《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件 孟祥波 第九章 方差分析

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴(yán)加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第九章方差分析第一節(jié)單因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型四、單因素方差分析表一、單因素方差分析的基本原理三、離差平方和及自由度的分解五、小結(jié)孩子編號甲乙丙丁11701701651582175163171156317716716716441801651721615182174160168表9.1四個家庭的成年孩子的身高（單位：cm）例9.1.1考察甲、乙、丙、丁四個家庭的孩子的身高，已知每個家庭均有5個成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別．家庭稱為因素（或因子），成年孩子的身高稱為試驗指標(biāo)．用表示家庭因素，則有四個水平：甲、乙、丙和丁，也可用表示因素的第個水平所對應(yīng)的5個成年孩子的身高是來自同一個總體的樣本，這里就有4個總體和4個獨立的樣本，通常假定這些總體服從方差相同的正態(tài)分布記分別表示4個總體的總體均值，不全相等則分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別就相當(dāng)于作如下假設(shè)檢驗一、單因素方差分析的基本原理數(shù)據(jù)間的差異系統(tǒng)偏差(組間偏差)：來自不同總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異隨機誤差(組內(nèi)偏差)：來自同一總體樣本數(shù)據(jù)之間的差異同一個家庭的5個孩子的身高是不一樣的，這種差異為隨機誤差；不同家庭的成年孩子的身高也是不一樣的，這種差異為系統(tǒng)偏差．圖9.1四個家庭的成年孩子身高的分組箱線圖若原假設(shè)成立，所有孩子的身高應(yīng)該處于同一水平，即圖中總平均線高度，而實際上受家庭因素和其他隨機因素影響，20個孩子的身高是不全相同的．一、單因素方差分析的基本原理第個家庭的第個孩子的身高

第個家庭的5個孩子的平均身高

所有孩子的總平均身高左端表示單個孩子的身高與總平均身高的差異，可理解為單個樣本數(shù)據(jù)的總離差．右端被拆分為兩項，其中第一項為組內(nèi)偏差，第二項為組間偏差．一、單因素方差分析的基本原理一、單因素方差分析的基本原理總離差平方和組間離差平方和:系統(tǒng)因素所造成的離差平方和組內(nèi)離差平方和:隨機因素所造成的離差平方和單因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和，然后根據(jù)這兩個平方和構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，推導(dǎo)統(tǒng)計量所服從的分布，最后確定檢驗的拒絕域．二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素有個水平，對應(yīng)試驗指標(biāo)的個總體，記為，它們的分布為令二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型組別樣本樣本均值樣本方差表9.2個總體的樣本二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型為

其中（Independentidenticallydistributed）表示獨立同分布．欲檢驗因素對試驗指標(biāo)有無顯著影響，相當(dāng)于檢驗 不全相等二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型令單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型可改寫為式等價于不全為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型表示由因素的第個水平所造成的偏離總均值的增量，稱為因素的第個水平的效應(yīng)，可以看作對總平均的“貢獻”大?。?，稱的效應(yīng)為正，若，稱的效應(yīng)為負(fù)．三、離差平方和及自由度的分解由(9.5)令用作為的估計，作為的估計，作為的估計，作為的估計，則式(9.5)變?yōu)槿?、離差平方和及自由度的分解記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

結(jié)合上述分解,有三、離差平方和及自由度的分解由于所以

三、離差平方和及自由度的分解其中

可以看出為因素所造成的離差平方和，稱為組間離差平方和，

為隨機因素所造成的離差平方和稱為組內(nèi)離差平方和．定理9.1.1在以上記號下，對于模型式(9.5)，有以下結(jié)論成立．(1)

,且與相互獨立(2)原假設(shè)成立時,三、離差平方和及自由度的分解三、離差平方和及自由度的分解構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量

由定理9.1.1可知，當(dāng)原假設(shè)成立時，其中稱為組間均離差平方和，

為組內(nèi)均方離差平方和.三、離差平方和及自由度的分解當(dāng)統(tǒng)計量的觀測值大于某個臨界值時，應(yīng)拒絕原假設(shè),所以對于給定的顯著性水平,檢驗的拒絕域為其中為分布的上側(cè)分位數(shù).四、單因素方差分析表當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響．四、單因素方差分析表可將臨界值換成檢驗的值，其定義為當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響，并且值越小，顯著性越強當(dāng)時，應(yīng)接受原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)無顯著影響當(dāng)，亦即時，為慎重起見，可增加樣本容量，重新進行抽樣檢驗．對于給定的顯著性水平，四、單因素方差分析表例9.1.2考察甲、乙、丙、丁四個家庭的孩子的身高，已知每個家庭均有5個成年的孩子，其身高數(shù)據(jù)如表9.1所列．試分析不同家庭的成年孩子的身高有無顯著差別．（取顯著性水平）解利用表9.1中數(shù)據(jù)，計算得

