北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套(含解析)_第1頁(yè)
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北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1.復(fù)數(shù)的虛部是(

)A. B. C.1 D.i【正確答案】C【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,進(jìn)而可得其虛部.【詳解】,其虛部為.故選:C.2.已知向量,,若,則(

)A. B. C. D.6【正確答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式列方程得答案.【詳解】,,,,解得.故選:A.3.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若,則(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用余弦定理求出,再求.【詳解】在中,對(duì)于,利用余弦定理得.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角,所以.故選:C4.下列函數(shù)中,最小正周期為π且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是(

)A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分別求出四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小正周期,判斷對(duì)稱(chēng)性,即可判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng).最小正周期為π,但是為對(duì)稱(chēng)軸,所以不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故A錯(cuò)誤;對(duì)于B.最小正周期為π,并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故B正確;對(duì)于C:的最小正周期為.故C錯(cuò)誤;對(duì)于D.最小正周期為π,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).故D錯(cuò)誤.故選:B5.設(shè),是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量,則“與共線(xiàn)”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用向量共線(xiàn)定理即可判斷.【詳解】“與共線(xiàn)”等價(jià)于.因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線(xiàn)的非零向量,所以,解得.所以“與共線(xiàn)”是“”的必要不充分條件.故選:B6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則(

)A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得,即可求出、,再根據(jù)函數(shù)的周期求出,最后根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)求出,即可得解.【詳解】依題意可得,解得,又,所以,解得,所以,又函數(shù)過(guò)點(diǎn),所以,即,所以,,所以,,又,所以,所以.故選:A7.在中,,則的形狀為(

)A.等邊三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形【正確答案】B【分析】利用三角公式得到,求出,即可判斷.【詳解】在中,因?yàn)?,所以,?展開(kāi),整理化簡(jiǎn)得.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角,所以,所以.因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角,所以,所以為直角三角形.故選:B8.在梯形ABCD中,,,,.若點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上,則的最小值是(

)A. B.4 C. D.6【正確答案】D【分析】以B為原點(diǎn),為x軸正方向,為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解.【詳解】如圖示,以B為原點(diǎn),為x軸正方向,為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.則,所以,.所以,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).所以的最小值是6.故選:D二、多選題9.對(duì)于任意的兩個(gè)向量,,,下列命題一定正確的是(

)A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證:對(duì)于A(yíng):由交換律直接判斷;對(duì)于B:由,而,直接判斷;對(duì)于C:由向量加法的幾何意義以及三角形法則即可判斷;對(duì)于D:由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的有界性可以以判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng):由交換律可知.故A正確;對(duì)于B:因?yàn)?,而,所以不一定成?故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:由向量加法的幾何意義以及三角形法則可知:當(dāng)向量,反向時(shí),;當(dāng)向量,不共線(xiàn)時(shí),;當(dāng)向量,同向時(shí),.綜上所述:恒成立.故C正確;對(duì)于D:由數(shù)量積的定義可得:,所以恒成立.故D正確.故選:ACD10.已知非零復(fù)數(shù),則下列運(yùn)算結(jié)果一定為實(shí)數(shù)的是(

)A. B. C. D.【正確答案】AD【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和加、減運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一化簡(jiǎn),即可得出答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)(a,,),,,,對(duì)于A(yíng),,虛部為0,則一定為實(shí)數(shù),故A正確;對(duì)于B,,虛部不為0,故一定不為實(shí)數(shù),故B不正確;對(duì)于C,,若,則不一定為實(shí)數(shù),故C不正確;對(duì)于D,,,故D正確.故選:AD.11.在中,,,E為AC上一點(diǎn),且,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.【正確答案】ABC【分析】先利用正弦定理和余弦定理求出,.不妨設(shè),.對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證:對(duì)于A(yíng):直接判斷;對(duì)于B:利用模長(zhǎng)公式求出,即可判斷;對(duì)于C:利用正弦定理分別表示出,.即可證明;對(duì)于D:利用余弦定理分別求出,.即可判斷.【詳解】在中,因?yàn)椋?,?因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?不妨設(shè),則.對(duì)于A(yíng).故A正確;對(duì)于B:因?yàn)?,所以所?故B正確;對(duì)于C:在中,由正弦定理得:,所以.同理可求.因?yàn)?,所?所以.因?yàn)椋?,?而,所以.故C正確;對(duì)于D:因?yàn)?,,所以在中,,,,由余弦定理得?同理可求.所以不成立.故D錯(cuò)誤.故選:ABC12.如圖,單位圓O與x軸非負(fù)半軸交于點(diǎn)A,銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)B,軸.設(shè)的面積為,與弦AB圍成的弓形面積為,圖中陰影部分面積為,則下列結(jié)論正確的是(

