內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特前旗一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特前旗一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設(shè)橢圓的方程為，則下列滿足題意的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)函數(shù)，則和的值分別為（）A.、 B.、C.、 D.、3．平面上動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓4．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.5．求點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.6．已知向量，，若，則（）A.1 B.C. D.27．在長方體中，（）A. B.C. D.8．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（）A. B.C.2 D.39．棱長為1的正四面體的表面積是（）A. B.C. D.10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.11．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.12．設(shè)，，則與的等比中項(xiàng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.14．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______.15．若把英語單詞“”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤有______種16．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).18．（12分）已知過點(diǎn)的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求的最小值，并寫出取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（12分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若關(guān)于x的不等式恒成立，試求a的取值范圍22．（10分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為線段，的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長分別為，由矩形面積為48，得，對于選項(xiàng)B，D由于，不符合條件，不正確.對于選項(xiàng)A，，滿足題意.對于選項(xiàng)C，不正確.故選：A.2、D【解析】求得，即可求得、的值.【詳解】，則，則，故，.故選：D.3、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用距離公式化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程，即可得出動點(diǎn)的軌跡圖形.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：A.4、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項(xiàng).【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；故選：B5、D【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)特征，直接寫出即可.【詳解】A點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)為原坐標(biāo)的相反數(shù)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D6、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模長公式求解模長.【詳解】由，則，即則，所以則故選：B7、D【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，帶入化簡得到答案.【詳解】在長方體中，易知，所以.故選：D.8、A【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A9、D【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)邊長，結(jié)合正四面體的概念，計算出正三角形的面積，可得結(jié)果【詳解】如圖由正四面體的概念可知，其四個面均是全等的等邊三角形，由其棱長為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：D10、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)11、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A12、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與的等比中項(xiàng)為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：14、2或10【解析】求出在處的導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【詳解】令，，則，，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.15、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.【詳解】因?yàn)椤啊彼膫€字母組成的全排列共有（種）結(jié)果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現(xiàn)錯誤的共有（種）.故答案為：23.16、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時函數(shù)沒有零點(diǎn)；或時函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，從而可得答案【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點(diǎn)，由，得.令，則.或時，，時，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時取極小值，又當(dāng)時，.所以時，關(guān)于的方程無解，或時關(guān)于的方程只有一個解，時，關(guān)于的方程有兩個不同解.因此，時函數(shù)沒有零點(diǎn)，或時函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是由，得，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點(diǎn)情況，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題18、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點(diǎn)和弦長列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)圓心，因?yàn)閥軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時等號成立，因?yàn)?，則直線的方程為，即，令，得，則19、（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出表達(dá)式，解出公比和公差，再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項(xiàng)公式的求法求出通項(xiàng)即可；（2）根據(jù)第一問得到前n項(xiàng)和，數(shù)列,分組求和即可.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.20、（1）（2），【解析】（1）由，計算出公差，再寫出通項(xiàng)公式即可.（2）直接用公式寫出，配方后求出最小值.【小問1詳解】設(shè)公差為，由得，從而，即又，【小問2詳解】由（1）的結(jié)論，，，當(dāng)時，取得最小值.21、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分離參數(shù)法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】，恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范圍是.22、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)