法

(1)平面與平面相交的判定，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點；

(2)平面與平面平行的判定，主要依據(jù)面面平行的判定定理．

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有()

A．1條或2條B．2條或3條

C．1條或3條D．1條或2條或3條

(2)兩個平面將空間分成________部分．

題型2面面平行判定定理的應(yīng)用

例2如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點．證明：平面BDGH∥平面AEF.

方法歸納

平面與平面平行的判定方法

(1)定義法：兩個平面沒有公共點．

(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．

(3)利用線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.

(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.

跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在三棱錐SABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AC，BC，SC的中點，求證：平面DEF∥平面SAB.

題型3線面平行與面面平行的綜合應(yīng)用

例3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點．

求證：(1)E、F、B、D四點共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

方法歸納

線線平行、線面平行與面面平行可以相互轉(zhuǎn)化．要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此，“面面平行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：

(1)直線EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

受思維定式的影響出錯

例4如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點，且AE＝C1F.求證：四邊形EBFD1是平行四邊形．

證明：如圖，在棱BB1上取一點G，使B1G＝C1F＝AE，連接A1G，GF，則GF綊B1C1綊A1D1，

所以四邊形GFD1A1為平行四邊形，

所以A1G綊D1F.

因為A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，

所以A1E綊BG，

所以四邊形EBGA1為平行四邊形，

所以A1G綊EB.

所以D1F綊EB，

所以四邊形EBFD1是平行四邊形．

易錯警示

易錯原因糾錯心得

誤認為E、B、F、D1四點共面，但由已知條件并不能說明這四點共面，同時條件AE＝C1F也沒有用到．證明結(jié)論是否成立時要有嚴(yán)格的推理過程，不能憑直觀感覺．同時，若發(fā)現(xiàn)有沒用到的條件，則需要考慮自己的證明過程是否正確．

課堂十分鐘

1．若M∈平面α，M∈平面β，則不同平面α與β的位置關(guān)系是

()

A．平行B．相交

C．重合D．不確定

2．α、β是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同的直線，則在下列條件下，可判定α∥β的是()

A．α、β都平行于直線a、b

B．α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等

C．a(chǎn)，b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥β

D．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

3．六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()

A．1對B．2對

C．3對D．4對

4.

如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是________．

5．如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點．求證：平面AFH∥平面PCE.

第1課時平面與平面平行的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點一

α＝aα∥β

要點二

兩條相交a＝A

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

2．解析：由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行．

答案：D

3．解析：可借助于長方體判斷兩平面對應(yīng)平行或相交．

答案：C

4．解析：在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.

又DE平面ABC，AB平面ABC，

所以DE∥平面ABC.

同理，可證EF∥平面ABC.

又DE＝E，DE，EF平面DEF，

所以平面DEF∥平面ABC.

答案：平行

題型探究·課堂解透

例1解析：如圖，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：

故選C.

答案：C

變式探究1解析：如圖，aα，bβ，a，b異面，則兩平面平行或相交．

變式探究2解析：如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行．

由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線．故選D.

(2)兩個平面平行時，將空間分成三部分；兩個平面相交時，將空間分成四部分．

答案：(1)D(2)3或4

例2證明：

在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，

所以GH∥EF，

又因為GH平面AEF，EF平面AEF，

所以GH∥平面AEF.

設(shè)AC＝O，

連接OH，在△ACF中，

因為OA＝OC，CH＝HF，

所以O(shè)H∥AF，

又因為OH平面AEF，AF平面AEF，

所以O(shè)H∥平面AEF.

又因為OH＝H，OH，GH平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF.

跟蹤訓(xùn)練2證明：因為D，E分別是棱AC，BC的中點，

所以DE是△ABC的中位線，DE∥AB.

因為DE平面SAB，AB平面SAB，

所以DE∥平面SAB，

同理可證：DF∥平面SAB，

又因為DE＝D，DE平面DEF，DF平面DEF，

所以平面DEF∥平面SAB.

例3

證明：(1)連接B1D1，如圖．

∵E、F分別是邊B1C1、C1D1的中點，

∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E、F、B、D四點共面．

(2)由題知MN∥B1D1，B1D1∥BD，

∴MN∥BD.

又MN平面EFDB，BD平面EFDB.

∴MN∥平面EFDB.

如圖，連接MF.∵M、F分別是A1B1，C1D1的中點，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD，MF＝AD.

∴四邊形ADFM是平行四邊形，

∴AM∥DF.

又AM平面BDFE，DF平面BDFE，

∴AM∥平面BDFE.又∵AM＝M，

∴平面MAN∥平面EFDB.

跟蹤訓(xùn)練3證明：(1)如圖，連接SB.

∵E、G分別是BC、SC的中點，∴EG∥SB.

又∵SB平面BDD1B1，

EG平面BDD1B1，

∴直線EG∥平面BDD1B1.

