自動控制原理第六版第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡繪制答案

第四節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制13/24/2020“

”；前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)“

”和零點(diǎn)○確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間；畫出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱為重心）和傾角分別為：計算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：23/24/2020計算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；計算會合點(diǎn)和分離點(diǎn)：利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意：后兩步可能不存在；在判斷大致形狀時，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對稱性。33/24/2020一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。43/24/2020，畫根②實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：[-2，0]；③漸進(jìn)線傾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)為：[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：軌跡。[解]：①標(biāo)出四個開環(huán)極點(diǎn)：0，-2，。有四條根軌跡。④-3+4j處的出射角

：根據(jù)對稱性，可知-3-j4處的出射角

為：⑤與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時，有共53/24/2020。，軛虛根。這時，輔助方程為：解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。⑥會合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由得：由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-1.8-2.08.5814.5718.2820.0120.018.4715.5911.496.28下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸[-2，0]區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時，

最大時為分離點(diǎn)。s可見分離點(diǎn)在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。63/24/2020⑦繪制根軌跡，如下圖所示。-3-2012-5-4-1Real

Axis54321Imag

Axis0-1-2-3-473/24/2020[例4-7]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡。[解]：⑴開環(huán)零點(diǎn)

，開環(huán)極點(diǎn)根軌跡有兩支。起點(diǎn)在極點(diǎn)處，終點(diǎn)一支在開環(huán)零點(diǎn)處。一支在無窮遠(yuǎn)處。⑵實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：⑶分離點(diǎn)和會合點(diǎn)：例4-4中已求得，分別為分離點(diǎn)=-0.33,會合點(diǎn)=-1.67，分離角⑷繪制根軌跡。83/24/2020[例4-8]設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開環(huán)零，極點(diǎn)分別為：⑴根軌跡有四支。⑵漸近線傾角重心：⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間⑷實(shí)軸上無分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。93/24/2020輔助方程為：103/24/2020⑸出射角：對⑹與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：-3-2012-2.5-4⑺繪制根軌跡圖，見下圖2.5-1Real

Axis21.510.5Imag

Axis0-0.5-1-1.5-2113/24/2020有零極點(diǎn)相對消的情況。-特殊情況(了解)：對于開環(huán)傳遞函數(shù)如：則：

，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見下圖：-式中：123/24/2020繪制根軌跡可得

的極點(diǎn)。閉環(huán)以開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)

的極點(diǎn)由

和組合而成。的極點(diǎn)來補(bǔ)充。見下由零極點(diǎn)相對消減少的極點(diǎn)由頁圖。133/24/2020二、多回路系統(tǒng)的根軌跡（了解）簡單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、正反饋系統(tǒng)的根軌跡（了解）以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+143/24/2020開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為：與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件153/24/2020不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件是180度等相角條是0度等相角條件。注意：?負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180度根軌跡或簡稱為根軌跡；?正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0度根軌跡。繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：對稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：

，有n-m個角度。實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域?！し蛛x點(diǎn)、會合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；163/24/2020與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡?！?/p>

出射角和入射角：173/24/2020得：183/24/2020漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn) 傾角：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：[-5，-1]，[0，）分離角（點(diǎn)）：

由顯然，

，不在根軌跡上。分離點(diǎn)為：。[例4-9]：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：·

起點(diǎn)在0，-1，-5處，終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。有3支根軌跡。193/24/2020比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開環(huán)傳遞函數(shù)為：則正負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：203/24/2020時的根可見，正反饋根軌跡相當(dāng)與負(fù)反饋根軌跡的

從軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得時的整個區(qū)間的根軌跡，左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（180度）根軌跡圖；213/24/2