寧夏銀川一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

寧夏銀川一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.32．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定3．已知向量，，則以下說(shuō)法不正確的是（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列，，，，…，的通項(xiàng)公式可能是（）A. B.C. D.5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.7．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.19．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.10．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知橢圓方程為：，則其離心率為（）A. B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.4 B.9C.23 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項(xiàng)填空.）14．已知，，若x，a，b，y成等比數(shù)列，x，c，d，y成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)____________.15．雙曲線的離心率為_(kāi)___16．已知點(diǎn)，為拋物線：上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則的面積的最小值為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．（12分）某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)；2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn)（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；（2）在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望19．（12分）一杯100℃的開(kāi)水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開(kāi)后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）20．（12分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問(wèn)題.（1）寫(xiě)出、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）等差數(shù)列中，首項(xiàng)，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A2、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：對(duì)A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14，選項(xiàng)B錯(cuò)誤對(duì)C：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確故選：D.3、C【解析】可根據(jù)已知的和的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算向量數(shù)量積、向量的模，即可做出判斷.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，故，所以選項(xiàng)A正確；，，所以，故選項(xiàng)B正確；，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，所以，，故，所以選項(xiàng)D正確.故選：C.4、D【解析】利用數(shù)列前幾項(xiàng)排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，故選：D5、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.6、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.7、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.8、A【解析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當(dāng)直線過(guò)直線的交點(diǎn)時(shí)取最大值，即故選：9、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D10、B【解析】先分析充分性：假設(shè)特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對(duì)和進(jìn)行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設(shè)，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，成立，當(dāng)，時(shí)，不成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，當(dāng)，時(shí)，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時(shí)成立，所以必要性成立.故選：B.11、B【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定，計(jì)算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B12、C【解析】直接按程序框圖運(yùn)行即可求出結(jié)果.【詳解】初始化數(shù)值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、充分不必要【解析】由不等式的性質(zhì)可知，由得，反之代入進(jìn)行驗(yàn)證，然后根據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質(zhì)可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當(dāng)，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)，屬于較簡(jiǎn)單題型14、4【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：415、【解析】由題意得：考點(diǎn)：雙曲線離心率16、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡(jiǎn)變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）把的通項(xiàng)公式代入，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.18、（1）（2）分布列見(jiàn)解析；【解析】（1）利用組合的知識(shí)計(jì)算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】名同學(xué)中，會(huì)法語(yǔ)的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會(huì)法語(yǔ)共有種選法；選派的人中恰有人會(huì)法語(yǔ)的概率.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望為19、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)第n分鐘后的水溫為，探求出與的關(guān)系即可計(jì)算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導(dǎo)即可得證，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.(3)由(2)的結(jié)論列不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問(wèn)2詳解】由(1)知，，時(shí)，，，則有，即，而，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式是，.【小問(wèn)3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系即可推理作答.20、（1）條件選擇見(jiàn)解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，并可求得、；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項(xiàng)求和法以及等比數(shù)列求和公式可求得.【小問(wèn)1詳解】解：若選①，，且，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故；若選②，，所以，，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，故，.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法得出前項(xiàng)和為和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槌傻缺?/p>