數(shù)值方法-習(xí)題及答案匯總 劉智永 第1-9章 插值與逼近-無網(wǎng)格方法

第一章插值與逼近1.設(shè)給定三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)試求三次多項(xiàng)式P(x)，使其滿足插值條件。并估計(jì)插值余項(xiàng)。答案：略。2.設(shè)給定三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)試求四次多項(xiàng)式P(x)，使其滿足插值條件。并估計(jì)插值余項(xiàng)。答案：略。3.假設(shè)是對(duì)應(yīng)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange基函數(shù)，證明答案：略。4.在[0，π/2]區(qū)間上分別選取5,10,15,20個(gè)等距節(jié)點(diǎn)對(duì)函數(shù)sinx做Lagrange插值，并由Lagrange插值余項(xiàng)分別計(jì)算其最大誤差。答案：略。5.考慮四個(gè)節(jié)點(diǎn)x0，的Newton插值多項(xiàng)式N3答案：略。6.已知構(gòu)造基于節(jié)點(diǎn)的差商表并寫出基于這些節(jié)點(diǎn)的Newton插值多項(xiàng)式N4(x)。答案：略。7.函數(shù)若滿足則稱其為完全單調(diào)的，試討論下列函數(shù)的完全單調(diào)性:答案：略，8.給定區(qū)域[0，1]2內(nèi)的25個(gè)Halton節(jié)點(diǎn)如表1-4所示（1）用Gaussian徑向函對(duì)目標(biāo)f(x,y)進(jìn)行散亂數(shù)據(jù)插值實(shí)驗(yàn)，其中取并分別選取觀察插值誤差（取L∞誤差）變化情況，觀察插值矩陣條件數(shù)的變化規(guī)律。答案：略。（2）固定ε=2.5，在Gaussian徑向函數(shù)中取觀察p=1，2，3，4時(shí)插值誤差的變化情況。答案：略。（3）固定ε=2.5，取比較Gaussian函數(shù)、IMQ函數(shù)、MQ函數(shù)的插值誤差。答案：略。（4）固定ε=2.5，取繪制Gaussian函數(shù)的Cardinal基函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)(0.5,0.5)處的函數(shù)圖像。答案：略。9.已知Ω?R，假設(shè)是一個(gè)正定的徑向函數(shù)證明答案：略。10.假設(shè)是兩個(gè)正定的徑向函數(shù)，證明也是正定的。（提示:用Schur定理。）答案：略。11.求下列函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的線性最佳一致逼近多項(xiàng)式答案：略。12.求區(qū)間[0,1]上函數(shù)的二次最佳平方近多項(xiàng)式。答案：略。第二章數(shù)值微分與數(shù)值積分1.對(duì)做Taylor展開，求逼近f(3)(x)與f答案：略。2.用隱式求導(dǎo)公式給出下列定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)的近似一階導(dǎo)數(shù)值。答案：略。3.給定剖分步長(zhǎng)為h的一組節(jié)點(diǎn)用插值求導(dǎo)方法推導(dǎo)答案：略。4.設(shè)函數(shù)證明定理2.1和定理2.2。答案：略。5.設(shè)函數(shù)證明定理2.3和定理2.5。答案：略。6.證明Cotes系數(shù)滿足答案：略。7.給定[a，b]區(qū)間上的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)證明存在難一的常數(shù)滿足答案：略。8.給定如下樣本數(shù)據(jù):（1）按照如下方式，并使用中心公式計(jì)算定積分答案：略。（2）按照如下兩種方式，并分別使用梯形公式計(jì)算定積分答案：略。（3）按照如下方式并使用Simpson公式計(jì)算定積分答案：略。（4）構(gòu)造中心差分格式求導(dǎo)數(shù)值答案：略。