培優(yōu)專(zhuān)題05全等三角形十大模型之平移和軸對(duì)稱(chēng)模型-解析版

培優(yōu)專(zhuān)題05全等三角形的十大模型之平移、軸對(duì)稱(chēng)模型（題型較難，根據(jù)情況選做，部分題目是后面學(xué)習(xí)內(nèi)容）◎模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱(chēng)為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.【常見(jiàn)模型】1．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）我們知道兩個(gè)全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一個(gè)等腰三角形（如圖1），那么對(duì)其中一個(gè)直角三角形作適當(dāng)改變又能得到什么結(jié)論呢？現(xiàn)在我們一起來(lái)探究吧．(1)如圖2，將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC，求證：MB＝MC．(2)將CE向上平移，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB、MC．①如圖3，當(dāng)∠CAE=∠BAD時(shí)，求證：MB＝MC；②當(dāng)∠CAE＞∠BAD時(shí)，在圖4中補(bǔ)全相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出MB、MC的數(shù)量關(guān)系_______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，MB＝MC【分析】（1）根據(jù)三角形SAS判定定理證明三角形△BDM≌△CEM，證得MB＝MC．（2）先根據(jù)三角形ASA判定定理證明△ECM≌△DFM，再證明△BFM是等邊三角形，證得MB＝MF＝MC；根據(jù)圖4直接寫(xiě)出MB＝MC．（1）如圖2，依題意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC，∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC；（2）①如圖3，延長(zhǎng)CM交BD于點(diǎn)F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM，在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM，∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等邊三角形，∴MB＝MF＝MC．②補(bǔ)全圖形如圖4，MB＝MC．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形判定定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出所需要的條件證明三角形全等得出相應(yīng)的結(jié)論．2．（2022·湖北荊州·八年級(jí)期末）如圖，所有的網(wǎng)格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，△ABC為格點(diǎn)三角形．(1)如圖1，計(jì)算圖中格點(diǎn)△ABC的面積為_(kāi)______；(2)如圖，圖2、圖3、圖4都是6×6的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)M、點(diǎn)N都是格點(diǎn)①在圖2中作格點(diǎn)△MNP，使△MNP，與△ABC全等；②在圖3中作格點(diǎn)△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；③在圖4中作格點(diǎn)△NFG，使△NFG與△ABC關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③見(jiàn)解析【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積即可得出答案；（2）依據(jù)平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可畫(huà)出圖形．（1）△ABC的面積為：，故答案為：；（2）①如圖，即為所求．②如圖，即為所求．③如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換，平移變換，全等變換等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格中作圖方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級(jí)示范中二模）數(shù)學(xué)活動(dòng)—三角形平移中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)E重合．(1)獨(dú)立思考：將向左平移使得AC的中點(diǎn)G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．(2)合作交流：①“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，DF交AB于點(diǎn)H，如圖3，求證：．②“希望”小組還發(fā)現(xiàn)圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請(qǐng)你再寫(xiě)出一組相等的線段．(3)提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索．“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖3，若M恰好是DE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段HM的長(zhǎng)度，請(qǐng)解答“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題．【答案】(1)矩形，理由見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②（或者等）(3)【分析】（1）只需要證明AC與DE互相平分即可證明四邊形AECD是矩形；（2）①只需要證明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可證明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可證明，；（3）如圖所示，連接AD，由△ABC≌△DFE，得到點(diǎn)D到EF的距離與點(diǎn)A到BC的距離相等，得到，證明△DAM≌△EBM（AAS），得到，設(shè)，則，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．(1)四邊形AECD是矩形理由如下，，，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，，，∴，∴AG=CG，DG=EG，∴四邊形AECD是平行四邊形，又AC=DE，四邊形AECD是矩形；(2)解：①∵，，，，∴，即BE=FC，∴△MBE≌△NFC（ASA）∴MB=NF，∴HB-MB=HF-NF，即；②∵△ABC≌△DFE，∴AB=DF，∵HB=HF，∴AB-HB=DF-HF，即，同理可證；(3)解：如圖所示，連接AD，∵△ABC≌△DFE，∴點(diǎn)D到EF的距離與點(diǎn)A到BC的距離相等，∴，∴∠DAM=∠EBM，∠BEM=∠ADM，∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴ME=MD=3，∴△DAM≌△EBM（AAS），∴，設(shè)，則，在Rt△MDH中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，矩形的判定，圖形的平移等等，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC與Rt△DEF的邊BC、EF在直線l上，∠ACB＝∠EDF＝90°，DE＝DF＝，Rt△DEF沿直線l向左平移．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AE，若AC＝，BC＝3，判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D剛好落在AB的中點(diǎn)處，若AB＝4，求CE長(zhǎng)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，若點(diǎn)D剛好落在邊AB上，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC，交AB于點(diǎn)M，若AC＝，求FM長(zhǎng)．