(2)如圖，連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點，

∴FG∥SD.

又∵SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，

FG平面EFG，EG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

[課堂十分鐘]

1．解析：由基本事實3可知，平面α與平面β相交．

答案：B

2．解析：若a∥b，則不能斷定α∥β，A錯；若三點不在β的同一側(cè)，α與β相交，B錯；若a∥b，則不能斷定α∥β，C錯．

答案：D

3．解析：由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，

∴此六棱柱的面中互相平行的有4對．

答案：D

4．解析：

∵A1E∥BE1，A1E平面BCF1E1，

BE1平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.

同理，A1D1∥平面BCF1E1.

又A1E＝A1，A1E，A1D1平面EFD1A1，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

答案：平行

5．證明：因為F為CD的中點，H為PD的中點，

所以FH∥PC，又PC平面PCE，F(xiàn)H平面PCE，所以FH∥平面PCE.

又AE∥CF且AE＝CF，

所以四邊形AECF為平行四邊形，

所以AF∥CE，又CE平面PCE，AF平面PCE，所以AF∥平面PCE.

又FH平面AFH，AF平面AFH，F(xiàn)H＝F，

所以平面AFH∥平面PCE.(共37張PPT)

第1課時平面與平面平行的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點一平面與平面之間的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形寫法公共點情況

兩平面相交____________有一條公共直線

兩平面平行____________沒有公共點

α＝a

α∥β

狀元隨筆

(1)判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型．

(2)畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行．

要點二平面與平面平行的判定定理

文字語言如果一個平面內(nèi)的________直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行

圖形語言

符號語言若aα，bα，________且a∥β，b∥β，則α∥β

兩條相交

a＝A

狀元隨筆

(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．

基礎(chǔ)自測

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)已知平面α，β和直線m、n，若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥β.()

(2)一個平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則兩平面平行．()

(3)平行于同一條直線的兩個平面平行．()

(4)平行于同一平面的兩個平面平行．()

×

√

×

√

2．在正方體中，相互平行的面不會是()

A．前后相對側(cè)面B．上下相對底面

C．左右相對側(cè)面D．相鄰的側(cè)面

答案：D

解析：由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行．

3．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是()

A．一定平行B．一定相交

C．平行或相交D．以上判斷都不對

答案：C

解析：可借助于長方體判斷兩平面對應(yīng)平行或相交．

4．如圖，已知在三棱錐P-ABC中D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．

平行

解析：在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.

又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC.

同理，可證EF∥平面ABC.

又DE＝E，DE，EF平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.

題型探究·課堂解透

題型1平面與平面位置關(guān)系的判定

例1已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系一定是()

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不對

答案：C

解析：如圖，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：

故選C.

變式探究1在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？

解析：如圖，aα，bβ，a，b異面，則兩平面平行或相交．

變式探究2在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？

解析：如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行．

由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．

方法歸納

平面與平面的位置關(guān)系的判定方法

(1)平面與平面相交的判定，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點；

(2)平面與平面平行的判定，主要依據(jù)面面平行的判定定理．

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有()

A．1條或2條B．2條或3條

C．1條或3條D．1條或2條或3條

解析：當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線．故選D.

答案：D

(2)兩個平面將空間分成________部分．

3或4

解析：兩個平面平行時，將空間分成三部分；兩個平面相交時，將空間分成四部分．

題型2面面平行判定定理的應(yīng)用

例2如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點．證明：平面BDGH∥平面AEF.

證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，

所以GH∥EF，

又因為GH平面AEF，EF平面AEF，

所以GH∥平面AEF.

設(shè)AC＝O，

連接OH，在△ACF中，

因為OA＝OC，CH＝HF，

所以O(shè)H∥AF，

又因為OH平面AEF，AF平面AEF，

所以O(shè)H∥平面AEF.

又因為OH＝H，OH，GH平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF.

方法歸納

平面與平面平行的判定方法

(1)定義法：兩個平面沒有公共點．

(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．

(3)利用線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.

(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.

跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱錐S-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AC，BC，SC的中點，求證：平面DEF∥平面SAB.

證明：因為D，E分別是棱AC，BC的中點，

所以DE是△ABC的中位線，DE∥AB.

因為DE平面SAB，AB平面SAB，

所以DE∥平面SAB，

同理可證：DF∥平面SAB，

又因為DE＝D，DE平面DEF，DF平面DEF，

所以平面DEF∥平面SAB.

題型3線面平行與面面平行的綜合應(yīng)用

例3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點．

求證：(1)E、F、B、D四點共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

證明：(1)連接B1D1，如圖．

∵E、F分別是邊B1C1、C1D1的中點，

∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E、F、B、D四點共面．

(2)由題知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.

又MN平面EFDB，BD平面EFDB.

∴MN∥平面EFDB.

