遼寧省丹東市鳳城市2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

遼寧省丹東市鳳城市2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．展開式中第3項的二項式系數(shù)為（）A.6 B.C.24 D.2．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．已知，則“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.5．關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C.或 D.6．若，則的虛部為（）A. B.C. D.7．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.8．橢圓的兩焦點之間的距離為A. B.C. D.9．已知F是雙曲線C：的一個焦點，點P在C的漸近線上，O是坐標(biāo)原點，，則的面積為（）A.1 B.C. D.10．設(shè)雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．對數(shù)的創(chuàng)始人約翰·奈皮爾（JohnNapier，1550-1617）是蘇格蘭數(shù)學(xué)家．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，人們才認(rèn)識到指數(shù)與對數(shù)之間的天然關(guān)系對數(shù)發(fā)現(xiàn)前夕，隨著科技的發(fā)展，天文學(xué)家做了很多的觀察，需要進行很多計算，特別是大數(shù)的連乘，需要花費很長時間．基于這種需求，1594年，奈皮爾運用了獨創(chuàng)的方法構(gòu)造出對數(shù)方法．現(xiàn)在隨著科學(xué)技術(shù)的需要，一些冪的值用數(shù)位表示，譬如，所以的數(shù)位為4．那么的數(shù)位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.60712．繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺 B.圓臺或兩個圓錐的組合體C.圓錐或兩個圓錐的組合體 D.圓柱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______.14．如圖，已知正方形邊長為，長方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______15．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.16．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時的邊長.18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B.（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由20．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知橢圓的左，右焦點為，橢圓的離心率為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點T為橢圓C上的點，若點T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請求之；若不為定值，請說明理由22．（10分）已知圓內(nèi)有一點，過點作直線交圓于、兩點（1）當(dāng)經(jīng)過圓心時，求直線的方程；（2）當(dāng)弦的長為時，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數(shù)為.故選：A.2、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.3、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A.4、C【解析】設(shè)直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因為直線的斜率是，可得，又因為，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.5、C【解析】求出不等式對應(yīng)方程的根，結(jié)合不等式和二次函數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】不等式對應(yīng)方程的兩根為，因為，故可得，根據(jù)二次不等式以及二次函數(shù)的關(guān)系可得不等式的解集為或.故選：C.【點睛】本題考查含參二次不等式的求解，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡，由復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因為，所以的虛部為，故選：A7、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計算8、C【解析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長半軸的長為,那么可知兩個焦點的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點之間的距離為，故選C考點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)點評：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】根據(jù)給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B10、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.11、D【解析】根據(jù)已知條件，設(shè)，則，求出t的范圍，即可判斷其數(shù)位.【詳解】設(shè)，則，則，則，，的數(shù)位是607.故選：D.12、C【解析】討論是按直角邊旋轉(zhuǎn)還是按斜邊旋轉(zhuǎn)【詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉(zhuǎn)可得下圖的兩個圓錐的組合體：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長方形可得，因為平面與平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：15、【解析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設(shè)（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用，點面距離的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當(dāng)矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長【解析】先設(shè)出點坐標(biāo)，進而表示出矩形的面積，通過求導(dǎo)可求出其最大面積.【詳解】設(shè)點，那么矩形面積，.令解得（負(fù)舍）.所以S在（0，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞；..所以當(dāng)時，S有最大值.此時答：當(dāng)矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長.18、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解【小問1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據(jù)輔助角公式，可得，∵，∴，即，故.選擇條件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，則.在中，，∴.故.選擇條件③由，得，即，整理得，由于，則方程無解，故不存在這樣的三角形.19、（1）證明見解析（2）（3）存在點，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為為正方形，所以又因為平面平面，且平面平面，所以平面平面所以；【小問2詳解】由（1）可知，平面，所以，因為，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因為，，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則,即令，則，；所以設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以設(shè)平面的一個法向量為，則，因為，所以令，則，所以在線段上存在點，使得平面等價于存在，使得因為，由，所以，解得，所以線段上存在點，使得平面，且20、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結(jié)合證得，由此證得平面.（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，.（1）證明法一：因為，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.證明法二：因為平面，平面，所以，又因為，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）直線的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小問1詳解】由題意，則，又，所以橢圓C方程為，代入有，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題設(shè)易知：，法一：設(shè)直線為，由，消去y，整理得，因為方程有一個根為，所以M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，故M為，用代替k，得N為，所以，故直線的斜率為定值法二：由已知直線的斜率存在，可設(shè)直線為，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，則直線過點T，不合題意，所以．即