【答案】（1）△ABE是等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）﹣1；（3）【分析】（1）先求出EF，進(jìn)而求出BE，再求出AE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出BD＝CD＝2，再判斷出CH＝BH＝BC，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出EH＝FH＝EF＝1，進(jìn)而求出BH，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出DF＝DG，CG＝2，進(jìn)而判斷出△ADG≌△FDM，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）△ABE是等腰三角形，理由：在Rt△DEF中，DE＝DF＝，∴EF＝DE＝2，∵點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，∴BE＝2，∵BC＝3，∴CE＝BC﹣BE＝1，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得，AE＝＝2，∴AE＝BE，∴△ABE是等腰三角形；（2）如圖2，連接CD，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝AB＝2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，∴CH＝BH＝BC，在Rt△DEF中，DH⊥BC，∴EH＝FH＝EF＝1，在Rt△BHD中，BH＝＝，∴CE＝CH﹣EH＝BH﹣FH＝﹣1；（3）如圖3，延長(zhǎng)FD交CA的延長(zhǎng)線于G，∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴∠CDG＝∠CDF＝90°，∠ACD＝∠FCD＝45°，∵CD＝CD，∴△GDC≌△FDC（ASA），∴CG＝CF＝EF＝2，∵M(jìn)F⊥BC，∴∠MFB＝90°＝∠ACB，∴AC∥FM，∴∠G＝∠DFM，∠DAG＝∠DMF，∴△ADG≌△FDM（AAS），∴FM＝AG＝CG﹣AC＝2﹣＝．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．◎模型二：軸對(duì)稱(chēng)模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱(chēng)之為軸對(duì)稱(chēng)型全等三角形，此類(lèi)圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】5．（2019·山東威?！て吣昙?jí)期末）已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E為直線BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE．點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱(chēng)，連接AE，順次連接A，D，F(xiàn)．（1）如圖1，若點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC上，試判斷△ADF的形狀并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊BC外，求證：．【答案】（1）△ADF為等邊三角形，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后證明，得出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出,從而有，則結(jié)論可證；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后證明，得出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出,從而有，則△ADF為等邊三角形，則，通過(guò)等量代換即可得出答案．【詳解】解：（1）△ADF為等邊三角形，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，∴．在和中，，．∵點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱(chēng)，，．，，即,∴△ADF為等邊三角形．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴．在和中，，．∵點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱(chēng)，，．，，∴△ADF為等邊三角形．∵∴【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及判定，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）【教材呈現(xiàn)】東師版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)教材頁(yè)的部分內(nèi)容，我們都知道演繹推理的方法是研究圖形屬性的重要方法，請(qǐng)你寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱(chēng)軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點(diǎn)，連接、，將線段沿直線對(duì)稱(chēng)，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．請(qǐng)你結(jié)合圖形把已知和求證補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖，，垂足為點(diǎn)，______，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)．求證：______．證明：【學(xué)以致用】如圖，是線段的垂直平分線，則與有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】【教材呈現(xiàn)】，，證明過(guò)程見(jiàn)解析；【學(xué)以致用】，證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中教材補(bǔ)充完成即可；（2）根據(jù)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等求證即可．【詳解】《教材呈現(xiàn)》已知：如圖，，垂足為點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，求證：．故答案為：，．證明：∵∴在和中，∴；《學(xué)以致用》，理由：是線段的垂直平分線，，，∴，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的全等證明，讀懂題意，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解題是關(guān)鍵．7．（2022·山西·八年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為△ABC外的一點(diǎn)，且BD＝BC，∠DBC＝30°，連接AD．(1)若BC＝4，則D到BC邊的距離為_(kāi)_____．(2)小明在圖（1）的基礎(chǔ)上，以AB為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ABE，得到圖（2），連接CE，請(qǐng)判斷△BCE的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)在圖（2）中，試猜想AE與AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)2(2)△BCE為等邊三角形；證明見(jiàn)解析(3)AE＝AD，AE⊥AD；證明見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性質(zhì)求得DF＝BD＝BC；（2）△BCE為等邊三角形．根據(jù)對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得到BE＝BC．（3）由△ABD≌△ABE得AE＝AD，再證明，從而可得AE⊥AD，故可得結(jié)論．(1)如圖（1），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD＝BC＝4，∠DBC＝30°，∴DF＝BD∴DF＝BC=．故答案是：2；(2)△BCE為等邊三角形．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°．∵以AB為對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造△ABD的軸對(duì)稱(chēng)圖形△ABE，∴△ABD≌△ABE，∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°．∵BD＝BC，∴BE＝BC，∴△BCE為等邊三角形．(3)AE＝AD，AE⊥AD．證明：∵△ABD≌△ABE，∴AE＝AD．∵△EBC是等邊三角形，∴∠BEC＝60°，BE＝CE．∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACE，∴，∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°．∵∠EAB＝∠DAB，∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，∴AE⊥AD，AE＝AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱(chēng)軸．如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合．由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn)求證：PA＝PB．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA＝PB．（1）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程；（2）如圖②，在△ABC中，直線l，m，n分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線．求證：直線l、m、n交于一點(diǎn)；（請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整）證明：設(shè)直線l，m相交于點(diǎn)O．（3）如圖③，在△ABC中，AB＝BC，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，若∠ABC