選修導數(shù)的幾何意義

3.1.3導數(shù)的幾何意義一、復習1、導數(shù)的定義其中：⑴

其幾何意義是表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。2:切線Pl

能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。不能xyo直線與圓相切時，只有一個交點PPQoxyy=f(x)割線切線T1、曲線上一點的切線的定義結(jié)論:當Q點無限逼近P點時,此時直線PQ就是P點處的切線PT.點P處的割線與切線存在什么關(guān)系？新授xoyy=f(x)

設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象，在曲線C上取一點P(x0,y0)及鄰近一點Q(x0+△x,y0+△y),過P,Q兩點作割線，當點Q沿著曲線無限接近于點P點P處的切線。即△x→0時,如果割線PQ有一個極限位置PT,那么直線PT叫做曲線在曲線在某一點處的切線的定義△x△yPQT此處切線定義與以前的定義有何不同？PPnoxyy=f(x)割線切線T當點Pn沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.

圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。

xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？

即：當△x→0時，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點P處的切線的斜率，xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T繼續(xù)觀察圖像的運動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.

設(shè)切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:

這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.

要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.

函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.

故曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程是:題型三：導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用例1:（1）求函數(shù)y=3x2在點(1,3)處的導數(shù).（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.題型三：導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用例2:如圖,已知曲線,求:

(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.練：設(shè)f(x)為可導函數(shù),且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.題型三：導數(shù)的幾何意義的應(yīng)用hto練習:如圖已知曲線,求:(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．什么是導函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,f’(x0)是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?看一個例子:3、判斷曲線y=2x2在點P(1,2)處是否有切線，如果有，求出切線的方程.1、設(shè)函數(shù)y=f(x),當自變量由xo改變到xo+Δx時，函數(shù)的改變量Δy=()

A、f(xo+Δx)B、f(xo)-f(Δx)C、f(xo)+ΔxD、f(xo+Δx)-f(xo)2、已知曲線y=x2/2上A、B兩點的橫坐標是xo和xo+Δx，則過A、B兩點的直線斜率是（）

模式練習下面把前面知識小結(jié):a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義了解認識這一概念的實質(zhì)，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。（3）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。小結(jié):（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)