人教版高中物理新教材同步講義 選擇性必修第一冊 第2章 3　簡諧運動的回復力和能量（含解析）

3簡諧運動的回復力和能量[學習目標]1.理解回復力的概念，知道回復力在機械振動中的特征(重點)。2.會用動力學方法分析簡諧運動中位移、回復力、速度、加速度的變化規(guī)律(重點)。3.會用能量守恒的觀點分析水平彈簧振子在振動過程中動能、勢能、總能量的變化規(guī)律(重難點)。一、簡諧運動的回復力如圖所示為水平方向的彈簧振子模型。(1)當小球離開O點后，是什么力使其回到平衡位置的？(2)使小球回到平衡位置的力與小球離開平衡位置的位移的大小及方向有何關系？答案(1)彈簧的彈力使小球回到平衡位置。(2)彈簧彈力與位移大小成正比，方向與位移方向相反。1．回復力(1)定義：使振動物體回到平衡位置的力。(2)方向：總是指向平衡位置。(3)表達式：F＝－kx。式中“－”號表示F與x方向相反。2．簡諧運動理論上可以證明，如果物體所受的力具有F＝－kx的形式，物體就做簡諧運動。也就是說：如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，物體的運動就是簡諧運動。在勁度系數(shù)為k，原長為L0的固定于一點的彈簧下端掛一質量為m的小球，釋放后小球做上下振動，彈簧始終沒有超出彈性限度，小球的振動是簡諧運動嗎？如果是，什么力充當回復力？答案規(guī)定向下為正方向，在平衡位置b點，有mg＝kx0，小球在c點受到的彈力大小為F′＝k(x＋x0)，小球在c點的回復力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x0)＝mg－kx－kx0＝－kx，回復力滿足F＝－kx，是簡諧運動。彈簧彈力和重力的合力充當回復力。1．回復力的性質回復力是根據(jù)力的效果命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供。它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力。例如：如圖甲所示，水平方向的彈簧振子，彈簧彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈簧彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，在光滑地面上質量為m的木塊隨質量為M的滑塊一起振動，木塊的回復力由靜摩擦力提供。2．簡諧運動的回復力公式中，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定，與振幅無關。例如丙圖中，木塊做簡諧運動的回復力F＝－eq\f(mk0,M＋m)x＝－kx，其中比例系數(shù)k和彈簧的勁度系數(shù)k0不同。3．簡諧運動的加速度由F＝－kx及牛頓第二定律F＝ma可知：a＝－eq\f(k,m)x，加速度a與位移x的大小成正比，方向與位移方向相反。(1)小球做簡諧運動，它的位移方向和加速度的方向相反。(√)(2)回復力的大小與速度的大小無關，速度增大時，回復力可能增大，也可能減小。(×)例1(多選)如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做往復運動，下列說法正確的是()A．彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用B．彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用C．小球由A向O運動過程中，回復力逐漸增大D．小球由O向B運動過程中，回復力的方向指向平衡位置答案AD解析彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力，回復力是根據(jù)效果命名的力，它是由物體受到的具體的力所提供的，在此情景中彈簧的彈力充當回復力，故A正確，B錯誤；回復力與位移的大小成正比，由A向O運動過程中位移在減小，故此過程回復力逐漸減小，故C錯誤；回復力總是指向平衡位置，故D正確。例2(多選)如圖所示，物體m系在兩水平彈簧之間，兩彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，兩彈簧均處于自然伸長狀態(tài)，今向右拉動m，然后釋放，物體在B、C間振動(不計阻力)，O為平衡位置，則下列判斷正確的是()A．