廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2023年高三數學試題2月份考試卷

廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考2023年高三數學試題2月份考試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數滿足，則=（）A． B．C． D．2．若直線經過拋物線的焦點，則（）A． B． C．2 D．3．記單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．4．已知平面平面，且是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．5．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.16．復數的模為（）．A． B．1 C．2 D．7．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．8．古希臘數學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．9．根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業(yè)經濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．10．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．11．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．3212．在平面直角坐標系中，將點繞原點逆時針旋轉到點，設直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數字、、、、、組成無重復數字的位自然數，其中相鄰兩個數字奇偶性不同的有_____個.14．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.16．若四棱錐的側面內有一動點Q，已知Q到底面的距離與Q到點P的距離之比為正常數k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角平面角的大小為時，k的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試，現(xiàn)手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．18．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點，是由繞直線旋轉而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，且經過點，斜率為的直線經過點，與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.20．（12分）已知，函數的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實數的最大值．21．（12分）已知函數（I）若討論的單調性；（Ⅱ）若，且對于函數的圖象上兩點，存在，使得函數的圖象在處的切線.求證：.22．（10分）設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若對恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用復數的代數運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，屬于基礎題.2、B【解析】

計算拋物線的交點為，代入計算得到答案.【詳解】可化為，焦點坐標為，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.3、C【解析】

先利用等比數列的性質得到的值，再根據的方程組可得的值，從而得到數列的公比，進而得到數列的通項和前項和，根據后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數列）.故，.故選C.【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.4、C【解析】

根據與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.5、A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.6、D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解．【詳解】解：，復數的模為．故選：D．【點睛】本題主要考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，屬于基礎題．7、B【解析】由題意可得c=，設右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．8、B【解析】

推導出基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個“完全數”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.10、B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．11、A【解析】

根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.12、A【解析】

設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導公式即可得到答案.【詳解】如圖，設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點睛】本題考查三角函數的定義及誘導公式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對首位數的奇偶進行分類討論，利用分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數，則第一、三、五個數位上的數都是奇數，其余三個數位上的數為偶數，此時，符號條件的位自然數個數為個；②若首位數為偶數，則首位數不能為，可排在第三或第五個數位上，第二、四、六個數位上的數為奇數，此時，符合條件的位自然數個數為個.綜上所述，符合條件的位自然數個數為個.故答案為：.【點睛】本題考查數的排列問題，要注意首位數字的分類討論，考查分步乘法計數和分類加法計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.15、【解析】

求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，根據導數和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.16、【解析】

二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線得距離為d，則.再由點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設二面角平面角為，點Q到底面的距離為，點Q到定直線的距離為d，則，即.∵點Q到底面的距離與到點P的距離之比為正常數k，∴，則，∵動點Q的軌跡是拋物線，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點睛】本題考查了四棱錐的結構特征，由四棱錐的側面與底面的夾角求參數值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數為（萬分）（2）由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率．設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費用的數學期望為（元），因為，所以顯然預算經費不夠測試完這100顆芯片．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數的計算，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標系，根據法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖，以為原點，在平面內垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面，得所以即.(2)設二面角的大小為，當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.19、（1）（2）存在；實數的取值范圍是【解析】

（1）根據橢圓定義計算，再根據，，的關系計算即可得出橢圓方程；（2）設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據根與系數的關系求出的中點坐標，求出的中垂線與軸的交點橫，得出關于的函數，利用基本不等式得出的范圍．【詳解】（1）由題意可知，，．又，，，橢圓的方程為：．（2）若存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點．設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，消元得：，△，又，故．由根與系數的關系可得，設的中點為，，則，，線段的中垂線方程為：，令可得，即．，故，當且僅當即時取等號，，且．的取值范圍是，．【點睛】本題主要考查了橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉化為分段函數，求函數的最小值（2）分離參數，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因為恒成立，所以恒成立，當且僅當時，取得最小值，所以，即實數的最大值為．點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數的最值和不等式的應用，第二問恒成立問題分離參數，利用基本不等式求解很