（5）取編號(hào)為2,4,6,8,10的五組數(shù)據(jù)用五點(diǎn)公式求導(dǎo)數(shù)值答案：略。9.使用截?cái)嘀笖?shù)函數(shù)做最佳平方近。f(x)=ex定義區(qū)間[0，1]上，選取試探函數(shù)空間為其中（1）對(duì)系數(shù)矩陣和右端向量的元素采用兩點(diǎn)Gauss求積公式進(jìn)行近似計(jì)算寫出代數(shù)方程組。其中，矩陣元素為右端向量元素為答案：略。（2）求解3x3的線性方程組，定近函數(shù)的系數(shù)c1答案：略。10.選取合適的步長(zhǎng)h用復(fù)合中點(diǎn)公式、復(fù)合梯形公式、復(fù)合Simpson公式計(jì)算定積分使其截?cái)嗾`差小于10?4。答案：略。第三章求解線性方程組1.證明定理3.1及定理3.2。答案：略。2.證明:若矩陣范數(shù)||A||<1，則答案：略。3.己知Ax=b，給出系數(shù)矩陣A的LU分解，并求解方程組，這里答案：略。4.使用LU分解求解Ax=b，其中答案：略。5.使用Cholesky分解求解下述對(duì)稱正定方程組答案：略。6.使用Cholesky分解求解下述對(duì)稱正定方程組答案：略。7.利用Givens變換將上Hessenberg矩陣化簡(jiǎn)為上三角矩陣并給出MATLAB程序。答案：略。8.已知求Householder矩陣，使得答案：略。9.采用Householder變換對(duì)A進(jìn)行QR分解其中答案：略。10.記為矩陣A的每一列，利用OR分解證明答案：略。11.取初值試用Jacobi選代、Gauss-Seidel選代以及SOR選代（取最佳松馳子）分別求解線性方程組迭代過程保留5位有效數(shù)字在理論上別這三個(gè)代格式的收斂性。答案：略。12.取初值試用Jacobi選代、Gauss-Seidel迭代以及SOR迭代（取最佳松馳因子）分別求解線性方程組迭代過程保留5位有效數(shù)字答案：略。13.證明定理3.5及定理3.6。答案：略。14.證明定理3.7及定理3.8。答案：略。15.對(duì)于線性方程組Ax=b，其中A對(duì)正定（設(shè)A的特值滿足0<α≤λ(A)≤β答案：略。16.試用最速下降法和共扼梯度方法求解下述線性方程組取初值為使得最終選代誤差達(dá)到并給出選代步數(shù)及迭代解。答案：略。17.令為對(duì)稱正定矩陣，給定證明有唯一的最小值點(diǎn)恰是線性方程組的解。答案：略。18.利用共梯度方法求解Ax=b編輸入維n，其中答案：略。第四章求解非線性方程組1.已知在區(qū)間[1，2]有一個(gè)零點(diǎn)，試用二分法給出近似解及迭代次數(shù)，誤差精度控制答案：略。2.用二分法求解方程在區(qū)間（1，2）上誤差小于10?5的根以及代次數(shù)，使其精確到0.001。答案：略。3.已知在區(qū)間[1，2]上有一個(gè)零點(diǎn)，分別用函數(shù)迭代求解并比較收斂情況。答案：略。4.證明不動(dòng)點(diǎn)迭代方法的誤差估計(jì)。答案：略。5.證明：對(duì)任意初值x0，所生產(chǎn)的序列xn都收于方程x=sin答案：略。6.利用Newton迭代法解二次方程然后求61。（提示：xk+1=答案：略。7.利用Newton迭代法和割線法求解區(qū)間[1，2]上的零根，給出迭代5步的結(jié)果。答案：略。8.給定非線性方程組取初值時(shí)，利用Jacobi選代、Gauss-Seidel選代和SOR選代（ω取為1.1）進(jìn)行求解，相鄰兩次迭代誤差精度控制為10?4。答案：略。9.給定非線性方程組取初值時(shí)，利用Jacobi選代、Gauss-Seidel選代和SOR選代進(jìn)行求解兩次代誤差精度控制為10?5。答案：略。10.利用Newton迭代法和Broyden迭代法求解非線性方程組（1）（2）分別取不同的初值進(jìn)行編程求解，迭代誤差精度控制為10?5，并比較選代次數(shù)和收斂速度答案：（1）略。（2）略。11利用Newton選代法和Broyden選代法求解非線性方程組（1）給定初值x1=15，x（2）給定初值選代誤差精度控制為10?5。答案：（1）略。（2）略。第五章矩陣特征值計(jì)算1.證明定理5.3。答案：略。2.用乘冪法求下列矩陣的按模最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量?？