如圖，連接MF.∵M、F分別是A1B1，C1D1的中點，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.

∴MF∥AD，MF＝AD.

∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.

又AM平面BDFE，DF平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.

方法歸納

線線平行、線面平行與面面平行可以相互轉(zhuǎn)化．要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此，“面面平行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：

(1)直線EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

證明：(1)如圖，連接SB.

∵E、G分別是BC、SC的中點，∴EG∥SB.

又∵SB平面BDD1B1，

EG平面BDD1B1，

∴直線EG∥平面BDD1B1.

(2)如圖，連接SD，∵F、G分別是DC、SC的中點，

∴FG∥SD.

又∵SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，

FG平面EFG，EG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

易錯辨析受思維定式的影響出錯

例4如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點，且AE＝C1F.求證：四邊形EBFD1是平行四邊形．

證明：如圖，在棱BB1上取一點G，使B1G＝C1F＝AE，連接A1G，GF，則GF綊B1C1綊A1D1，

所以四邊形GFD1A1為平行四邊形，

所以A1G綊D1F.

因為A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，

所以A1E綊BG，

所以四邊形EBGA1為平行四邊形，

所以A1G綊EB.

所以D1F綊EB，

所以四邊形EBFD1是平行四邊形．

易錯警示

易錯原因糾錯心得

誤認為E、B、F、D1四點共面，但由已知條件并不能說明這四點共面，同時條件AE＝C1F也沒有用到．證明結(jié)論是否成立時要有嚴(yán)格的推理過程，不能憑直觀感覺．同時，若發(fā)現(xiàn)有沒用到的條件，則需要考慮自己的證明過程是否正確．

課堂十分鐘

1．若M∈平面α，M∈平面β，則不同平面α與β的位置關(guān)系是

()

A．平行B．相交

C．重合D．不確定

答案：B

解析：由基本事實3可知，平面α與平面β相交．

2．α、β是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同的直線，則在下列條件下，可判定α∥β的是()

A．α、β都平行于直線a、b

B．α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等

C．a(chǎn)，b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥β

D．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β

答案：D

解析：若a∥b，則不能斷定α∥β，A錯；若三點不在β的同一側(cè)，α與β相交，B錯；若a∥b，則不能斷定α∥β，C錯．

3．六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有()

A．1對B．2對

C．3對D．4對

解析：由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對．

答案：D

4.如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是________．

平行

解析：∵A1E∥BE1，A1E平面BCF1E1，

BE1平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.

同理，A1D1∥平面BCF1E1.

又A1E＝A1，A1E，A1D1平面EFD1A1，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

5．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點．求證：平面AFH∥平面PCE.

證明：因為F為CD的中點，H為PD的中點，

所以FH∥PC，又PC平面PCE，F(xiàn)H平面PCE，所以FH∥平面PCE.

又AE∥CF且AE＝CF，

所以四邊形AECF為平行四邊形，

所以AF∥CE，又CE平面PCE，AF平面PCE，所以AF∥平面PCE.

又FH平面AFH，AF平面AFH，F(xiàn)H＝F，

所以平面AFH∥平面PCE.第2課時平面與平面平行的性質(zhì)

教材要點

要點一平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面________，那么兩條交線________．

符號語言a∥b

圖形語言

狀元隨筆（1）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．

（2）該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．

要點二兩平行平面間的距離

如果平面α平行于平面β，則稱平面α上任意一點到平面β的距離為平面α到平面β的距離．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（1）一個平面與兩個平面相交，交線平行．（）

（2）若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，則l∥m.（）

（3）已知兩個平面平行，若第三個平面與其中的一個平面平行，則也與另一個平面平行．（）

（4）夾在兩平行平面間的平行線段相等．（）

2.已知長方體ABCDA′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是（）

A．平行B．相交

C．異面D．不確定

3.平面α∥平面β，直線a∥平面α，則（）

A．a(chǎn)∥βB．a(chǎn)在平面β上

C．a(chǎn)與β相交D．a(chǎn)∥β或aβ

4.

如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是Ｗ．

題型1利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

例1如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

方法歸納

證明直線與直線平行的方法

（1）平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)；平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行等；

（2）基本事實4；

（3）線面平行的性質(zhì)定理；

（4）面面平行的性質(zhì)定理．

跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.

題型2利用面面平行的性質(zhì)定理求線段長

例2如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求SC的長．

方法歸納

由面面平行，得到線線平行，然后利用平行線分線段成比例性質(zhì)就可解決問題．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

題型3平行關(guān)系的綜合問題

例3

在三棱柱ABCA1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1上的一點．

（1）當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1.

（2）當(dāng)BC1∥平面AB1D1時，求證：平面BC1D∥平面AB1D1.