)A.任意銳角,都有 B.存在銳角,使得C.任意銳角,都有 D.存在銳角,使得【正確答案】AC【分析】先求出關(guān)于的表達(dá)式,作差,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由圖可知:?jiǎn)挝辉陌霃剑?/p>

,令,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,是單調(diào)遞增的,當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞減的,并且

,所以,當(dāng)為銳角時(shí),;A正確,B錯(cuò)誤;令,,令,則,令,得,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,并且,,即是增函數(shù),又,,C正確,D錯(cuò)誤;故選:AC.三、填空題13.若向量,滿(mǎn)足,,且與的夾角為,則_______.【正確答案】【分析】先通過(guò)條件求出,然后根據(jù)展開(kāi)計(jì)算即可.【詳解】由已知得,則.故答案為.14.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)______.【正確答案】4【分析】直接求出零點(diǎn),即可判斷.【詳解】令,解得:,所以.因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,符合題意;當(dāng)時(shí),,符合題意;當(dāng)時(shí),,符合題意;當(dāng)時(shí),,符合題意.當(dāng)或時(shí),,不符合題意.綜上所述:函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故415.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知,,,要使該三角形有兩解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)______.【正確答案】【分析】利用正弦定理直接判斷.【詳解】要使三角形有兩解,由正弦定理,只需,即,解得.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故16.在中,,,O為的外心,D,E,F(xiàn)分別為AB,BC,CA的中點(diǎn),且,則_______.【正確答案】【分析】先求出.設(shè)則.由,利用二倍角公式求出,根據(jù)數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】如圖示,作出的外接圓O,設(shè)半徑為R.由正弦定理得:,即,解得:,所以.設(shè)則.所以.因?yàn)镺為的外心,所以,所以.同理:,.因?yàn)椋?,所?由二倍角的余弦公式可得.所以.故答案為.向量的基本運(yùn)算處理的常用方法:(1)向量幾何化:畫(huà)出合適的圖形,利用向量的運(yùn)算法則處理;(2)向量坐標(biāo)化:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算處理.四、解答題17.已知復(fù)數(shù),其中i是虛數(shù)單位,.(1)若z是純虛數(shù),求;(2)當(dāng)時(shí),求.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的實(shí)部為零,虛部不為零列方程可求出復(fù)數(shù),再利用可得答案;(2)代入,然后通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算得到的代數(shù)形式,進(jìn)而可得的模.【詳解】(1)是純虛數(shù),,解得,,,;(2)當(dāng)時(shí),,,.18.在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,.(1)求角A的大??;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng).【正確答案】(1)(2)【分析】(1)先將條件整理,然后利用正弦定理角化邊,最后利用余弦定理求解;(2)先根據(jù)的面積得到的值,再結(jié)合(1)中得到的關(guān)系可得的值,則周長(zhǎng)可求.【詳解】(1),,,由正弦定理角化邊得,,又,;(2)由已知得,,又,,,,的周長(zhǎng)為.19.如圖,在菱形ABCD中,,,E,F(xiàn)分別在邊BC和CD上,且,.(1)當(dāng)時(shí),用向量,表示;(2)求的取值范圍.【正確答案】(1);(2).【分析】(1)利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算直接求得;(2)利用向量的運(yùn)算得到,利用單調(diào)性求出取值范圍.【詳解】(1)根據(jù)題意,由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知,當(dāng)時(shí),.(2)因?yàn)椋?,由向量的線(xiàn)性運(yùn)算,可得.因?yàn)椋?,因?yàn)椋?0.已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)先將函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位,得到函數(shù).關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【正確答案】(1);(2).