刂茣r(shí)迭代停止。答案：略。3.用反冪法求下列矩陣的按模最小特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量?？刂茣r(shí)選代停止。答案：（1）略。（2）略。（3）略。（4）略。4.用QR選代近似計(jì)算下列陣的全部特征值（迭代8次后停止計(jì)算）。答案：（1）略。（2）略。（3）略。（4）略。5.假設(shè)是由乘冪法所獲得的三個(gè)向量，其滿足λ1和λ2為方程的兩個(gè)根，證明滿足特征方程答案：略。6.給定三對(duì)角矩陣用乘冪法和反冪法求該矩陣的最大與最小特征值,并近似計(jì)算矩陣A的條件數(shù)答案：略。7.給定可逆矩陣判斷該矩陣的逆矩陣是否可以進(jìn)行LU分解，并對(duì)該矩陣進(jìn)行QR選代求其全部特征值。答案：略。8.假設(shè)試證明答案：略。第六章常微分方程數(shù)值方法1.用向前歐拉方法、向后歐拉方法以及改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題在區(qū)間[0,1]上的數(shù)值解，其中取步長(zhǎng)h=0.1。答案：略。2.用向前歐拉方法、向后歐拉方法以及改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題在區(qū)間[0，1]上的數(shù)值解，其中取步長(zhǎng)h=0.1。答案：略。3.給出用向前歐拉方法、向后歐拉方法以及改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題時(shí)的絕對(duì)穩(wěn)定域以及對(duì)步長(zhǎng)的限制。答案：略。4.給出歐拉方法的精度分析過程。答案：略。5.用向前歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和三級(jí)三階顯式Kutta方法數(shù)值求解初值問題其中精確解為比較三種方法的誤差和精度。答案：略。6分析給出式(6-1)的向后歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。答案：略。7.給出下述二步方法的絕對(duì)穩(wěn)定域，其中答案：略。8.給出下列隱式單步法的階答案：略。9.用三級(jí)三階顯式Heun方法、四級(jí)四階古典顯式Runge-Kutta方法和四級(jí)四階顯式Kutta方法求解初值問題比較三種方法的誤差和精度。答案：略。10.以初值問題為例編程求解并比較三級(jí)三階顯式和隱式RungeKutta方法的計(jì)算精度。答案：略。11.用二階顯式和隱式Adams方法求解第2題中的初值問題。答案：略。12.針對(duì)第7題中提出的初值問題，利用改進(jìn)的歐拉方法、三點(diǎn)Milme公式和四點(diǎn)Adams公式求解并對(duì)比計(jì)算誤差和精度。答案：略。13.選擇本章介紹的幾種數(shù)值方法求解如下初值問題其中初值條件為比較各種方法的計(jì)算誤差和時(shí)間.已知該問題的精確解為答案：略。第七章有限差分法1.寫出式(7-2)和式(7-8)隱式離散后的系數(shù)陣。答案：略。2.對(duì)于一維擴(kuò)散問題其精確解為取步長(zhǎng)h=0.001，0.005，0.01采用顯格式、隱格式和θ-格式分別計(jì)算T=0.5時(shí)的數(shù)值解，并分析計(jì)算結(jié)果。答案：略。3.考慮非線性熱傳導(dǎo)方程假定試給出此方程的顯格式，并計(jì)算空間步長(zhǎng)h=0.02，T=0.1時(shí)不同時(shí)間步長(zhǎng)的數(shù)值解。答案：略。4.分析給出式(7-8)的顯格式和Crank-Nicolson格式的截?cái)嗾`差階。答案：略。5.考慮二維擴(kuò)散問題其精確解為其中=0.5為擴(kuò)散系數(shù)取步長(zhǎng)h=0.0005，0.001，0.005，采用顯格式、隱格式和θ-格式分別計(jì)算T=0.1時(shí)的數(shù)值解，并分析計(jì)算結(jié)果。答案：略。6.采用7.2節(jié)的ADI格式求解第4題中的擴(kuò)散問題，并進(jìn)行數(shù)值結(jié)果比較。