方法歸納

（1）注意三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．判定某一平行的過程就是從一平行關(guān)系出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在證明問題時要切實把握這一點，靈活地確定轉(zhuǎn)化思路和方向．

（2）“平行關(guān)系”的應(yīng)用是證明線線、線面、面面平行的依據(jù)．充分理解并掌握三者之間的轉(zhuǎn)化，并進一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是解決“平行關(guān)系”問題的關(guān)鍵所在．

跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1BQ與平面PAO平行？

課堂十分鐘

1.若平面α∥平面β，直線aα，點M∈β，過點M的所有直線中（）

A．不一定存在與a平行的直線

B．只有兩條與a平行的直線

C．存在無數(shù)條與a平行的直線

D．有且只有一條與a平行的直線

2.平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（）

A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB與CD相交D．A，B，C，D四點共面

3.

如圖，不同在一個平面內(nèi)的三條平行直線和兩個平行平面相交，則兩個平行平面內(nèi)以交點為頂點的兩個三角形是（）

A．相似但不全等的三角形

B．全等三角形

C．面積相等的不全等三角形

D．以上結(jié)論都不對

4.如圖，已知平面α∥β∥γ，兩條相交直線l，m分別與平面α，β，γ相交于A，B，C與D，E，F(xiàn)，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，則AC＝Ｗ．

5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.

第2課時平面與平面平行的性質(zhì)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點一

相交平行α＝aβ＝b

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√

2．解析：由面面平行的性質(zhì)定理易得．

答案：A

3．解析：如圖1滿足a∥α，α∥β，此時a∥β；

如圖2滿足a∥α，α∥β，此時aβ，故選D.

答案：D

4．解析：由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得．

答案：平行四邊形

題型探究·課堂解透

例1證明：∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，

∴A′D′∥B′C′.

∵A′D′平面BB′C′C，B′C′平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.

∵A′D′平面AA′D′D，AA′平面AA′D′D，且A′D′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，

平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.

同理可證AB∥CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

跟蹤訓(xùn)練1證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，

所以DE∥AB.

又DE平面ABC，AB平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE＝D，DE，DF平面DEF，

所以平面DEF∥平面ABC.

又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM.

例2解析：設(shè)AB，CD共面γ，因為γ＝AC，γ＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，

所以＝，即＝，

所以SC＝17.

跟蹤訓(xùn)練2

解析：連接A1B，設(shè)A1B＝O，連接OD1，如圖，

由平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，

平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.

知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.

所以＝＝.

又因為＝1，所以＝1，即＝1.

例3解析：(1)＝1時，BC1∥平面AB1D1，理由如下：

如圖，此時D1為線段A1C1的中點，連接A1B交AB1于O，連接OD1.

由棱柱的定義知四邊形A1ABB1為平行四邊形，

所以點O為A1B的中點．

在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，

所以O(shè)D1∥BC1.

又因為OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1.

所以當(dāng)＝1時，BC1∥平面AB1D1.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)BC1∥平面AB1D1時，點D1是線段A1C1的中點，則有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，

所以四邊形ADC1D1是平行四邊形．

所以AD1∥DC1.

又因為DC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，

所以DC1∥平面AB1D1.

又因為BC1∥平面AB1D1，BC1平面BC1D，DC1平面BC1D，DC1＝C1，

所以平面BC1D∥平面AB1D1.

跟蹤訓(xùn)練3解析：

如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點M在AA1上，平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.

假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因為P為DD1的中點，

所以M為AA1的中點，Q為CC1的中點，

故當(dāng)Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.

[課堂十分鐘]

1．解析：由于α∥β，aα，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．

答案：D

2．解析：充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知AC∥BD.必要性顯然成立．

答案：D

3．解析：由面面平行的性質(zhì)定理，得AC∥A′C′，

則四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC＝A′C′.

同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.

答案：B

4．解析：由面面平行的性質(zhì)定理知AD∥BE∥CF，所以＝，所以AC＝·AB＝×6＝15.

答案：15

5．證明：

過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，則＝.

∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，

∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，

易得EG∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，

又∵EG＝G，EG，F(xiàn)G平面EFG，

∴平面EFG∥平面ABCD，

又∵EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.(共32張PPT)

第2課時平面與平面平行的性質(zhì)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點一平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面________，那么兩條交線________．

符號語言

圖形語言

相交

平行

α＝a

β＝b

狀元隨筆

（1）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線．

（2）該定理提供了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面．

要點二兩平行平面間的距離

如果平面α平行于平面β，則稱平面α上任意一點到平面β的距離為平面α到平面β的距離．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（1）一個平面與兩個平面相交，交線平行．（）

（2）若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，則l∥m.（）

（3）已知兩個平面平行，若第三個平面與其中的一個平面平行，則也與另一個平面平行．（）

（4）夾在兩平行平面間的平行線段相等．（）

×

×

√

√

2.已知長方體ABCD-A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是（）

A．平行B．相交

C．異面D．不確定

答案：A

解析：由面面平行的性質(zhì)定理易得．

3.平面α∥平面β，直線a∥平面α，則（）

A．a(chǎn)∥βB．a(chǎn)在平面β上

C．a(chǎn)與β相交D．a(chǎn)∥β或aβ

答案：D

解析：如圖1滿足a∥α，α∥β，此時a∥β；

如圖2滿足a∥α，α∥β，此時aβ，故選D.

