勾股定理的九種證明方法(附圖)

勾股定理的證明方法一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。二、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。三、相似三角形的證法：DBAC4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。DBAC如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足為D。則△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。四、古人的證法：如圖，將圖中的四個直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，，以弦為邊的正方形稱為弦實，然后經(jīng)過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也”。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡明、直觀。五、項明達(dá)證法：作兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP∥BC，交AC于點P.過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a.∴點B、F、G、H在一條直線上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.辛卜松證法：

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，