高三北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪課時(shí)檢測 10.2 排列與組合 含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精10。2排列與組合一、選擇題1．某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為()．A．42B．30C．20D．12解析可分為兩類：兩個(gè)節(jié)目相鄰或兩個(gè)節(jié)目不相鄰，若兩個(gè)節(jié)目相鄰，則有Aeq\o\al（2,2）Aeq\o\al（1，6)＝12種排法；若兩個(gè)節(jié)目不相鄰，則有Aeq\o\al（2,6)＝30種排法．由分類計(jì)數(shù)原理共有12＋30＝42種排法（或Aeq\o\al(2，7)＝42）．答案A2．a(chǎn)∈N*,且a〈20，則（27－a)(28－a)…（34－a)等于(）A．Aeq\o\al(8，27－a）B．Aeq\o\al（27－a,34－a）C．Aeq\o\al(7,34－a）D．Aeq\o\al(8,34－a)解析Aeq\o\al（8,34－a)＝(27－a）(28－a)…(34－a）．答案D3．從1，3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有()A．252個(gè)B．300個(gè)C．324個(gè)D．228個(gè)解析(1）若僅僅含有數(shù)字0，則選法是Ceq\o\al（2，3）Ceq\o\al(1,4)，可以組成四位數(shù)Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al（1，4）Aeq\o\al（3，3）＝12×6＝72個(gè);(2）若僅僅含有數(shù)字5,則選法是Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al(2，4），可以組成四位數(shù)Ceq\o\al(1,3）Ceq\o\al（2，4)Aeq\o\al(3，3)＝18×6＝108個(gè)；(3)若既含數(shù)字0，又含數(shù)字5，選法是Ceq\o\al（1，3）Ceq\o\al（1，4），排法是若0在個(gè)位，有Aeq\o\al(3,3)＝6種，若5在個(gè)位，有2×Aeq\o\al(2,2）＝4種，故可以組成四位數(shù)Ceq\o\al（1，3）Ceq\o\al（1,4)(6＋4）＝120個(gè)．根據(jù)加法原理，共有72＋108＋120＝300個(gè)．答案B4．2013年春節(jié)放假安排:農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有()A．1440種 B．1360種C．1282種 D．1128種解析采取對丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有:Aeq\o\al（6,6)·Aeq\o\al（2,2)＝1440種,如果“乙在正月初一值班”,則安排方案有：Ceq\o\al(1,1）·Aeq\o\al（1，4）·Aeq\o\al（2，2)·Aeq\o\al（4,4）＝192種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：Aeq\o\al(5，5)＝120種．則不同的安排方案共有1440－192－120＝1128(種)．答案D5．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有（）．A．16種B．36種C．42種D．60種解析若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的3個(gè)，每個(gè)城市一項(xiàng),共Aeq\o\al（3,4）種方法;若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的2個(gè)，一個(gè)城市一項(xiàng)、一個(gè)城市兩項(xiàng)共Ceq\o\al（2，3)Aeq\o\al（2,4)種方法，由分類計(jì)數(shù)原理知共Aeq\o\al（3，4)＋Ceq\o\al（2,3)Aeq\o\al（2，4）＝60種方法．答案D6．某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）．A．30種B．35種C．42種D．48種解析法一可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al（2,4）＋Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al（1，4)＝18＋12＝30（種)選法．法二總共有Ceq\o\al（3,7)＝35(種）選法，減去只選A類的Ceq\o\al（3，3）＝1(種),再減去只選B類的Ceq\o\al(3，4)＝4（種)，共有30種選法．答案A7．有5本不同的書，其中語文書2本,數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是(）．A．24B．48C．72D．96解析Aeq\o\al（5,5）－2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al（2，3)Aeq\o\al（2,2）－Aeq\o\al(2，2）Aeq\o\al（2,2)Aeq\o\al（3，3）＝48.答案B二、填空題8．5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．（以數(shù)字作答）解析①只有1名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al(1，2）·Ceq\o\al(2，3）·Aeq\o\al(3，3）＝36種．②有2名老隊(duì)員的排法有Ceq\o\al（2，2)·Ceq\o\al（1,3）·Ceq\o\al（1，2)·Aeq\o\al（2，2)＝12種；所以共48種．答案489．將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級中，每個(gè)班級至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案種數(shù)是________．解析將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級中，每個(gè)班級至少安排一名學(xué)生有Ceq\o\al（2，4)Aeq\o\al（3，3)種分配方案,其中甲同學(xué)分配到A班共有Ceq\o\al(2,3）Aeq\o\al（2,2）＋Ceq\o\al(1,3）Aeq\o\al（2，2)種方案．因此滿足條件的不同方案共有Ceq\o\al（2,4）Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al（2，3）Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al（1，3)Aeq\o\al（2，2)＝24(種)．答案2410．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有________種．解析分1名男醫(yī)生2名女醫(yī)生、2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生兩種情況，或者用間接法．