m做簡諧運動，OC＝OBB．m做簡諧運動，OC≠OBC．回復力F＝－kxD．回復力F＝－3kx答案AD解析以O點為原點，水平向右為x軸正方向，物體在O點右方x處時所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物體做簡諧運動，由對稱性可知，OC＝OB，故A、D正確。判斷振動物體是否做簡諧運動的方法1．振動物體的回復力滿足F＝－kx；2．振動物體的位移x與時間t滿足x＝Asin(eq\f(2π,T)t＋φ)函數(shù)關系；3．振動物體的振動圖像是正弦曲線。二、簡諧運動的能量如圖所示為水平彈簧振子，小球在A、B之間做往復運動。(1)從A到B的運動過程中，小球的動能如何變化？彈簧彈性勢能如何變化？振動系統(tǒng)的總機械能是否變化？(2)如果使小球振動的振幅增大，小球回到平衡位置的動能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能是否增大？振動系統(tǒng)的機械能的大小與什么因素有關？答案(1)小球的動能先增大后減?。粡椈傻膹椥詣菽芟葴p小后增大；總機械能保持不變。(2)小球回到平衡位置的動能增大；振動系統(tǒng)的機械能增大；振動系統(tǒng)的機械能與彈簧的勁度系數(shù)和振幅有關。1．能量轉化彈簧振子運動的過程就是動能和勢能互相轉化的過程。(1)在最大位移處，勢能最大，動能為零。(2)在平衡位置處，動能最大，勢能最小。2．能量特點在簡諧運動中，振動系統(tǒng)的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種理想化的模型。3．對于彈簧的勁度系數(shù)和小球質量都一定的系統(tǒng)，振幅越大，機械能越大。如圖所示，A、B兩個物體與輕質彈簧組成的系統(tǒng)在光滑水平面上M、N兩點間做簡諧運動，A、B間無相對運動，平衡位置為O。(1)當物體運動到M點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大動能有什么變化？(2)當物體運動到O點時拿走A物體，振動系統(tǒng)的最大彈性勢能有什么變化？答案(1)不變，在M點時，系統(tǒng)的動能為零，彈性勢能最大，拿走A物體后，振動系統(tǒng)的彈性勢能不變，總能量不變，最大動能也不發(fā)生變化。(2)變小，在O點時彈簧彈性勢能為零，振動系統(tǒng)的動能最大，拿走A物體后，振動系統(tǒng)的最大動能減小，總能量減小，最大彈性勢能也將減小。1．簡諧運動的能量由振動系統(tǒng)和振幅決定，對同一個振動系統(tǒng)，振幅越大，能量越大。2．在振動的一個周期內，動能和勢能完成兩次周期性變化。物體的位移減小，勢能轉化為動能，位移增大，動能轉化為勢能。(1)在簡諧運動中，任意時刻的動能與勢能之和保持不變。(√)(2)振幅越大的彈簧振子，系統(tǒng)機械能也一定越大。(×)(3)物體在向平衡位置運動時，由于物體振幅減小，故總機械能減小。(×)例3(多選)在光滑斜面上的物塊A被平行于斜面的輕彈簧拉住靜止于O點，如圖所示?，F(xiàn)將物塊A沿斜面拉到B點無初速度釋放，物塊A在B、C范圍內做簡諧運動，則下列說法正確的是()A．OB越長，系統(tǒng)的機械能越大B．在運動過程中，物塊A的機械能守恒C．物塊A與輕彈簧構成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在O點時最小D．物塊A與輕彈簧構成的系統(tǒng)的勢能，當物塊A在C點時最大，當物塊A在B點時最小答案AC解析做簡諧運動的物體的機械能跟振幅有關，對確定的振動系統(tǒng)，振幅越大，系統(tǒng)的機械能越大，A正確；在簡諧運動中，系統(tǒng)機械能守恒，但物塊A的重力勢能與動能總和不斷變化，物塊A的機械能不守恒，B錯誤；在簡諧運動中，系統(tǒng)在最大位移處勢能最大，在平衡位置處動能最大，勢能最小，C正確，D錯誤。例4如圖所示為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，由圖像可知()A．在0.1s時，由于位移為零，所以彈簧振子的能量為零B．在0.2s時，彈簧振子具有最大勢能C．在0.35s時，彈簧振子的能量尚未達到最大值D．