答案：略。7.分析給出7.2節(jié)中Peaceman-Rachford格式的放大因子推導(dǎo)過程，并由Taylor展開推導(dǎo)截?cái)嗾`差階。答案：略。8.考慮式(7-13)和式(7-14)中a的正負(fù)對(duì)其建立的影響。答案：略。9.對(duì)于方程,考慮Lax-Friedrich方法的穩(wěn)定性。答案：略。10.考慮雙曲型問題其精確解為其中a=-1。取步長(zhǎng)=0.0005，0.001，0.005，采用迎風(fēng)格式Lax-Wendrof格式和Leap-Frog格式分別計(jì)算T=0.1時(shí)的數(shù)值解，并比較誤差大小和精度。答案：略。11.考慮一維二階雙曲型問題其精確解為其中a=-1。取不同空間步長(zhǎng)采用顯格式和Crank-Nicolson格式分別計(jì)算T=05時(shí)的數(shù)值解，并比較誤差大小和精度。答案：略。12.考慮二維二階雙曲型問題其精確解為取不同空間步長(zhǎng)采用顯格式、Crank-Nicolson格式和ADI格式分別計(jì)算T=5時(shí)的數(shù)值解，并比較誤差大小和精度。答案：略。13.考慮三維二階雙曲型問題其精確解為其中a=-1。取不同空間步長(zhǎng)，采用顯格式和Crank-Nicolson格式分別計(jì)算T=05時(shí)的數(shù)值解，并比較誤差大小和精度。答案：略。14.考慮泊松問題其中Ω=0，1)2，精確解為且可由精確解給出，取初始迭代值在不同的空間步長(zhǎng)下采用五點(diǎn)差分格式分別計(jì)算T=1時(shí)的數(shù)值解，并給出誤差分析和收斂階。答案：略。第八章有限元方法1.求下列函數(shù)的一階弱導(dǎo)數(shù)。答案：（1）略。（2）略。（3）略。2.證明定理8.2。答案：略。3.計(jì)算函數(shù)的Sobolev范數(shù)。答案：略。4.假設(shè)。證明不等式答案：略。5.寫出[?1，1]2單元上的Q2有限基函數(shù)表達(dá)式（答案：略。6.寫出下面一維橢圓型方程的解函數(shù)空間，并推導(dǎo)其變分形式。答案：（1）略。（2）略。7.假設(shè)是有界開區(qū)域，推導(dǎo)方程的變分形式，并驗(yàn)證Lax-Milgram引理的條件被滿足。這里n表示?Ω的單位外法向量，為分片連續(xù)函數(shù)。答案：略。8.證明下面兩個(gè)問題是等價(jià)的。答案：（1）略。（2）略。9.（Gronwall’s不等式）假設(shè)f，g是定義在區(qū)間[0，T]上的分片連續(xù)且非負(fù)函數(shù)，g是非遞減函數(shù)。若對(duì)任意的成立，則有答案：略。10.假設(shè)是有界開區(qū)域，推導(dǎo)Δ2算子的分部積分公式，并寫出四階問題的變分形式。其中，n表示?Ω的單位外法向量。答案：略。11.假設(shè)證明如果有限元見圖8-4。答案：略。12.假設(shè)證明如果則有限元見圖8-5。答案：略。13.用引理8.1到引理8.4完成定理8.5的證明。答案：略。14.已知一個(gè)一維問題的變分形式為證明的強(qiáng)制性和有界性。答案：略。第九章無網(wǎng)格方法1.證明可化為形式答案：略。2.證明可化為球面標(biāo)形式答案：略。3.使用Gaussian徑向函數(shù)數(shù)值求解方程其中方程的準(zhǔn)確解為選取NI個(gè)內(nèi)點(diǎn)和N?NI個(gè)邊界點(diǎn)（1）將求解區(qū)域劃分成20X20的規(guī)則網(wǎng)格，固定ε=2.5，答案：略。（2）固定ε=2.5，觀察誤差隨著數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)增多的變化情況；按照下面的方式求系數(shù)矩陣A的條件數(shù)觀察矩陣條件數(shù)隨著數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)增多的變化情況。答案：略。（3）定網(wǎng)格分為2020分別選取觀察誤差的變化和矩陣條件數(shù)的變化。答案：略。4.表9-2給出了徑向函數(shù)的一階和階偏導(dǎo)數(shù)。 根據(jù)此表，求下列偏微分算子對(duì)給定徑向函數(shù)的作用：答案：（1）略