【分析】(1)求出解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出;(2)利用換元法和分離參數(shù)法得到恒成立.研究的單調(diào)性,求出最小值,即可求解.【詳解】(1).要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,只需,解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)先將函數(shù)圖像的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到;再向右平移個(gè)單位,得到函數(shù).令,當(dāng)時(shí),,所以.所以關(guān)于t的不等式對(duì)恒成立,所以恒成立.令.因?yàn)樵诰鶈卧?,所以在單增,所以?dāng)在最小,所以.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.21.沙坪壩區(qū)政府為了給市民打造宜居環(huán)境,現(xiàn)啟動(dòng)了“詩(shī)意田園,鄉(xiāng)村旅游”項(xiàng)目的建設(shè),其中一項(xiàng)目是計(jì)劃對(duì)區(qū)內(nèi)的水庫(kù)和湖泊進(jìn)行改造,發(fā)展鄉(xiāng)村旅游.青木湖是位于沙坪壩區(qū)青木關(guān)鎮(zhèn)的一個(gè)圓形湖泊,湖區(qū)山清水秀,負(fù)氧離子高,湖中還有一個(gè)小島,為了讓市民更好的欣賞湖泊景色,沙區(qū)政府決定在小島上修一個(gè)觀(guān)賞亭,并在湖中修兩條步行棧道連接觀(guān)賞亭和湖岸,如圖所示,過(guò)觀(guān)賞亭P修AC和BD兩條步行棧道,其中BD為直徑,且,,.(1)求AP,BP;(2)與此同時(shí),沙區(qū)政府還規(guī)劃了湖區(qū)游船項(xiàng)目,為盡量減少對(duì)生態(tài)環(huán)境的破環(huán),沙區(qū)政府在A(yíng)點(diǎn)、P點(diǎn)、D點(diǎn)以及劣弧上的M點(diǎn)處設(shè)立了游船停靠點(diǎn),并規(guī)劃游船路線(xiàn)為,求游船路線(xiàn)長(zhǎng)度(即四邊形APDM周長(zhǎng))的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意在中,利用正弦定理解三角形;(2)根據(jù)題意在中,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求的最大值.【詳解】(1)在Rt中,,可得,由題意可得:,在中,,可得,由正弦定理,可得,故.(2)由(1)可得:,在中,由余弦定理,即,整理得,∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,整理得,即,可得故游船路線(xiàn)長(zhǎng)度(即四邊形APDM周長(zhǎng))的最大值為.22.如圖,在等邊中,,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在邊AB,BC,CA上,且,,.(1)用k,表示DE,DF;(2)若為等腰直角三角形,求k的取值范圍;(3)若,求面積的最小值.【正確答案】(1),.(2)(3)【分析】(1)分別利用正弦定理表示出DE,DF;(2)由得到,利用三角函數(shù)求出k的取值范圍;(3)建立三角形面積的函數(shù)關(guān)系式,利用三角函數(shù)求出最小值.【詳解】(1)由,,不妨設(shè),則.在等邊中,,所以.因?yàn)?,所以,所?所以.在中,,,,,由正弦定理得:,所以.同理可求:(2)要使為等腰直角三角形,只需.所以,整理得.因?yàn)椋?,所?(3)由可得:,則.所以令,則,其中.所以,解得.所以當(dāng)時(shí),存在,使得,所以解三角形的基本策略:一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”,二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”;求最值也是一種常見(jiàn)類(lèi)型,主要方法有兩類(lèi),一是找到邊之間的關(guān)系,利用基本不等式求最值,二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù),利用函數(shù)思想求最值.北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1.下列向量組中,能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是(

)A., B.,C., D.,【正確答案】D【分析】A:由于為零向量,不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底;B,C,,不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底;D,與不共線(xiàn),可以作為平面內(nèi)的所有向量的基底.【詳解】A:由于為零向量,不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底;B:因?yàn)椋瑒t,不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底;C:因?yàn)?,則,不能作為平面內(nèi)的所有向量的基底;D:因?yàn)?,即與不共線(xiàn),可以作為平面內(nèi)的所有向量的基底.故選:D2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在(