在0.4s時，振子的動能最大答案B解析彈簧振子做簡諧運動，彈簧振子的能量不變，不為零，選項A錯；在0.2s時位移最大，彈簧振子具有最大勢能，選項B對；彈簧振子的能量不變，在0.35s時彈簧振子的能量與其他時刻相同，選項C錯；在0.4s時振子的位移最大，動能為零，選項D錯。三、簡諧運動中各物理量的變化如圖所示的彈簧振子，O為平衡位置，B、C為最大位移位置，以向右的方向為正方向，則振子從B運動到O的過程中，位移方向為________，大小逐漸________；回復力方向為________，大小逐漸________；振子速度方向為________，大小逐漸________；動能逐漸________；勢能逐漸______。(均選填“正”“負”“增大”或“減小”)答案正減小負減小負增大增大減小1.如圖所示為水平的彈簧振子示意圖。(1)當小球遠離平衡位置過程中，位移增大，回復力、加速度和勢能增大，速度和動能減??；當小球靠近平衡位置過程中，位移減小，回復力、加速度和勢能減小，速度和動能增大。(2)當小球位于A′到O點之間時，位移方向向左，回復力和加速度方向均向右；當小球位于O到A點之間時位移方向向右，回復力和加速度方向均向左；A′→O→A過程中，速度方向向右，A→O→A′過程中，速度方向向左。2．說明：(1)簡諧運動中各個物理量對應關系不同。位置不同，則位移不同，加速度、回復力不同，但是速度、動能、勢能可能相同，也可能不同，關鍵看各矢量的方向性。(2)簡諧運動中的最大位移處，F(xiàn)、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置處，F(xiàn)＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。(1)當做簡諧運動的物體的位移減小時，其速度和加速度的方向一定相同。(√)(2)當做簡諧運動的物體的速度變化最快時，其動能最大。(×)(3)當做簡諧運動的物體的加速度與速度反向時，其回復力正在減小。(×)(4)在做簡諧運動的物體的動能相等的兩個時刻，其加速度一定相同。(×)例5(多選)一個彈簧振子做簡諧運動的周期為T，設t1時刻小球不在平衡位置，經(jīng)過一段時間到t2時刻，小球的速度與t1時刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)<eq\f(T,2)，如圖所示，則()A．t2時刻小球的加速度一定跟t1時刻的加速度大小相等、方向相反B．在t1～t2時間內，小球的加速度先減小后增大C．在t1～t2時間內，小球的動能先增大后減小D．在t1～t2時間內，彈簧振子的機械能先減小后增大答案ABC解析由題圖可知t1、t2時刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正確；在t1～t2時間內回復力先減小后增大，所以小球的加速度先減小后增大，B正確；在t1～t2時間內，小球的速度先增大后減小，所以動能先增大后減小，C正確；簡諧運動的機械能守恒，D錯誤。分析簡諧運動中各物理量變化情況的技巧1．分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁，位移增大時，回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減??；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時改變方向。2．分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性。位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定。課時對點練考點一簡諧運動的回復力1．(2022·湖北宜都二中期中)關于簡諧運動所受的回復力，下列說法正確的是()A．回復力一定是彈力B．回復力大小一定與位移大小成正比，且兩者方向相同C．回復力一定是物體所受的合力，大小與位移成正比，方向與位移方向相反D．回復力的方向一定指向平衡位置答案D解析回復力不一定是彈力，也不一定是物體所受的合力，故A、C錯誤；回復力大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，一定指向平衡位置，故B錯誤，D正確。2．