上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）在答題紙上填寫(xiě)相應(yīng)結(jié)果1.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的周期計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則其最小正周期為.故答案為:2.已知扇形的半徑為6，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____．【正確答案】##【分析】根據(jù)扇形的面積公式可求弧長(zhǎng).【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，則.故答案為.3.已知，則x取值集合為_(kāi)_____．（答案用反正弦表示）【正確答案】或【分析】由題意可得，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】由可得，則或故x取值集合為或故或.4.已知，則______．【正確答案】1【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求式，再分子分母同時(shí)除以，代入即可求出答案.【詳解】.故1.5.若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則在的數(shù)量投影為_(kāi)_____．【正確答案】1【分析】根據(jù)投影的計(jì)算公式求解即可.【詳解】是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，所以在的數(shù)量投影為.故1.6.若函數(shù)，為偶函數(shù)，則_____【正確答案】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)偶函數(shù)，則，即，解得，又因?yàn)椋?故答案為.本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，已知，則的外接圓半徑________.【正確答案】【分析】運(yùn)用余弦定理和正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由余弦定理可知：，根據(jù)正弦定理可得的外接圓半徑，故8.關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【正確答案】【詳解】試題分析：．,,,即,．故考點(diǎn)：1三角函數(shù)值域;2配方法求值域．9.函數(shù)的圖象如下，求它的解析式__________.【正確答案】【分析】根據(jù)最高點(diǎn)可確定，利用周期，將代入即可求解.【詳解】由圖象最高點(diǎn)可知,由點(diǎn)和可得周期,此時(shí)將代入得,由于，所以取，故故答案為.10.函數(shù)的圖像在上恰好有一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】令，畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖象得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則函數(shù)的圖象如下圖所示要使得函數(shù)的圖像在上恰好有一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為1則，解得故11.對(duì)于函數(shù)，有以下4個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形；②任取，恒成立；③函數(shù)的圖象與軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)的距離相等；④函數(shù)與直線的圖象有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)間的距離相等.其中正確的結(jié)論序號(hào)為_(kāi)______________.【正確答案】①③【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特例法逐一判斷即可.【詳解】①：因?yàn)?，所以該函?shù)是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，因此本結(jié)論正確；②：因?yàn)椋?，因此不成立，所以本結(jié)論不正確；③：令，即，或，當(dāng)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)的圖象與軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)的距離相等，因此本結(jié)論正確；④：，或，當(dāng)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，，顯然任意兩相鄰交點(diǎn)間的距離相等不正確，因此本結(jié)論不正確；故①③12.已知平面向最，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，成立．若，則的最大值是______．【正確答案】【分析】由題意畫(huà)出圖形，知，在以為直徑的圓上，過(guò)作，交于，交圓于，在上的射影最長(zhǎng)為，，設(shè)，則，，可得，代入．整理后利用二次函數(shù)求最值．【詳解】如圖，設(shè)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，成立，如圖令，則，，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都有，即，因?yàn)榇咕€段距離最短，即為點(diǎn)到的垂線段長(zhǎng)度，即，同理可得，即，在以為直徑的圓上，過(guò)作，交于，交圓于，在上的射影最長(zhǎng)為，．設(shè)，則，，，，則當(dāng)時(shí)，有最大值為．故答案為.二、選擇題（每題4分，共16分）在答題紙上填涂相應(yīng)結(jié)果13.“，”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可得條件關(guān)系.【詳解】若，則，若，則，不能推出故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.14.在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】C【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，由已知向量等式可得AB與CD垂直，從而得到三角形為等腰三角形.【詳解】若，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則，即AB與CD垂直且D為AB的中點(diǎn)，所以可得CB=CA，即三角形為等腰三角形.故選：C15.在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是A. B.C D.【正確答案】C【詳解】，A是正確的，同理B也正確，對(duì)于D答案可變形為，通過(guò)等積變換判斷為正確.16.已知，，，，滿足，，，有以下個(gè)結(jié)論：①存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得的值是一個(gè)常數(shù)；②存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得的值是一個(gè)常數(shù).下列說(shuō)法正確的是（）A.結(jié)論①、②都成立B.結(jié)論①不成立、②成立C.結(jié)論①成立、②不成立D.結(jié)論①、②都不成立【正確答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換知識(shí)，分別將和用，表示即可.【詳解】對(duì)于結(jié)論①，∵，，∴，，∴，∴，∴當(dāng)為常數(shù)，時(shí)，不是一個(gè)常數(shù)，故結(jié)論①不成立；對(duì)于結(jié)論②，方法一：∵又∵∴化簡(jiǎn)得，∴存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得，故結(jié)論②成立.