)A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【正確答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,進(jìn)而可得其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),觀(guān)察可得點(diǎn)的位置.【詳解】,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,又,不可能成立,即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第四象限.故選:A.3.已知平面向量,滿(mǎn)足,,,則(

)A.2 B.5 C.10 D.【正確答案】B【分析】先求出,再通過(guò)計(jì)算可得的值.【詳解】,,,.故選:B.4.若函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),,則(

)A. B. C.1 D.【正確答案】D【分析】先利用求出函數(shù)的周期,利用周期性轉(zhuǎn)化代入即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以函?shù)的周期為,所以.又因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),,所以,所以,即.故選:D.5.在中,,,,為邊上的高,若,則(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用三角形面積結(jié)合余弦定理可求得,可得,再利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算表示出和比較,即可求得答案.【詳解】由題意可知,為邊上的高,故,由余弦定理得,故,所以,則,結(jié)合,可得,故選:C6.如圖,一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線(xiàn),一端固定,另一端懸掛一個(gè)沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng).若線(xiàn)長(zhǎng)為lcm,沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系是,取,如果沙漏從離開(kāi)平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s,則線(xiàn)長(zhǎng)約為(

)cm.(精確到0.1cm)A.12.7 B.25.3 C.101.3 D.50.7【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的最小正周期為,結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì),列出方程,即可求解.【詳解】因?yàn)榫€(xiàn)長(zhǎng)為lcm,沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移(單位:cm)與時(shí)間(單位:s)的函數(shù)關(guān)系是,,且取,又因?yàn)樯陈碾x開(kāi)平衡位置到下一次回到平衡位置恰用,所以函數(shù)的最小正周期為,即,解得,即線(xiàn)長(zhǎng)約為cm.故選:B.7.已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集為(

)A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及當(dāng)時(shí),,判斷函數(shù)單調(diào)性,作出其大致圖像,數(shù)形結(jié)合,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì),解不等式,即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數(shù),故,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞增,且過(guò)點(diǎn),則當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,且過(guò)點(diǎn),作出函數(shù)的大致圖像如圖:則由可得或,解得或,即的解集為,故選:D8.如圖,在等腰梯形ABCD中,下底BC長(zhǎng)為2,底角C為,腰AB長(zhǎng)為,為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)的最小值為,若關(guān)于a的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義以及向量數(shù)量積的運(yùn)算律,可得出,推出.代入整理可得題意可轉(zhuǎn)化為,即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè),根據(jù)根的分布情況得出不等式組,求解不等式組,即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,由題意,,,,設(shè),,則,,所以,.當(dāng)時(shí),有最小值,所以.由題意知,,即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè),所以有,即,解得.故選:C.二、多選題9.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,,.則(

