2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得結(jié)果.【詳解】由，則有，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限.故選：C.2.中，是角的對邊，，則此三角形有（）A.一個解 B.2個解 C.無解 D.解的個數(shù)不確定【正確答案】B【分析】利用正弦定理得，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵中，，∴根據(jù)正弦定理，得，∵B為三角形的內(nèi)角，，則有或，∴三角形的解有兩個．故選：B．3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）A.BC.D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個基底，故D正確.故選：D4.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知可求得，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，向量在向量上的投影向量?故選：C．5.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.表示出3個幾何體的表面積，得出，進(jìn)而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.【詳解】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以，；如圖，正四面體，為的中點(diǎn)，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以，正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知，所以，所以，；球的表面積為，所以，所以，.因?yàn)?，所以，，所以?故選：B.6.如圖，直角梯形中，，，，梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺，可知外接球的球心一定在線段或的延長線上.取圓臺的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺.取圓臺的軸截面由題意知，球心一定在線段或的延長線上如圖1，當(dāng)球心在線段上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，，則由勾股定理可得，，即，整理可得，解得（舍去）；如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，則，則由勾股定理可得，，即，整理可得，解得.所以，，所以，圓臺外接球的表面積為.故選：D.7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用正八面體的面積和減去六個頂點(diǎn)的曲率和可得結(jié)果.【詳解】正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點(diǎn)，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B.8.中，，，是角，，的對邊，，其外接圓半徑，且，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知可得，，進(jìn)而可得，，可求．【詳解】由正弦定理得，即，，，又，則，則，即，得①，因?yàn)椋瑒t，則，即②，結(jié)合①②解得，，則，，所以．故選：A．本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)為直線，，為兩個不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】CD【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項(xiàng)得答案.【詳解】若，則與可能平行，可能相交，A選項(xiàng)錯誤；若，則或，B選項(xiàng)錯誤；若，根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，則，C選項(xiàng)正確；若，一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，則一定垂直與另一個，則，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A.是的一個周期B.的圖像關(guān)于對稱C.將的圖像向右平移個單位后對應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在上有2個零點(diǎn)【正確答案】BD【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，先求出函數(shù)的解析式為，從而可判斷其周期、軸對稱、變換后的解析式，即可判斷A，B，C；依題意求得函數(shù)在上與有兩個交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)，則，得．又函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則，，得．所以，即．故有的最小正周期為，故A錯誤；又為最大值，可得的圖像關(guān)于對稱，故B正確；將的圖像向右平移個單位后對應(yīng)函數(shù)為，是一個奇函數(shù)，故C錯誤；由，則，則，又，，且，所以函數(shù)在上與有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，故D正確．故選：BD．11.中，是角的對邊，，則（）A.若，則B.若，則的面積為C.若，則角的角平分線D.若為銳角三角形，，則邊長【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意并結(jié)合余弦定理可得，由正弦定理以及三角恒等變換可得，即可判斷AB正確；由等面積可知，即C錯誤；根據(jù)三角形形狀可得，即可確定，可解得，所以D正確.【詳解】根據(jù)題意由，結(jié)合余弦定理可得，，又因?yàn)椋?；利用正弦定理可得，再由可得，，即，所以；又因?yàn)椋?，即；對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，由可得，所以的面積為，即B正確；對于C，如下圖所示：由等面積可知，由選項(xiàng)B可得，所以，即，解得，所以C錯誤；對于D，若為銳角三角形，，則可得，且，即，解得，所以又，所以，因此，即D正確故選：ABD12.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別為面，的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A.B.面C.直線與平面所成角的余弦值為D.過點(diǎn)且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面周長為【正確答案】ACD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的性質(zhì)，利用是否等于零，即可判斷A；求出平面的法向量，與是否垂直，即可判斷B；根據(jù)直線與平面所成的角的余弦值可先求出與平面的法向量的余弦值，再根據(jù)角的關(guān)系求出所要求的結(jié)果，即可判斷C；做出過點(diǎn)且與直線垂直的平面的截面圖，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出其周長，即可計(jì)算出D．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，對于A，由，，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)平面的法向量為，由，，，則即，令，則，，則，又，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，設(shè)直線與平面所成的角為，又，結(jié)合選項(xiàng)B得，所以，故C正確；對于D，結(jié)合C選項(xiàng)得，則平面，取，的中點(diǎn)為，，，由幾何關(guān)系可知，，，則組成一個平面，由，，，均在平面內(nèi)，則平面，即過點(diǎn)且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面如圖所示平面，則截面的周長為，故D正確．故選：ACD．本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正為水平放置的的直觀圖，若，則的面積為__________.