對于彈簧振子的回復力和位移的關系，下列圖中正確的是()答案C解析由簡諧運動的回復力公式F＝－kx可知，C正確?？键c二簡諧運動的能量3.把一個小球套在光滑細桿上，球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡諧運動，平衡位置為O，小球在A、B間振動，如圖所示。下列結論正確的是()A．小球在O位置時，動能最大，加速度最小B．小球在A、B位置時，動能最大，加速度最大C．小球從A經(jīng)O到B的過程中，回復力一直做正功D．小球在O位置時系統(tǒng)的總能量大于小球在B位置時系統(tǒng)的總能量答案A解析小球在平衡位置時動能最大，加速度為零，A正確；小球在A、B位置時，動能最小，加速度最大，B錯誤；小球靠近平衡位置時，回復力做正功，遠離平衡位置時，回復力做負功，C錯誤；在小球振動過程中系統(tǒng)的總能量不變，D錯誤。4.如圖所示，由輕質彈簧下面懸掛一物塊組成一個豎直方向振動的彈簧振子，彈簧的上端固定于天花板上，當物塊處于靜止狀態(tài)時，取它的重力勢能為零，現(xiàn)將物塊向下拉一小段距離后放手，此后彈簧振子在平衡位置附近上下做簡諧運動，不計空氣阻力，則()A．彈簧振子速度最大時，振動系統(tǒng)的勢能為零B．彈簧振子速度最大時，物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能相等C．彈簧振子經(jīng)平衡位置時，振動系統(tǒng)的勢能最小D．彈簧振子在振動過程中，振動系統(tǒng)的機械能不守恒答案C解析當彈簧振子在平衡位置時的速度最大，此時的重力勢能為零，但是彈簧的彈性勢能不為零，故振動系統(tǒng)的勢能不為零，A錯誤；在平衡位置時，物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能不相等，B錯誤；因為只有重力和彈簧彈力做功，則彈簧振子的動能、重力勢能及彈簧的彈性勢能總和保持不變，振動系統(tǒng)的機械能守恒，D錯誤；彈簧振子在平衡位置時動能最大，故振動系統(tǒng)的勢能最小，C正確?？键c三簡諧運動中各物理量的變化5．(2022·杭州市期中)如圖所示，彈簧振子在B、C兩點間做無摩擦的往復運動，O是振子的平衡位置，細桿水平。則振子()A．從B向O運動過程中動能一直變小B．從O向C運動過程中加速度一直變小C．從B經(jīng)過O向C運動過程中速度一直變大D．從C經(jīng)過O向B運動過程中彈性勢能先減小后增大答案D解析因O點是平衡位置，則從B向O運動過程中速度一直變大，動能一直變大，選項A錯誤；從O向C運動過程中，離開平衡位置的位移變大，回復力變大，則加速度變大，選項B錯誤；在平衡位置O時速度最大，則從B經(jīng)過O向C運動過程中速度先變大后減小，選項C錯誤；在O點時彈性勢能為零，則從C經(jīng)過O向B運動過程中彈性勢能先減小后增大，選項D正確。6.一質點做簡諧運動，其振動圖像如圖所示，在t1和t2時刻的位移為x1＝x2＝7cm，在t3時刻的位移為x3＝－5cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分別表示t1、t2、t3時刻質點振動速度大小和加速度大小，則以下關系正確的是()A．v1＝v2＞v3a1＝a2＞a3B．v1＝v2＜v3a1＝a2＜a3C．v1＝v2＞v3a1＝a2＜a3D．v1＝v2＜v3a1＝a2＞a3答案D解析由題圖可知，t1和t2時刻的位移大小相等且大于t3時刻的位移的大小，所以t1、t2、t3時刻的勢能關系為Ep1＝Ep2＞Ep3，根據(jù)機械能守恒定律，相應三個時刻的動能關系為：Ek1＝Ek2＜Ek3，則v1＝v2＜v3；加速度大小與振子的位移大小成正比，由a＝eq\f(kx,m)可知，a1＝a2＞a3，故選D。7．(2023·石家莊市辛集中學月考)如圖所示是彈簧振子在0～0.4s時間內做簡諧運動的圖像，由圖像可知()A．在0.25～0.3s時間內，回復力越來越小B．t＝0.7s時刻，振子的速度最大C．彈簧振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.4sD．