勾股定理的九種證明方法(附圖)

勾股定理的證明方法一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）左邊的正方形是由1個(gè)邊長為的正方形和1個(gè)邊長為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。二、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。三、相似三角形的證法：DBAC4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)三直角角形與原三角形相似。DBAC如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足為D。則△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD×BA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，這就是a2+b2=c2。這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。四、古人的證法：如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之，即弦也”。趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡明、直觀。五、項(xiàng)明達(dá)證法：作兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足為N.∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a.∴點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.辛卜松證法：

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，