【正確答案】【分析】求出正的面積，再利用直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】依題意，正的面積，因?yàn)橹庇^圖與原圖形的面積比為，所以的面積.故14.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解【詳解】設(shè)，∵，，即，解得，則有，.故答案為.15.中，為邊上一點(diǎn)，若，則__________.【正確答案】1【分析】設(shè)，有，，在中，由正弦定理求出，得到，可求.【詳解】如圖所示，設(shè)，由，則，所以，，，在中，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，即，整理得，即，?故116.已知平面向量滿足，則的最大值為__________.【正確答案】12【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義作出圖形，觀察和以及兩個向量夾角的變化，判斷取最大值的位置.【詳解】設(shè)，則由，則，B點(diǎn)在以A為圓心2為半徑的圓周上，C點(diǎn)在以A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所示，，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，在如圖所示的位置，有最大值4，有最大值3，此時取最大值1，所以的最大值為12.故12.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.17.已知向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求得，結(jié)合向量垂直的數(shù)量積的表示，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用且與不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】解：由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?【小問2詳解】解：由（1）知，，解得，又由向量與不共線，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.（1）證明：平面：（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由勾股定理證明所以，又，可證平面.（2）由，利用體積法求點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】四邊形為等腰梯形，，過點(diǎn)C作于E，如圖所示，則，可知，由余弦定理知，則，所以，又，平面，，所以平面.【小問2詳解】連接BD，如圖所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，則，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.19.在中，對應(yīng)的邊分別為的外接圓面積為.（1）求的值；（2）若點(diǎn)在上，且直線平分角，求線段的長度.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理計(jì)算可得外接圓半徑為，即可求出；（2）利用角平分線定理可得，再由余弦定理計(jì)算可得.小問1詳解】由，利用余弦定理可得，所以；因此的外接圓的半徑為，所以的外接圓的面積【小問2詳解】如下圖所示：由直線平分角，利用角平分線定理可得，又，所以，因此在中，由余弦定理可得，所以，即線段的長度為20.如圖所示，已知四邊形和四邊形都是矩形.平面平面分別是對角線上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且.（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)時，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)與判定定理結(jié)合條件直接證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解二面角夾角余弦值.【小問1詳解】過N作NGDE與AD交于G點(diǎn)，連接MG，因?yàn)镹G平面CDE，平面CDE，所以NG平面CDE，因?yàn)镹GDE，所以，因?yàn)?，，所以，所以MGABCD，因?yàn)镸G平面CDE，平面CDE，所以平面CDE，因?yàn)?，平面MNG，平面MNG，所以平面MNG平面CDE，因?yàn)槠矫鍹NG，所以直線MN平面CDE；【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面ADEF，，所以平面ABCD，則以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AF為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)，如圖，可得，，，，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，所以，令，可得，，設(shè)平面MND的法向量為，，，則，所以，令，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值..21.如圖，在三棱臺中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）記二面角的大小為.①當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值.②當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）①，②最大值為【分析】（1）由三棱臺性質(zhì)及其邊長即可證明平面，利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）①由題意可知即為二面角的平面角，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得，平面的一個法向量為，把代入可得直線與平面所成角的正弦值為；②當(dāng)時，，利用的范圍即可求得直線與平面所成角的正弦的最大值為.【小問1詳解】因?yàn)闉榈妊切?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面【小問2詳解】在平面內(nèi)，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又因?yàn)?，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，設(shè)平面的一個法向量為，所以，可令，則，即；①當(dāng)時，，，設(shè)直線與平面所成角的為，所以，即時，直線與平面所成角的正弦值為.②當(dāng)時，，設(shè)，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，即，易知，所以；易知當(dāng)時，，所以當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦的最大值為.22.在中，對應(yīng)的邊分別為，（1）求；（2）奧古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點(diǎn)，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.求的最小值.【正確答案】（1）（2）分析】（1）先用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可以解出.（2）將構(gòu)造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結(jié)合余弦定理可解.【小問1詳解】由正弦定理得即由余弦定理有，若，等式不成立，則，所以因?yàn)?，所?【小問2詳解】.又，由三維分式型柯西不等式有.當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.由余弦定理得，所以即，則.令，則因?yàn)榻獾?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.則.令，則在上遞減，當(dāng)即時，有最大值，此時有最小值.要能仿照三維分式型柯西不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造，找到所求要素與柯西不等式的內(nèi)在聯(lián)系，再結(jié)合余弦定理和基本不等式等知識進(jìn)行求解，屬于難題.2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.