直接法：Ceq\o\al（1,5）Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5）Ceq\o\al(1,4）＝70。間接法：Ceq\o\al(3，9）－Ceq\o\al（3,5)－Ceq\o\al(3,4）＝70。答案7011．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個(gè)房間內(nèi)，要求甲、乙兩人不住同一房間,且每個(gè)房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數(shù)字作答）．解析甲、乙住在同一個(gè)房間，此時(shí)只能把另外三人分為兩組，這時(shí)的方法總數(shù)是Ceq\o\al（1,3）Aeq\o\al（3，3)＝18，而總的分配方法數(shù)是把五人分為三組再進(jìn)行分配，方法數(shù)是eq\f（C\o\al(1，5）C\o\al（2，4)C\o\al(2，2），A\o\al（2，2））Aeq\o\al（3,3）＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種．答案7212．某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車必須參加,且甲車要先于乙車開出有________種不同的調(diào)度方法（填數(shù)字)．解析先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有Ceq\o\al（2，5）種選法，連同甲、乙共4輛車,排列在一起,選從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有Ceq\o\al(2,4）種，最后，安排其他兩輛車共有Aeq\o\al(2,2）種方法，∴不同的調(diào)度方法為Ceq\o\al(2，5）·Ceq\o\al（2,4)·Aeq\o\al（2，2）＝120種．答案120三、解答題13．有六名同學(xué)按下列方法和要求分組，各有不同的分組方法多少種？(1)分成三個(gè)組,各組人數(shù)分別為1、2、3；（2）分成三個(gè)組去參加三項(xiàng)不同的試驗(yàn),各組人數(shù)分別為1、2、3；（3）分成三個(gè)組，各組人數(shù)分別為2、2、2；(4）分成三個(gè)組去參加三項(xiàng)不同的試驗(yàn)，各組人數(shù)分別為2、2、2；(5）分成四個(gè)組，各組人數(shù)分別為1，1,2，2；(6)分成四個(gè)組去參加四項(xiàng)不同的活動，各組人數(shù)分別為1、1、2、2.解析(1）即Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（2，5)Ceq\o\al(3,3)＝60.(2）即Ceq\o\al（1,6）Ceq\o\al（2，5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3，3）＝60×6＝360.（3)即eq\f(C\o\al(2，6)C\o\al(2,4）C\o\al(2,2）,A\o\al（3,3)）＝15.(4)即Ceq\o\al(2,6）Ceq\o\al(2，4）Ceq\o\al(2,2）＝90。(5)即eq\f(C\o\al（1,6）C\o\al（1,5）,A\o\al（2,2)）·eq\f(C\o\al（2,4)C\o\al（2，2），A\o\al（2，2）)＝45.（6）Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4）Ceq\o\al(2，2）＝180。14．要從5名女生,7名男生中選出5名代表，按下列要求,分別有多少種不同的選法？（1)至少有1名女生入選;(2)至多有2名女生入選;(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；(5）男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．解析(1）Ceq\o\al(5，12)－Ceq\o\al(5,7)＝771;（2）Ceq\o\al(5，7）＋Ceq\o\al(1，5）Ceq\o\al（4，7)＋Ceq\o\al（2，5）Ceq\o\al(3,7)＝546；(3)Ceq\o\al（2,2）Ceq\o\al（3,10)＝120;(4）Ceq\o\al（5，12）－Ceq\o\al（2，2)Ceq\o\al(3，10）＝672；(5)Ceq\o\al（5,12）－Ceq\o\al（5，10)＝540.15．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m時(shí)pi＞pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)）,則稱pi與pj構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序數(shù)為an.如排列21的逆序數(shù)a1＝1，排列321的逆序數(shù)a2＝3，排列4321的逆序數(shù)a3＝6.(1）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；(2)令bn＝eq\f(an，an＋1）＋eq\f（an＋1，an），證明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1，2，…。解析(1）由已知條件a4＝Ceq\o\al（2,5)＝10，a5＝Ceq\o\al(2，6)＝15，則an＝Ceq\o\al(2,n＋1）＝eq\f(nn＋1，2).(2）證明bn＝eq\f（an,an＋1）＋eq\f(an＋1，an)＝eq\f（n,n＋2)＋eq\f（n＋2，n）＝2＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,n）－\f（1,n＋2））)∴b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，3）＋\f（1,2)－\f（1，4)＋\f(1，3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n－1）－\f(1,n＋1）＋\f（1，n）－\f(1，n＋2））)＝2n＋2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f（1，n＋1）－\f(1，n＋2）)）,∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3。16．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件次品,現(xiàn)對它們一一測試,直至找到所有4件次品為止．(1）若恰在第2次測試時(shí),才測試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？(2)若至多測試6次就能找到所有4件次品,則共有多少種不同的測試方法？解析（1）若恰在第2次測試時(shí)，才測到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐個(gè)抽取測試．第2次測到第一件次品有4種抽法；第8次測到最后一件次品有3種抽法;第3至第7次抽取測到最后兩件次品共有Aeq\o\al（2，5）種抽法;剩余4次抽到的是正品,共有Aeq\o\al（2,4)Aeq\o\al(2，5）Aeq\o\al（4,6