4.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是．

平行四邊形

解析：由夾在兩平行平面間的平行線段相等可得．

題型探究·課堂解透

題型1利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

例1如圖所示，平面四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：∵四邊形A′B′C′D′是平行四邊形，

∴A′D′∥B′C′.

∵A′D′平面BB′C′C，B′C′平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.

∵A′D′平面AA′D′D，AA′平面AA′D′D，且A′D′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，

平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.

同理可證AB∥CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

方法歸納

證明直線與直線平行的方法

（1）平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)；平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行等；

（2）基本事實4；

（3）線面平行的性質(zhì)定理；

（4）面面平行的性質(zhì)定理．

跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點，M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.

證明：因為D，E分別是PA，PB的中點，

所以DE∥AB.

又DE平面ABC，AB平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE＝D，DE，DF平面DEF，

所以平面DEF∥平面ABC.

又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM.

題型2利用面面平行的性質(zhì)定理求線段長

例2如圖，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求SC的長．

解析：設(shè)AB，CD共面γ，因為γ＝AC，γ＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，

所以＝，即＝，

所以SC＝17.

方法歸納

由面面平行，得到線線平行，然后利用平行線分線段成比例性質(zhì)就可解決問題．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的點．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

解析：連接A1B，設(shè)A1B＝O，連接OD1，如圖，

由平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，

平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.

知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.

所以＝＝.

又因為＝1，所以＝1，即＝1.

題型3平行關(guān)系的綜合問題

例3在三棱柱ABC-A1B1C1中，點D為AC的中點，點D1是A1C1上的一點．

（1）當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，BC1∥平面AB1D1.

（2）當(dāng)BC1∥平面AB1D1時，求證：平面BC1D∥平面AB1D1.

解析：(1)＝1時，BC1∥平面AB1D1，理由如下：

如圖，此時D1為線段A1C1的中點，連接A1B交AB1于O，連接OD1.

由棱柱的定義知四邊形A1ABB1為平行四邊形，

所以點O為A1B的中點．

在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，

所以O(shè)D1∥BC1.

又因為OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1.

所以當(dāng)＝1時，BC1∥平面AB1D1.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)BC1∥平面AB1D1時，點D1是線段A1C1的中點，則有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，

所以四邊形ADC1D1是平行四邊形．

所以AD1∥DC1.

又因為DC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，

所以DC1∥平面AB1D1.

又因為BC1∥平面AB1D1，BC1平面BC1D，DC1平面BC1D，DC1＝C1，

所以平面BC1D∥平面AB1D1.

方法歸納

（1）注意三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．判定某一平行的過程就是從一平行關(guān)系出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程，在證明問題時要切實把握這一點，靈活地確定轉(zhuǎn)化思路和方向．

（2）“平行關(guān)系”的應(yīng)用是證明線線、線面、面面平行的依據(jù)．充分理解并掌握三者之間的轉(zhuǎn)化，并進一步理解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是解決“平行關(guān)系”問題的關(guān)鍵所在．

跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1BQ與平面PAO平行？

解析：如圖，設(shè)平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，點M在AA1上，平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥D1M.

假設(shè)平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因為P為DD1的中點，

所以M為AA1的中點，Q為CC1的中點，

故當(dāng)Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.

課堂十分鐘

1.若平面α∥平面β，直線aα，點M∈β，過點M的所有直線中（）

A．不一定存在與a平行的直線

B．只有兩條與a平行的直線

C．存在無數(shù)條與a平行的直線

D．有且只有一條與a平行的直線

答案：D

解析：由于α∥β，aα，M∈β，過M有且只有一條直線與a平行，故D項正確．

2.平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（）

A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB與CD相交D．A，B，C，D四點共面

答案：D

解析：充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質(zhì)知AC∥BD.必要性顯然成立．

3.如圖，不同在一個平面內(nèi)的三條平行直線和兩個平行平面相交，則兩個平行平面內(nèi)以交點為頂點的兩個三角形是（）

A．相似但不全等的三角形

B．全等三角形

C．面積相等的不全等三角形

D．以上結(jié)論都不對

答案：B

解析：由面面平行的性質(zhì)定理，得AC∥A′C′，

則四邊形ACC′A′為平行四邊形，∴AC＝A′C′.

同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.