中，是角的對邊，，則此三角形有（）A.一個解 B.2個解 C.無解 D.解的個數(shù)不確定3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）A.B.C.D.4.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.5.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.6.如圖，直角梯形中，，，，梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.8.中，，，是角，，對邊，，其外接圓半徑，且，則（）A.1 B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)為直線，，為兩個不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則10.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A.是的一個周期B.的圖像關(guān)于對稱C.將的圖像向右平移個單位后對應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在上有2個零點(diǎn)11.中，是角對邊，，則（）A.若，則B.若，則的面積為C.若，則角角平分線D.若為銳角三角形，，則邊長12.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別為面，的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A.B.面C.直線與平面所成角的余弦值為D.過點(diǎn)且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面周長為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正為水平放置的的直觀圖，若，則的面積為__________.14.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.15.中，為邊上一點(diǎn)，若，則__________.16.已知平面向量滿足，則的最大值為__________.四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.17.已知向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.（1）證明：平面：（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.19.在中，對應(yīng)的邊分別為的外接圓面積為.（1）求值；（2）若點(diǎn)在上，且直線平分角，求線段的長度.20.如圖所示，已知四邊形和四邊形都是矩形.平面平面分別是對角線上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且.（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)時，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.21.如圖，在三棱臺中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）記二面角的大小為.①當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值.②當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦的最大值.22.在中，對應(yīng)的邊分別為，（1）求；（2）奧古斯丁.路易斯.柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點(diǎn)，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.求的最小值.答案解析一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得結(jié)果.【詳解】由，則有，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限.故選：C.2.中，是角的對邊，，則此三角形有（）A.一個解 B.2個解 C.無解 D.解個數(shù)不確定【正確答案】B【分析】利用正弦定理得，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵中，，∴根據(jù)正弦定理，得，∵B為三角形的內(nèi)角，，則有或，∴三角形的解有兩個．故選：B．3.下列幾組空間向量中，不能作為空間向量基底的是（）A.B.C.D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設(shè)，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個基底，故D正確.故選：D4.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知可求得，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，向量在向量上的投影向量?故選：C．5.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.表示出3個幾何體的表面積，得出，進(jìn)而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.【詳解】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以，；如圖，正四面體，為的中點(diǎn)，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以，正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知，所以，所以，；球的表面積為，所以，所以，.因?yàn)?，所以，，所以?故選：B.6.如圖，直角梯形中，，，，梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺，可知外接球的球心一定在線段或的延長線上.取圓臺的軸截面，分情況討論，作圖，分別根據(jù)幾何關(guān)系求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】由題意可知，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺.取圓臺的軸截面由題意知，球心一定在線段或的延長線上如圖1，當(dāng)球心在線段上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，，則由勾股定理可得，，即，整理可得，解得（舍去）；如圖2，當(dāng)球心在的延長線上時.過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以，.設(shè)球的半徑為，，則，則由勾股定理可得，，即，整理可得，解得.所以，，所以，圓臺外接球的表面積為.故選：D.7.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用正八面體的面積和減去六個頂點(diǎn)的曲率和可得結(jié)果.【詳解】正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點(diǎn)，因此，該正八面體的總曲率為.故選：B.8.中，，，是角，，的對邊，，其外接圓半徑，且，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知可得，，進(jìn)而可得，，可求．詳解】由正弦定理得，即，，，又，則，則，即，得①，因?yàn)?，則，則，即②，結(jié)合①②解得，，則，，所以．故選：A．本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)為直線，，為兩個不同平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【正確答案】CD【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個選項(xiàng)得答案.