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廣東省深圳市平湖中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)試題第四次月考試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè),導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米2.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.3.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中,為的中點(diǎn),在上,且,則下述結(jié)論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.5.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.6.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.57.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)?,則()A. B. C.或 D.或48.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.19.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.11.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別,數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究,且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種12.設(shè),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為________.14.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____15.在面積為的中,,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的最大值是______.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.19.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)無(wú)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積;(2)設(shè)曲線與曲線交于,兩點(diǎn),求.22.(10分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元?說(shuō)明你的理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小,可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛¢L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小,可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng),故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算,屬于容易題.2、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、B【解析】
設(shè)出棱長(zhǎng),通過(guò)直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設(shè)棱長(zhǎng)為:2,對(duì)于①連結(jié),則,即與不垂直,又,①不正確;對(duì)于②,連結(jié),,在中,,而,是的中點(diǎn),所以,②正確;對(duì)于③由②可知,在中,,連結(jié),易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標(biāo)原點(diǎn),平面上過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.4、C【解析】
設(shè),計(jì)算可得,再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè),則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像,,得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.5、C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.6、D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7、C【解析】
對(duì)a進(jìn)行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時(shí),,所以,,所以;當(dāng)時(shí),,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).8、A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.9、B【解析】
根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)11、B【解析】
將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí),有種,當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí),有種,∴共有360種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.14、80211【解析】
由,利用二項(xiàng)式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值是為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量,進(jìn)而由重要不等式求最值,屬于中檔題.16、【解析】
先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因?yàn)槎x在上的奇函數(shù),則,則,又因?yàn)?所以,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識(shí)的應(yīng)用能力和計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,,.設(shè)交于,則為的中點(diǎn),連接.通過(guò)證明,證得平面,由此證得平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,,.設(shè)交于,則為的中點(diǎn),連接.設(shè),則,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,∴,令得.設(shè)平面的法向量為,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)由已知變形得到,從而是等差數(shù)列,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可;(2)先求出數(shù)列的通項(xiàng),再利用裂項(xiàng)相消法求出即可.【詳解】(1)由已知,,即,又,則數(shù)列是以1為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列,所以,即.(2)因?yàn)?,則,所以,又是遞增數(shù)列,所以,綜上,.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.19、(1);(2)是,定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,聯(lián)立方程得到,,計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因?yàn)?,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得到,所以,,所以,,因?yàn)橹本€的斜率,所以直線的方程,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故以為直徑的圓的方程為,又因?yàn)?,,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2).【解析】
(1)只需分,,三種情況討論即可;(2)在區(qū)間上恒成立,轉(zhuǎn)化為,只需求出即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等式無(wú)解;當(dāng)時(shí),,由得;當(dāng)時(shí),,由得,綜上,不等式的解集為;(2)依題意,在區(qū)間上恒成立,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,由得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、不等式恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道基礎(chǔ)題.21、(1);(2)【解析】
(1)利用互化公式,將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個(gè)半徑為1的圓周及一個(gè)兩直角邊分別為1與的直角三角形,即可求出面積;(2)聯(lián)立方程組,分別求出和的坐標(biāo),即可求出.【詳解】解:(1)由于的極坐標(biāo)方程為,根據(jù)互化公式得,曲線的直角坐標(biāo)方程為:當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則曲線與極軸所在直線圍成的圖形,是一個(gè)半徑為1的圓
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