4.如圖，已知平面α∥β∥γ，兩條相交直線l，m分別與平面α，β，γ相交于A，B，C與D，E，F(xiàn)，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，則AC＝．

15

解析：由面面平行的性質(zhì)定理知AD∥BE∥CF，所以＝，所以AC＝·AB＝×6＝15.

5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面ABCD.

證明：過E作EG∥AB交BB1于點G，連接GF，則＝.

∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，

∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，

易得EG∥平面ABCD，F(xiàn)G∥平面ABCD，

又∵EG＝G，EG，F(xiàn)G平面EFG，

∴平面EFG∥平面ABCD，

又∵EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.第1課時平面與平面垂直的判定

教材要點

要點一二面角

二面角的定義從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角

二面角的相關(guān)概念這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面

二面角的畫法

二面角的記法二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ

二面角的平面角定義在二面角αlβ的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角

圖形

范圍∠AOB的范圍是

狀元隨筆（1）二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量．

（2）二面角的平面角的大小與O點選取無關(guān)．

要點二兩個平面互相垂直的定義

1.兩個平面相交，如果它們所成的二面角是角，就說這兩個平面互相垂直．

2.平面α，β互相垂直，記作Ｗ．

3.畫法：

要點三平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直α⊥β

狀元隨筆（1）兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的．

（2）兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的．

（3）判定定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個面的垂線．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（1）二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直．（）

（2）對于確定的二面角而言，平面角的大小與頂點在棱上的位置有關(guān)．（）

（3）已知一條直線垂直于某一個平面，則過該直線的任意一個平面與該平面都垂直．（）

（4）平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β.（）

2.在二面角αlβ的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，則必須具有的條件是（）

A．AO⊥BO，AOα，BOβ

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AOα，BOβ

D．AO⊥l，BO⊥l，且AOα，BOβ

3.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有對．

題型1二面角及其平面角的概念

例1（多選）下列命題正確的是（）

A．兩個相交平面組成的圖形叫做二面角

B．異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補

C．二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角

D．二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系

方法歸納

（1）要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．

（2）要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．

（3）可利用實物模型，作圖幫助判斷．

跟蹤訓(xùn)練1若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（）

A．相等B．互補

C．相等或互補D．關(guān)系無法確定

題型2求二面角的大小

例2如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中：

（1）求二面角D′ABD的大??；

（2）求二面角A′ABD的大?。?/p>

方法歸納

（1）求二面角的關(guān)鍵是要找出二面角的平面角，而找平面角的關(guān)鍵是要找到二面角的棱上一點并分別在兩個面內(nèi)與棱垂直的兩條射線．

（2）由于二面角的平面角的大小與棱上一點的位置無關(guān)，所以在具體問題中，這個點經(jīng)常選在一些特殊的位置，如線段的中點．

跟蹤訓(xùn)練2在四棱錐VABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面是腰長為3的等腰三角形，則二面角VABC的余弦值的大小為（）

A．B．

C．D．

題型3平面與平面垂直的證明

角度1利用面面垂直的定義證明

例3

如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.

證明：平面ACD⊥平面ABC.

方法歸納

證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：

（1）找出兩相關(guān)平面的平面角；

（2）證明這個平面角是直角；

（3）根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直．

角度2利用面面垂直的判定定理證明

例4

如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中點．

求證：平面AB1M⊥平面ABB1A1.

方法歸納

利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從已知條件的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來解決．

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐SABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD.

判斷面面位置關(guān)系時主觀臆斷

例5如圖所示，已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎？試說明理由．

解析：因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因為BB1⊥底面ABCD，AC底面ABCD，

所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，

所以AC⊥平面BB1D1D，又AC截面ACB1，

所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

選錯直線D1B1，推導(dǎo)出D1B1與平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．判斷兩個平面垂直，只需說明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時，必須給出嚴(yán)格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實質(zhì)．

課堂十分鐘

1.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（）

A．有1個B．有2個

C．有無數(shù)個D．不存在

2.空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）

A．平面ABC⊥平面ACD

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ADC⊥平面BCD

3.從空間一點P向二面角αlβ的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝30°，則二面角αlβ的平面角的大小是（）

A．30°B．150°

C．30°或150°D．不確定

4.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是．

5.如圖，四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點，且EF⊥CD.

證明：平面PCD⊥平面PAD.

第1課時平面與平面垂直的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點一

兩個半平面[0°，180°]

要點二

1．直二面

2．α⊥β

要點三

垂線

[基礎(chǔ)自測]

1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×

2．解析：由二面角的平面角的定義可知．

答案：D

3．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對．

答案：5

題型探究·課堂解透

例1解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以A不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C不對；由定義知D正確．

答案：BD

跟蹤訓(xùn)練1

解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，因為二面角HDGF的大小不確定．

答案：D

例2解析：(1)在正方體ABCDA′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′ABD的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′ABD的大小為45°.

(2)因為AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD為二面角A′ABD的平面角．

又∠A′AD＝90°，所以二面角A′ABD的大小為90°.