【詳解】若，則與可能平行，可能相交，A選項(xiàng)錯誤；若，則或，B選項(xiàng)錯誤；若，根據(jù)垂直于同一直線的兩個平面平行，則，C選項(xiàng)正確；若，一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，則一定垂直與另一個，則，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A.是的一個周期B.的圖像關(guān)于對稱C.將的圖像向右平移個單位后對應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在上有2個零點(diǎn)【正確答案】BD【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，先求出函數(shù)的解析式為，從而可判斷其周期、軸對稱、變換后的解析式，即可判斷A，B，C；依題意求得函數(shù)在上與有兩個交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)，則，得．又函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則，，得．所以，即．故有的最小正周期為，故A錯誤；又為最大值，可得的圖像關(guān)于對稱，故B正確；將的圖像向右平移個單位后對應(yīng)函數(shù)為，是一個奇函數(shù)，故C錯誤；由，則，則，又，，且，所以函數(shù)在上與有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，故D正確．故選：BD．11.中，是角的對邊，，則（）A.若，則B.若，則的面積為C.若，則角的角平分線D.若為銳角三角形，，則邊長【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意并結(jié)合余弦定理可得，由正弦定理以及三角恒等變換可得，即可判斷AB正確；由等面積可知，即C錯誤；根據(jù)三角形形狀可得，即可確定，可解得，所以D正確.【詳解】根據(jù)題意由，結(jié)合余弦定理可得，，又因?yàn)椋?；利用正弦定理可得，再由可得，，即，所以；又因?yàn)?，所以，即；對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，由可得，所以的面積為，即B正確；對于C，如下圖所示：由等面積可知，由選項(xiàng)B可得，所以，即，解得，所以C錯誤；對于D，若為銳角三角形，，則可得，且，即，解得，所以又，所以，因此，即D正確.故選：ABD12.已知正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別為面，的中心，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（）A.B.面C.直線與平面所成角的余弦值為D.過點(diǎn)且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面周長為【正確答案】ACD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的性質(zhì)，利用是否等于零，即可判斷A；求出平面的法向量，與是否垂直，即可判斷B；根據(jù)直線與平面所成的角的余弦值可先求出與平面的法向量的余弦值，再根據(jù)角的關(guān)系求出所要求的結(jié)果，即可判斷C；做出過點(diǎn)且與直線垂直的平面的截面圖，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出其周長，即可計(jì)算出D．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，對于A，由，，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)平面的法向量為，由，，，則即，令，則，，則，又，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，設(shè)直線與平面所成的角為，又，結(jié)合選項(xiàng)B得，所以，故C正確；對于D，結(jié)合C選項(xiàng)得，則平面，取，的中點(diǎn)為，，，由幾何關(guān)系可知，，，則組成一個平面，由，，，均在平面內(nèi)，則平面，即過點(diǎn)且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面如圖所示平面，則截面的周長為，故D正確．故選：ACD．本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正為水平放置的的直觀圖，若，則的面積為__________.【正確答案】【分析】求出正的面積，再利用直觀圖與原圖形面積間的關(guān)系計(jì)算作答.【詳解】依題意，正的面積，因?yàn)橹庇^圖與原圖形的面積比為，所以的面積.故14.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解【詳解】設(shè)，∵，，即，解得，則有，.故答案為.15.中，為邊上一點(diǎn)，若，則__________.【正確答案】1【分析】設(shè)，有，，在中，由正弦定理求出，得到，可求.【詳解】如圖所示，設(shè)，由，則，所以，，，在中，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，整理得，即，?故116.已知平面向量滿足，則的最大值為__________.【正確答案】12【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義作出圖形，觀察和以及兩個向量夾角的變化，判斷取最大值的位置.【詳解】設(shè)，則由，則，B點(diǎn)在以A為圓心2為半徑的圓周上，C點(diǎn)在以A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所示，，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，在如圖所示的位置，有最大值4，有最大值3，此時取最大值1，所以的最大值為12.故12.四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）.17.已知向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求得，結(jié)合向量垂直的數(shù)量積的表示，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用且與不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】解：由向量，可得，因?yàn)?，可得，解?【小問2詳解】解：由（1）知，，解得，又由向量與不共線，可得，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍是18.如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.（1）證明：平面：（2）若，求點(diǎn)到平面距離.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由勾股定理證明所以，又，可證平面.（2）由，利用體積法求點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】四邊形為等腰梯形，，過點(diǎn)C作于E，如圖所示，則，可知，由余弦定理知，則，所以，又，平面，，所以平面.【小問2詳解】連接BD，如圖所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，則，，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.19.在中，對應(yīng)的邊分別為的外接圓面積為.（1）求的值；（2）若點(diǎn)在上，且直線平分角，求線段的長度.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理計(jì)算可得外接圓半徑為，即可求出；（2）利用角平分線定理可得，再由余弦定理計(jì)算可得.【小問1詳解】由，利用余弦定理可得，所以；因此的外接圓的半徑為，所以的外接圓的面積【小問2詳解】如下圖所示：由直線平分角，利用角平分線定理可得，又，所以，因此在中，由余弦定理可得，所以，即線段的長度為20.如圖所示，已知四邊形和四邊形都是矩形.平面平面分別是對角線上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且.（1）求證：直線平面；（2）當(dāng)時，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)與判定定理結(jié)合條件直接證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解二面角夾角余弦值.【小問