《高等數(shù)學(xué) 上冊(cè)》 課件 王娜 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分

微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家Ferma

在研究極值問題中提出.英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家

,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義三、由定義求導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié)、思考題一、問題的提出1、瞬時(shí)速度問題

設(shè)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為

s=s(t),則在t

與t0之間平均速度t0時(shí)刻的（瞬時(shí)）速度自由落體運(yùn)動(dòng)2、切線問題

切線——割線的極限位置上的直線4/22兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).二、導(dǎo)數(shù)的定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)性是局部性質(zhì)。雙側(cè)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系6/22注意“導(dǎo)數(shù)為

”時(shí)不可導(dǎo)，即導(dǎo)數(shù)不存在。區(qū)間上可導(dǎo)性的定義

若f(x)

在區(qū)間I的內(nèi)部處處可導(dǎo)，并且在I所含的左（右）端點(diǎn)處右(左)導(dǎo)數(shù)存在，則稱f(x)

在區(qū)間I上可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)7/22三、由定義求導(dǎo)數(shù)例1解例2解例3解一般地10/22*例4解11/22*例5解12/22例6解13/22例7解14/22四、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義2、幾何意義1、物理意義——因變量關(guān)于自變量的變化率。15/22例8解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為16/22五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理可導(dǎo)

連續(xù).證證畢17/22注意:該定理的逆定理不成立.即連續(xù)

可導(dǎo)連續(xù)但不可導(dǎo)函數(shù)舉例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x18/22例9011/π－1/π解19/22*例10解20/22內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.

設(shè)存在,則3.

已知?jiǎng)t4.

若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且5.設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時(shí)此時(shí)在都存在,

作業(yè)

P662、4、5、

6、7、8

第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、小結(jié)、作業(yè)1/21一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理注意

一般地說,乘積的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的乘積;

商的導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的商.2/21證(3)：證畢3/21推論例14/21例2解例3解5/21例4解6/21二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理即

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).*證7/21

y

y=f(x)

x=f--1

(y)

Iy

y0

(x0

,y0)

y

x

O

x0

x

Ix(f--1)

′(y0)=tan

y=cot

x

=1/

tan

x=1/f′(x0)8/21即解同理可得我們知道了所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例59/21*例6解特別地10/21三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11/21四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理(復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t)

即因變量對(duì)自變量求導(dǎo),等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).12/21*證13/21推廣例7解14/21例8解注熟練地掌握了復(fù)合函數(shù)的分解及鏈?zhǔn)椒▌t后，可以不寫出中間變量（符號(hào)），采用逐層求導(dǎo)的方式計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（這樣可省去還原這一步）。15/21例9解現(xiàn)在我們可以（利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及常數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t）求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。16/21例10解17/21例10另解18/21例11解例12解19/21五、小結(jié)2、反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）.3、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）（注意函數(shù)的復(fù)合過程）.4、基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

注意:分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí),分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)來(lái)求.1、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：5、可以求出所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

20/21作業(yè)習(xí)題2-23-(2)48-(8)12-(6)(8)思考題

求曲線上與軸平行的切線方程.21/21第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)的求法三、小結(jié)、作業(yè)1/12一、高階導(dǎo)數(shù)的定義定義稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)

f

(x)在x0

的導(dǎo)數(shù)(f

)

(x0)為

y=f(x)在x0

的二階導(dǎo)數(shù)，可記做稱y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

(f

(x))

為y=f(x)的

二階導(dǎo)函數(shù):D={x|f

(x)存在}，x

f

(x)，可記做2/12如此定義

y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)函數(shù)，

二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).注若f(x)在x0點(diǎn)n

階可導(dǎo)，則必在某個(gè)U(x0)上n-1階可導(dǎo)。3/12二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例1解求n階導(dǎo)數(shù)就是連續(xù)地求n次一階導(dǎo)數(shù)。4/12例2解5/12例3解若

不是自然數(shù)

求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出若干階后不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出n階導(dǎo)數(shù)(數(shù)學(xué)歸納法證明).注:6/12例4解同理可得7/12*例5解8/12高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:——萊布尼茲公式9/12例6解10/12*例7解11/12三、小結(jié)1、高階導(dǎo)數(shù)的定義;2、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

——特別是萊布尼茲公式;3、n階導(dǎo)數(shù)的求法。12/12作業(yè)習(xí)題2-31-(12)3-(2)8-(4)9-(3)第四節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)*相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、*相關(guān)變化率五、小結(jié)、作業(yè)1/18一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的顯化問題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則:

視y=y(x),應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接對(duì)方程F(x,y)=0兩邊求導(dǎo)，然后解出y

即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2/18例1解解得3/18例2解于是，所求切線方程為注本例中的方程形為F(x,y)=G(x,y),其確定的y=y(x)的求導(dǎo)方法仍然是...。4/18例3解5/18二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法——利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：

先對(duì)

y=f(x)（>0）兩邊取對(duì)數(shù)(或加絕對(duì)值后兩邊取對(duì)數(shù)),

然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:6/18例4解等式兩邊取對(duì)數(shù),得7/18例5解等式兩邊取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，得8/18三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)t問題:消參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)時(shí)如何求導(dǎo)?9/1810/18例6解得所求切線方程為11/18例7解12/1813/18例8解14/18*四、相關(guān)變化率

當(dāng)已知兩個(gè)變量的關(guān)系后，可從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率。15/18例9解仰角增加率16/18h米五、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則:視

y=y(x)，

利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),然后按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)法:y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)=y對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)/x對(duì)參數(shù)的導(dǎo)數(shù);*相關(guān)變化率:兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的變化率;

解法:

通過建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系,就將它們的變化率聯(lián)系起來(lái)，從一個(gè)變化率得到另一個(gè)變化率.17/18作業(yè)習(xí)題2-43-(4)4-(1)(4)7-(1)思考題18/18第五節(jié)函數(shù)的微分一、問題的提出二、微分的定義三、可微的條件四、微分的幾何意義五、微分的求法六、微分形式的不變性七、*微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用八、小結(jié)、作業(yè)1/21一、問題的提出——近似計(jì)算問題實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量。2/21再如,既容易計(jì)算又是較好的近似值問題：是否所有函數(shù)的改變量都有這樣的線性函數(shù)(改變量的線性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？3/21二、微分的定義定義4/21三、可微的條件定理證(1)必要性(2)充分性證畢5/21例1解6/21四、微分的幾何意義MNT）C:y=f(x)在M(x0,f(x0))的切線T：y