三角形的中位線定理

§23.4中位線如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，證明：△ADE∽△ABC復(fù)習(xí)2.猜想：DE∥BC，DE＝BC．1.猜想DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？為什么？CBAED連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中位線三角形中位線的定義思考：三角形的中位線有幾條三角形中位線定理∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC，DE＝BC

三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。

已知：如果，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的三邊的中點(diǎn)．

（1）若AB=8cm，求EF的長；（2）若DE=5cm，求BC的長．（3）若增加M、N分別BD、BF的中點(diǎn)，問MN與AC有什么關(guān)系？為什么？練一練試一試:(2)若△ABC的三條中位線圍成的三角形周長為15cm，△ABC的周長是____。(1)若△ABC三邊AB、AC、BC的長分別為8、6、4，它的三條中位線圍成的△DEF的周長_____。(3)若△ABC的三條中位線長分別為3、4、5，則△ABC的周長為

面積為

。

930cm2424例1:已知：如圖，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF=FC．（1）四邊形ADEF是什么形狀的四邊形？請證明。（2）DF與AE有什么關(guān)系？(1)四邊形ADEF是平行四邊形.證明 :∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）．同理EF∥AB．∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴

AE、DF互相平分（平行四邊形的對角線互相平分）．

例2.已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

求證:四邊形EFGH是平行四邊形。

ABCDEFGH

例3

如圖24．4．4，△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于G．求證：證明 :連結(jié)ED，

∵D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC，∴△ACG∽△DEG，∴

∴

拓展

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長的1/3.．例4已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AB，DC的中點(diǎn)．求證：EF∥BC，EF=1/2（BC+AD）．ABCDEFG思路；將梯形轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形中位線定理進(jìn)行證明．ABCDEFG證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)G．∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG．在△ADF和△GCF中，∠D=∠FCG，

DF=CF，∠AFD=∠GFC，∴△ADF≌△GCF（ASA）．∴AF=GF，AD=GC又∵AE=EB，∴EF是△ABG的中位線．∴EF∥BC，EF=1/2BG=1/2(BC+CG)∵AD=GC∴EF=1/2(AD+BC)．歸納與概括:ABCDEF梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。梯形中位線定理練習(xí):

已知：在四邊形