全國(guó)100所名校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

全國(guó)100所名校2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，2．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.3．下列說(shuō)法中正確的是（）A.命題“若，則”的否命題是真命題；B.若為真命題，則為真命題；C.“”是“”的充分條件；D.若命題：“，”，則：“，”4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A. B.C. D.5．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反6．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱(chēng)該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.7．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|-|PF2|=2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為()A.雙曲線(xiàn)和一條直線(xiàn) B.雙曲線(xiàn)和一條射線(xiàn)C.雙曲線(xiàn)的一支和一條直線(xiàn) D.雙曲線(xiàn)的一支和一條射線(xiàn)8．設(shè)雙曲線(xiàn)：（，）的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線(xiàn)在第二象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于另一個(gè)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線(xiàn)平分線(xiàn)段，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.10．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）是為雙曲線(xiàn)的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點(diǎn)距點(diǎn)最近的距離為；A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)11．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.在區(qū)間上可能沒(méi)有極值點(diǎn)D.在區(qū)間上可能沒(méi)有最值點(diǎn)12．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為_(kāi)_____14．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.15．已知直線(xiàn)與圓交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別做l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=_____________.16．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)，，，其中與的交點(diǎn)為P（1）求過(guò)點(diǎn)P且與平行的直線(xiàn)方程；（2）求以點(diǎn)P為圓心，截所得弦長(zhǎng)為8的圓的方程18．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名考生的筆試成績(jī)，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號(hào)分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績(jī)較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試，則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名被甲考官面試，求這2名學(xué)生來(lái)自同一組的概率.19．（12分）（1）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，求E的漸近線(xiàn)方程；（2）已知F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，求C的方程.20．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，短軸長(zhǎng)等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求.21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖及該長(zhǎng)方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在長(zhǎng)方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由含量詞命題否定的定義，寫(xiě)出命題的否定即可【詳解】命題“，”的否定是：，，故選：D.2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值上的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令，又，所以或；所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以；又，，所以；所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.3、C【解析】A.寫(xiě)出原命題的否命題，即可判斷其正誤；B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況，由此判斷的真假；C.看命題“”能否推出“”，即可判斷；D.根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.【詳解】A.命題“若x=y，則sinx=siny”，其否命題為若“，則”為假命題，因此A不正確；B.命題“”為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題，當(dāng)二者為一真一假時(shí)，為假命題，故B不正確C.命題“若，則”為真命題，故C正確；D.命題：“，”，為特稱(chēng)命題，其命題的否定：“，”，故D錯(cuò)誤，故選：C4、C【解析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以的最小值?故選：C.5、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線(xiàn)方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線(xiàn)方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A6、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.7、D【解析】由雙曲線(xiàn)定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類(lèi)討論而得.【詳解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)的右支；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線(xiàn).故選D.故選：D8、A【解析】由給定條件寫(xiě)出點(diǎn)A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出線(xiàn)段FC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線(xiàn)列式計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線(xiàn)的半焦距為c，點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性得，線(xiàn)段FC的中點(diǎn)，因直線(xiàn)平分線(xiàn)段，即點(diǎn)D，A，B共線(xiàn)，于是有，即，即，離心率.故選：A9、D【解析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D10、A【解析】利用方程表示雙曲線(xiàn)求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對(duì)于（1），若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則，即，解得或，因?yàn)榛?，因此，是為雙曲線(xiàn)的充分不必要條件，（1）錯(cuò)；對(duì)于（2），若，則或，（2）錯(cuò)；對(duì)于（3），，則，（3）對(duì)；對(duì)于（4），設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，（4）錯(cuò).故選：A.11、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有極值點(diǎn)，所以C正確故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題12、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對(duì)應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對(duì)原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個(gè)數(shù)，第行有個(gè)數(shù)，并且數(shù)字從開(kāi)始，每次遞增.前行共有個(gè)數(shù)，第行從左向右的最后一個(gè)數(shù)是，所以第行從左向右的第個(gè)數(shù)為.故答案為：15、【解析】先求出圓心和半徑，由于半徑為2，弦|AB|=4，所以可知直線(xiàn)過(guò)圓心，從而得，求出，得到直線(xiàn)方程且傾斜角為135°，進(jìn)而可求出|CD|【詳解】圓,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線(xiàn)過(guò)圓心(1,2),∴,∴,∴直線(xiàn),傾斜角為135°,∵過(guò)A,B分別做l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),∴.故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出過(guò)P且與平行的直線(xiàn)方程；（2）根據(jù)弦心距、弦長(zhǎng)、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫(xiě)出圓的方程.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立、得：，可得，故，又的斜率為，則過(guò)P且與平行的直線(xiàn)方程，∴所求直線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長(zhǎng)為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.18、（1），，（2）第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個(gè)組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學(xué)生第三組應(yīng)抽3人，第四組應(yīng)抽2人，第五組應(yīng)抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結(jié)合概率公式得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，【小問(wèn)2詳解】三個(gè)組共有60人，所以第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人.【小問(wèn)3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機(jī)抽取2人，基本事件包含，共15個(gè)基本事件.其中2人來(lái)自同一組的情況有，共4種.所以，2人來(lái)自同一組的概率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線(xiàn)方程；（2）利用點(diǎn)在拋物線(xiàn)上及其拋物線(xiàn)的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線(xiàn)方程為.（2）∵是C上一點(diǎn)，∴①，由拋物線(xiàn)的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓頂點(diǎn)可知，又短軸長(zhǎng)等于焦距可知，求出，即可寫(xiě)出橢圓方程（2）根據(jù)“點(diǎn)差法”可求直線(xiàn)的斜率，寫(xiě)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓方程可得，，代入弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】（1）依題意，解得.故橢圓方程為.（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)的斜率顯然存在，設(shè)斜率為，則，兩式相減得，整理得.因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，則，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，“點(diǎn)差法”，弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.可根據(jù)題意寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量和的坐標(biāo)，點(diǎn)到平面的距離.計(jì)算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來(lái)，平面與平面夾角的余弦值為，計(jì)算即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由于正方體的棱長(zhǎng)為2和，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)知，.設(shè)平面的法