跟蹤訓(xùn)練2解析：

如圖所示，取AB的中點E，連接VE，過V作底面的垂線，垂足為O，連接OE.根據(jù)題意可知，∠VEO是二面角VABC的平面角．因為OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝.

答案：B

例3

證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD.

又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.

如圖，取AC的中點O，連接DO，BO，則DO⊥AC，DO＝AO.

又因為△ABC是正三角形，故BO⊥AC，

所以∠DOB為二面角DACB的平面角．

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.

所以平面ACD⊥平面ABC.

例4證明：

連接A1B交AB1于O，連接MO，易得O為A1B，AB1的中點，

∵CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又M為CC1的中點，AC＝CC1＝6，

∴AM＝＝3，

同理可得B1M＝3.∴MO⊥AB1.連接MB，同理可得A1M＝BM＝3.

∴MO⊥A1B，

又AB1＝O，AB1，A1B平面ABB1A1，

∴MO⊥平面ABB1A1，

又MO平面AB1M，

∴平面AB1M⊥平面ABB1A1.

跟蹤訓(xùn)練3證明：如圖，連接AC，與BD交于點F，連接EF.

∵F為ABCD的對角線AC與BD的交點，∴F為AC的中點．

∵E為SA的中點，∴EF為△SAC的中位線，∴EF∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

又∵EF平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

[課堂十分鐘]

1．解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．

答案：C

2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.

答案：D

3．解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為150°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為30°.

答案：C

4．解析：因為PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC的外心上，

又Rt△ABC的外心為BC的中點，設(shè)為O，則PO⊥平面ABC，又PO平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.

答案：垂直

5.

證明：如圖所示，連接AC，由題意知，四邊形ABCD是正方形，

因為F是BD的中點，可得F也是AC的中點，

在△PAC中，因為E，F(xiàn)分別是PC，AC的中點，可得EF∥PA，

又因為EF⊥CD，所以PA⊥CD，

又由AD⊥CD，且AD＝A，所以CD⊥平面PAD.

又因為CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(共36張PPT)

第1課時平面與平面垂直的判定

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點一二面角

二面角的定義從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角

二面角的相關(guān)概念這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面

二面角的畫法

兩個半平面

二面角的記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角

圖形

范圍∠AOB的范圍是____________

[0°，180°]

狀元隨筆

（1）二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量．

（2）二面角的平面角的大小與O點選取無關(guān)．

要點二兩個平面互相垂直的定義

1.兩個平面相交，如果它們所成的二面角是角，就說這兩個平面互相垂直．

2.平面α，β互相垂直，記作．

3.畫法：

直二面

α⊥β

要點三平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直

狀元隨筆（1）兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的．

（2）兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的．

（3）判定定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個面的垂線．

垂線

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（1）二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直．（）

（2）對于確定的二面角而言，平面角的大小與頂點在棱上的位置有關(guān)．（）

（3）已知一條直線垂直于某一個平面，則過該直線的任意一個平面與該平面都垂直．（）

（4）平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β.（）

√

×

√

×

2.在二面角α-l-β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（）

A．AO⊥BO，AOα，BOβ

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AOα，BOβ

D．AO⊥l，BO⊥l，且AOα，BOβ

答案：D

解析：由二面角的平面角的定義可知．

3.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有對．

5

解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對．

題型探究·課堂解透

題型1二面角及其平面角的概念

例1（多選）下列命題正確的是（）

A．兩個相交平面組成的圖形叫做二面角

B．異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補

C．二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角

D．二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系

答案：BD

解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以A不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C不對；由定義知D正確．

方法歸納

（1）要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．

（2）要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．

（3）可利用實物模型，作圖幫助判斷．

跟蹤訓(xùn)練1若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（）

A．相等B．互補

C．相等或互補D．關(guān)系無法確定

答案：D

解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，因為二面角H-DG-F的大小不確定．

題型2求二面角的大小

例2如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中：

（1）求二面角D′-AB-D的大??；

（2）求二面角A′-AB-D的大?。?/p>

解析：(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.

(2)因為AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD為二面角A′-AB-D的平面角．

又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小為90°.

方法歸納

（1）求二面角的關(guān)鍵是要找出二面角的平面角，而找平面角的關(guān)鍵是要找到二面角的棱上一點并分別在兩個面內(nèi)與棱垂直的兩條射線．

（2）由于二面角的平面角的大小與棱上一點的位置無關(guān)，所以在具體問題中，這個點經(jīng)常選在一些特殊的位置，如線段的中點．

跟蹤訓(xùn)練2在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面是腰長為3的等腰三角形，則二面角V-AB-C的余弦值的大小為（）

A．B．

C．D．

答案：B

解析：如圖所示，取AB的中點E，連接VE，過V作底面的垂線，垂足為O，連接OE.根據(jù)題意可知，∠VEO是二面角V-AB-C的平面角．因為OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝.