彈簧振子的動能和勢能相互轉化的周期為0.2s答案D解析在0.25～0.3s時間內，振子的位移增大，回復力越來越大，故A錯誤；由題圖可知，該振子的周期為0.4s，則振子在t＝0.7s時的情形與t＝0.3s時相同，且t＝0.3s時，振子位移最大，可知在t＝0.7s時刻振子的位移最大，速度為零，故B錯誤；彈簧振子動能與勢能相互轉化的周期等于簡諧運動周期的一半，即0.2s，故C錯誤，D正確。8.如圖所示，一輕質彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時所處位置為坐標原點O，向下為正方向，建立Ox坐標軸?，F(xiàn)將物塊豎直向下拉到A位置后由靜止釋放，不計空氣阻力。已知物塊的質量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，A位置的坐標為x1，重力加速度為g。下列說法正確的是()A．該簡諧振動的振幅為2x1B．在任意eq\f(1,4)周期內物塊通過的路程一定等于x1C．物塊在A位置時的回復力大小為kx1D．物塊在A位置的回復力大小為kx1－mg答案C解析該簡諧振動的振幅為x1，A錯誤；物塊運動過程中，其速度是不同的，只有從平衡位置或最大位移處開始運動eq\f(1,4)周期的路程等于x1，B錯誤；物塊在O位置時受力平衡，有kx0＝mg，x0為彈簧伸長量，在A位置時的回復力大小為F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正確，D錯誤。9．(多選)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知水平輕質彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B的質量分別為m和M，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A．物體A的回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的B．滑塊B的回復力是由彈簧的彈力提供的C．物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復力大小跟位移大小之比為kD．若A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為eq\f(μm＋Mg,k)答案ACD解析物體A做簡諧運動時，回復力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的，故A正確；滑塊B做簡諧運動的回復力是由彈簧的彈力和A對B的靜摩擦力的合力提供的，故B錯誤；物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復力滿足F＝－kx，則回復力大小跟位移大小之比為k，故C正確；當A、B之間的摩擦力達到最大靜摩擦力時，其振幅最大，設為A，以整體為研究對象有：kA＝(M＋m)a，以物體A為研究對象，由牛頓第二定律得：μmg＝ma，聯(lián)立解得A＝eq\f(μm＋Mg,k)，故D正確。10．(2022·吉林高二期末)已知光滑水平面上做簡諧運動的彈簧振子的系統(tǒng)總能量表達式為E＝eq\f(1,2)kA2，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，A為簡諧運動的振幅。若振子質量為0.5kg，彈簧的勁度系數(shù)為20N/m.起振時系統(tǒng)具有勢能0.06J和動能0.04J，則下列說法正確的是()A．該振動的振幅為0.01mB．振子經(jīng)過平衡位置時的速度為0.2m/sC．振子的最大加速度為4m/s2D．若振子在位移最大處時，質量突變?yōu)?.15kg，則振幅變大答案C解析彈簧振子振動過程中系統(tǒng)機械能守恒，則有eq\f(1,2)kA2＝0.06J＋0.04J＝0.1J，代入數(shù)據(jù)得到A＝0.1m，A錯誤；振子經(jīng)過平衡位置時，動能為eq\f(1,2)mv2＝0.1J，代入數(shù)據(jù)得到v＝eq\f(\r(10),5)m/s，B錯誤；由牛頓第二定律可知，振子的最大加速度為a＝eq\f(kA,m)＝eq\f(20×0.1,0.5)m/s2＝4m/s2，C正確；振子在位移最大處時，速度為零，動能為零，故質量突變?yōu)?.15kg，不影響系統(tǒng)的機械能，故振幅不變，D錯誤。11．(20