)A. B. C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理得到,A正確,,,B錯(cuò)誤,根據(jù)余弦定理得到,C錯(cuò)誤,計(jì)算面積得到D正確,得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A:,則,即,,,,故,,故,正確;對(duì)選項(xiàng)B:根據(jù)正弦定理:,即,,,故,則,錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)C:根據(jù)余弦定理:,即,解得,或(舍去),錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)D:,正確.故選:AD10.主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是:先通過(guò)微型麥克風(fēng)采集周?chē)脑肼暎缓蠼翟胄酒膳c噪聲振幅相同、相位相反的聲波來(lái)抵消噪聲,設(shè)噪聲聲波曲線(xiàn)函數(shù)為,降噪聲波曲線(xiàn)函數(shù)為,已知某噪聲的聲波曲線(xiàn)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.B.C.曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為,D.將圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象【正確答案】ABC【分析】根據(jù)題意得到A正確,根據(jù)周期得到,根據(jù)得到,根據(jù)得到,B正確,計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸得到C正確,根據(jù)平移法則得到D錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A:,正確;對(duì)選項(xiàng)B:,故,,且在的單調(diào)遞減區(qū)間上,,則,,故,又,故,,正確;對(duì)選項(xiàng)C:,由,解得,,正確;對(duì)選項(xiàng)D:圖像向左平移個(gè)單位得到:,錯(cuò)誤.故選:ABC11.設(shè),為復(fù)數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若,則 B.若,則的最大值為C. D.【正確答案】ACD【分析】設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B,根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示及向量的不等式,即可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng):設(shè),,、不同時(shí)為零,則,因?yàn)椋?,則,所以,故A正確;對(duì)于B,設(shè),,由,則,即,在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示以為圓心,為半徑的圓,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:設(shè),,,則,所以,,所以,所以,故C正確;對(duì)于D:由確定向量,確定向量,結(jié)合向量不等式可得,即恒成立,所以D正確.故選:ACD12.已知函數(shù)在上單調(diào),且滿(mǎn)足,.若在有且僅有7個(gè)零點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.B.C.與在上有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)D.在上單調(diào)遞增【正確答案】AC【分析】確定的對(duì)稱(chēng)中心為,對(duì)稱(chēng)軸為,得到,根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到,,A正確,B錯(cuò)誤,確定得到C正確,計(jì)算單調(diào)區(qū)間得到D錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】在區(qū)間上單調(diào),,,,故的對(duì)稱(chēng)中心為,且,則,故,且,故的對(duì)稱(chēng)軸為.從而,且,故,,在上有且僅有7個(gè)零點(diǎn),故,即,故,,又,所以,對(duì)選項(xiàng)A:,正確;對(duì)選項(xiàng)B:,錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)C:,則,,有4個(gè)解,正確;對(duì)選項(xiàng)D:由得,,即在,上單調(diào)遞增,故在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,錯(cuò)誤.故選:AC三、填空題13.已知的共軛復(fù)數(shù)為,則____________.【正確答案】/【分析】直接代入復(fù)數(shù)計(jì)算即可.【詳解】由已知得.故答案為.14.在平面直角坐標(biāo)系中,角α以為始邊,角α的終邊過(guò)點(diǎn),且,則____________.【正確答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得,再根據(jù)兩角差的正切公式即可求得答案.【詳解】由題意得角α的終邊過(guò)點(diǎn),故,故,故15.已知,,,則的最大值為_(kāi)___________.【正確答案】/【分析】將化為,繼而將變形為,展開(kāi)后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知,,,則,而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故的最大值為.故.16.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4,P為正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值為_(kāi)___________.【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求得的坐標(biāo),根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達(dá)式,配方后即可求得答案.【詳解】如圖,以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以為x軸,過(guò)點(diǎn)O作的垂線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè)點(diǎn),則,故,故當(dāng),即P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),取到最小值為,故方法點(diǎn)睛:建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得的表達(dá)式即可求解最值.四、解答題17.已知函數(shù)(1)求的最小正周期;(2)若在區(qū)間上的最小值為2,求在該區(qū)間上的最大值.【正確答案】(1)(2)5【分析】(1)先將函數(shù)變形為的形式,進(jìn)而可得周期;(2)先利用正弦函數(shù)的性質(zhì),通過(guò)函數(shù)的最小值可得,進(jìn)而可求最大值.【詳解】(1)由已知得,的最小正周期為;(2)當(dāng)時(shí),,的最小值為,在該區(qū)間上的最大值為,當(dāng),即時(shí)可以取到.18.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知.(1)求A;(2)若的面積,求.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而求解;(2)結(jié)合題意和三角形面積公式得到,然后利用余弦定理得到,最后結(jié)合正弦定理即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?,由二倍角公式可得,,又因?yàn)椋?,則,所以.(2)由,得,則①,又,所以,②由①②可得:,將其代入②式可得:,由正弦定理可得:,則.19.如圖,平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)C,點(diǎn)滿(mǎn)足,,設(shè),,且.(1)用,表示;(2)若,求.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算,即可求得答案;(2)根據(jù)得,結(jié)合,可推出,利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】(1)由題意得;(2)因?yàn)?,所以,即,結(jié)合,可得,故,因?yàn)椋?20.如圖,在平面四邊形中,,,.(1)若,求的面積;(2)若,求.【正確答案】(1)6(

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