題型3平面與平面垂直的證明

角度1利用面面垂直的定義證明

例3如圖，四面體A-BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.

證明：平面ACD⊥平面ABC.

證明：由題設(shè)可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD.

又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.

如圖，取AC的中點O，連接DO，BO，

則DO⊥AC，DO＝AO.

又因為△ABC是正三角形，故BO⊥AC，

所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.

所以平面ACD⊥平面ABC.

方法歸納

證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：

（1）找出兩相關(guān)平面的平面角；

（2）證明這個平面角是直角；

（3）根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直．

角度2利用面面垂直的判定定理證明

例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中點．

求證：平面AB1M⊥平面ABB1A1.

證明：連接A1B交AB1于O，連接MO，易得O為A1B，AB1的中點，

∵CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴CC1⊥AC，

又M為CC1的中點，AC＝CC1＝6，

∴AM＝＝3，

同理可得B1M＝3.∴MO⊥AB1.

連接MB，同理可得A1M＝BM＝3.

∴MO⊥A1B，

又AB1＝O，AB1，A1B平面ABB1A1，

∴MO⊥平面ABB1A1，

又MO平面AB1M，

∴平面AB1M⊥平面ABB1A1.

方法歸納

利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從已知條件的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來解決．

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD.

證明：如圖，連接AC，與BD交于點F，連接EF.

∵F為ABCD的對角線AC與BD的交點，∴F為AC的中點．

∵E為SA的中點，∴EF為△SAC的中位線，∴EF∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

又∵EF平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

易錯辨析判斷面面位置關(guān)系時主觀臆斷

例5如圖所示，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎？試說明理由．

解析：因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因為BB1⊥底面ABCD，AC底面ABCD，

所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，

所以AC⊥平面BB1D1D，又AC截面ACB1，

所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

選錯直線D1B1，推導(dǎo)出D1B1與平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．判斷兩個平面垂直，只需說明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時，必須給出嚴(yán)格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實質(zhì)．

課堂十分鐘

1.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（）

A．有1個B．有2個

C．有無數(shù)個D．不存在

答案：C

解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．

2.空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）

A．平面ABC⊥平面ACD

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ADC⊥平面BCD

答案：D

解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.

3.從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝30°，則二面角α-l-β的平面角的大小是（）

A．30°B．150°

C．30°或150°D．不確定

答案：C

解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為150°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為30°.

4.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是．

垂直

解析：因為PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心為BC的中點，設(shè)為O，則PO⊥平面ABC，又PO平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.

5.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點，且EF⊥CD.

證明：平面PCD⊥平面PAD.

證明：如圖所示，連接AC，由題意知，四邊形ABCD是正方形，

因為F是BD的中點，可得F也是AC的中點，

在△PAC中，因為E，F(xiàn)分別是PC，AC的中點，可得EF∥PA，

又因為EF⊥CD，所以PA⊥CD，

又由AD⊥CD，且AD＝A，所以CD⊥平面PAD.

又因為CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)

教材要點

要點平面與平面垂直的性質(zhì)

文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的，那么這條直線與另一個平面垂直．

符號語言

圖形語言

作用①面面垂直線面垂直；②作面的垂線

狀元隨筆對面面垂直的性質(zhì)定理的理解

（1）定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．

（2）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．

基礎(chǔ)自測

1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）

（1）兩個平面垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)的點作第二個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)．（）

（2）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.（）

（3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，則a⊥α.（）

（4）三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．（）

2.若兩個平面互相垂直，在第一個平面內(nèi)的一條直線a垂直于第二個平面內(nèi)的一條直線b，那么（）

A．直線a垂直于第二個平面

B．直線b垂直于第一個平面

C．直線a不一定垂直于第二個平面

D．過a的平面必垂直于過b的平面

3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（）

A．α∥γB．α⊥γ

C．α與γ相交但不垂直D．以上都有可能

4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，nβ，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是．

題型1平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD.

方法歸納

（1）證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．

跟蹤訓(xùn)練1

已知：如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求證：BC⊥平面PAB.

題型2垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例2如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．

（1）求證：PA⊥平面ABC；

（2）當(dāng)E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．

方法歸納

（1）熟練垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路．

（2）垂直關(guān)系證明的核心是線面垂直，準(zhǔn)確確定要證明的直線是關(guān)鍵，再利用線線垂直證明．

跟蹤訓(xùn)練2如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為l.

（1）求證：平面PBC⊥平面PAC.

（2）求證：直線l⊥AC.

平面與平面垂直的條件把握不準(zhǔn)確致誤

例3（多選）已知兩個平面垂直，則下列說法中正確的有（）

A．一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線

B．一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線

C．經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直

D．過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面

解析：

如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對于A，AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，A