方法二：（特值法）當(dāng)時(shí)，，∴，∴.∴存在常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得，故結(jié)論②成立.故選：B.本題中結(jié)論②的判斷，使用常規(guī)三角恒等變換的方法運(yùn)算量較大，對(duì)于存在性結(jié)論，使用特值法可以有效驗(yàn)證其正確性，減少運(yùn)算量.三、解答題（共46分，6+8+6+10+12=42）在答題紙上填寫(xiě)結(jié)果17.已知，，（1）若與的夾角為120°，求；（2）若與垂直，求與的夾角.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用數(shù)量積去求的值；（2）先求得與夾角夾角的余弦值，再去求與的夾角.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】由與垂直，可得，則則，又，則即與的夾角為18.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值，并確定的大小.【正確答案】（1）（2），【分析】（1）由解得，由求出，利用兩角差的余弦公式求解的值；（2）由，求出，再求，利用兩角差的正切公式計(jì)算的值，并得到的大小.【小問(wèn)1詳解】，由，，，又，，，.小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，，，.19.如圖，在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A，且，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B，設(shè)、，分別過(guò)A、B作x軸的垂線，垂足依次為C、D，記的面積為，的面積為，若，求的值．【正確答案】【分析】用的三角函數(shù)表示，根據(jù)可解出.【詳解】由已知，得，

，得，即，化簡(jiǎn)得，解得，又，，

∴20.如圖，折線為海岸線，km，，，.（1）求的長(zhǎng)度；（2）若km，求D到海岸線的最短距離.（以上答案都精確到0.001km）【正確答案】（1）14.911km.（2）km.【分析】(1)在中利用正弦定理列式即可求出線段BC的長(zhǎng).(2)求出邊AB上的高，邊BC上的高，再比較大小即可判斷作答.【小問(wèn)1詳解】在中，km，，，則，由正弦定理得：(km)，所以的長(zhǎng)度是14.911km.【小問(wèn)2詳解】在中，，km，km，由正弦定理得：，于是得，則，過(guò)D作于E，于F，如圖，因此，(km)，(km)，顯然，所以D到海岸線的最短距離是km.21.已知.（1）將化成；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)減區(qū)間；（3）將函數(shù)的圖像向右移動(dòng)個(gè)單位，再將所得圖像的上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到的圖像，若在區(qū)間上至少有100個(gè)最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)給定條件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，輔助角公式變形即可得解.（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列式計(jì)算作答.（3）利用（1）的結(jié)論結(jié)合給定的變換求出的解析式，再借助的性質(zhì)列式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，則由得，即在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)減區(qū)間是.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，將函數(shù)圖像向右移動(dòng)個(gè)單位所得函數(shù)為，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍得到的圖像，所以，則的周期為因?yàn)樵趨^(qū)間上至少有100個(gè)最大值，所以在長(zhǎng)為2的區(qū)間上至少有99.5個(gè)周期，因此，，解得，而，于是得，所以的取值范圍上海市松江區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.復(fù)數(shù)的虛部是__________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念即可得解.【詳解】由復(fù)數(shù)虛部的概念，易知復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】令，即可求出答案.【詳解】令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為.3.若扇形的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為54°，且半徑為20cm，則該扇形的面積為_(kāi)_____cm2．【正確答案】【分析】利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.【詳解】由弧長(zhǎng)公式知：該扇形的弧長(zhǎng)為(cm).則該扇形的面積為.故4.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則______.【正確答案】##【分析】由正弦定理結(jié)合三角形中角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，，，在中，由正弦定理，得，所以，解得，因?yàn)橹?，，所以，所?故答案為.5.已知點(diǎn)是中線上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則滿足的等式是__________.【正確答案】【分析】把用向量表示出來(lái)，利用三點(diǎn)共線可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以.故答案為.6.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則_________.【正確答案】【分析】利用同角的基本關(guān)系式，可得，代入所求，結(jié)合輔助角公式，即可求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故答案為本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，輔助角公式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題7.函數(shù)的振幅是2，最小正周期是，初始相位是-3，則它的解析式為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】根據(jù)振幅，周期，初始相位，直接對(duì)應(yīng)系數(shù)，即可求解.【詳解】因?yàn)檎穹?，所以，周期，得，初始相位是，所以，所以函數(shù)的解析式.故8.已知，，則向量在上的投影向量為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】由題意知，的單位向量為，所以向量在方向上的投影向量為，故9.已知，且，則____________．【正確答案】【分析】根據(jù)，得到，求出，利用湊角法，結(jié)合余弦的和角公式求出答案.【詳解】，故，因?yàn)?，所以，所以，?故答案為.10.記函數(shù)所過(guò)定點(diǎn)為P，若P位于冪函數(shù)的圖象上，則_________．【正確答案】【分析】求出函數(shù)所過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入冪函數(shù)解析式求出的解析式，再求的值.【詳解】在函數(shù)中令得，故所過(guò)定點(diǎn)為，設(shè)，將代入得，所以，故，所以.故11.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則______．【正確答案】【分析】先根據(jù)平移規(guī)律求出，然后再由為偶函數(shù)得出滿足的關(guān)系式，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是上偶函數(shù)，所以，得，且，即，所以.故答案為.12.設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則方程解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【正確答案】11【分析】方程的解的個(gè)數(shù)，即可函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分與兩種情況分別畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，，方程的解的個(gè)數(shù)，即可得函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)畫(huà)出兩函數(shù)圖形如下所示：由圖可知與在上有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，畫(huà)出兩函數(shù)圖形如下所示：由圖可知與在上有個(gè)交點(diǎn)，綜上可得與有個(gè)交點(diǎn)，故方程有個(gè)解；故二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.與一定相等的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)各選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】，對(duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，.故選：D.14.若實(shí)數(shù)a使得，則（）A. B.C.且 D.a可以是任意實(shí)數(shù)【正確答案】D【分析】先求時(shí)的范圍，再求其補(bǔ)集即可.【詳解】設(shè)，則，所以，此方程組無(wú)解，所以使的實(shí)數(shù)不存在，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總有，故選：D.15.阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移s（cm）和時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，則（）A. B.π C. D.2π【正確答案】B【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖象，并確定連續(xù)三次位移為的時(shí)間，，，即可得，可求參數(shù).【詳解】由正弦型函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)示意圖如下：所以，則，可得.故選：B16.設(shè)函數(shù)，給出的下列結(jié)論中正確的是（）①當(dāng)，時(shí)，為偶函數(shù)；②當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；③當(dāng)，時(shí)，區(qū)間恰有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的最大值為A.① B.①④ C.①②③ D.①③④【正確答案】B【分析】①當(dāng)時(shí)，，由偶函數(shù)的定義判斷①正確；②當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，求得函數(shù)的零點(diǎn)判斷③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，令，求其最大值判斷④正確.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，由，得，則在上不單調(diào)，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，由，得，即則，共4個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，周期，區(qū)間的長(zhǎng)度為，即為周期，所以當(dāng)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)，最大，令，其中，即設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則，故④正確.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．17.設(shè)z為復(fù)數(shù)．（1）若，求值；（2）若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，求實(shí)數(shù)k的值．【正確答案】（1）5（2）【分析】（1）把已知等式兩邊取模求解；（2）由實(shí)數(shù)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列式求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，則.【小問(wèn)2詳解】關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，則，，解得：或，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，所以，則.18.在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（1）當(dāng)p=，b=1時(shí)，求a，c的值；（2）若角B為銳角，求p的取值范圍．【正確答案】（1）a=1，c=或a=，c=1（2）＜p＜【詳解】（1）解：由題設(shè)并利用正弦定理得故可知a，c為方程x2﹣x+=0的兩根，進(jìn)而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因?yàn)?＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由題設(shè)知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正數(shù)故＜p＜即為所求19.（1）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)；（2）某國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)長(zhǎng)105m，寬68m，球門AB寬7.32m．當(dāng)足球運(yùn)動(dòng)員M沿邊路帶球突破時(shí)，距底線CA多遠(yuǎn)處射門，對(duì)球門所張的角最大？（精確到1米）【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）34m【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)兩角差的正切公式解得條件表示出張角的正切，然后根據(jù)基本不等式即得.【詳解】（1）設(shè)任意的且，則，因?yàn)榍?，，，，所以，即，即?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，故在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員在，球門為，依題意，，設(shè)，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)等號(hào)成立，所以距底線米處射球門，對(duì)球門所張的角最大.20.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，P為三角形ABC所在平面上一點(diǎn)．（1）若，求△PAB的面積；（2）若，求的最大值；（3）求的最小值．【正確答案】（1）；