、

和

的自由度分別為3、16和19，從而可得各均方分別為四、單因素方差分析表計算得于是可得單因素方差分析表如下：四、單因素方差分析表由方差分析表可知，故認(rèn)為不同家庭的成年孩子的身高有顯著差別．小結(jié)單因素方差分析的基本原理單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型離差平方和及自由度分解單因素方差分析表利用統(tǒng)計量判斷是否接受原假設(shè)概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴(yán)加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第九章方差分析第二節(jié)雙因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型四、小結(jié)一、單因素方差分析的基本原理三、統(tǒng)計分析如果在例9.1.1中,不只考慮家庭因素對成年孩子身高的影響,還考慮地域因素的影響,這就是一個雙因素方差分析.一、雙因素方差分析的基本原理如果和對的影響是相互獨立的，此時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析；

如果除了和對試驗結(jié)果的單獨影響外，因素

和因素的搭配還會對產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析．假設(shè)試驗指標(biāo)同時受到因素和的影響，對于無交互作用的雙因素方差分析一、單因素方差分析的基本原理樣本觀測值—總均值

=因素的效應(yīng)+因素的效應(yīng)+隨機誤差一、雙因素方差分析的基本原理無交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為三部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，以及隨機因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這三個平方和構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，推導(dǎo)統(tǒng)計量所服從的分布，最后確定檢驗的拒絕域．對于有交互作用的雙因素方差分析一、雙因素方差分析的基本原理樣本觀測值—總均值=

的效應(yīng)+的效應(yīng)+的交互作用+隨機誤差一、雙因素方差分析的基本原理有交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為四部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，

的交互作用所造成的離差平方和，以及隨機因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這四個平方和構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量，推導(dǎo)統(tǒng)計量所服從的分布，最后確定檢驗的拒絕域．二、雙因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素有個不同的水平，因素有

個不同的水平,每種水平組合

下的試驗結(jié)果看作是取自正態(tài)總體的一個樣本，各水平組合與總體分布如下二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型令則表示因素的第個水平的效應(yīng)，表示因素的第個水平的效應(yīng)，它們滿足二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型1.無交互作用的雙因素方差分析模型若，即每種水平組合下的總體均值可看作是總平均與各因素水平效應(yīng)

的簡單迭加，此時不考慮的交互作用．為簡單起見，假設(shè)每種水平組合下只做一次獨立試驗（無重復(fù)試驗），結(jié)果記為，試驗誤差為，則無交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型1.無交互作用的雙因素方差分析模型二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型若，記

其中表示和對試驗結(jié)果的某種聯(lián)合影響，稱為和的交互作用的效應(yīng)，簡稱交互效應(yīng)，它們滿足為簡單起見，假設(shè)在每種水平組合下均做次試驗（等重復(fù)試驗），并假設(shè)所有的試驗是相互獨立的，所得試驗結(jié)果記為每次試驗誤差記為，則有交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型為研究交互作用的影響是否顯著，在兩因素的各種水平組合下需要做重復(fù)試驗．二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型(9.15)二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型注9.2.1對于雙因素方差分析，若不考慮交互作用，在因素A,B的每種水平組合下只需做一次試驗，即可進行后續(xù)的統(tǒng)計分析，當(dāng)然也可以做重復(fù)試驗．若考慮交互作用，在各水平組合下需要做重復(fù)試驗，才可進行后續(xù)的統(tǒng)計分析．三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析檢驗因素對試驗指標(biāo)的影響是否顯著，等價于檢驗假設(shè)

原假設(shè)成立表示因素對試驗指標(biāo)無顯著影響．類似地，檢驗因素對試驗指標(biāo)的影響是否顯著，等價于檢驗假設(shè)

原假設(shè)成立表示因素對試驗指標(biāo)無顯著影響.(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析假設(shè)每種水平組合下只做一次獨立試驗，試驗結(jié)果如下(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析其中(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由式(9.14)可知

用作為的估計，作為的估計，作為的估計，則有(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

將分解如下：(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析可以證明，在上述平方和分解式中，所有交叉乘積的和項均為0．為因素所造成的離差平方和;為因素所造成的離差平方和;為隨機因素所造成的離差平方和.(1)平方和分解三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析定理9.2.1在以上記號下，對于模型(9.14)，有以下結(jié)論成立：·，且、和相互獨立；·成立時，；·成立時，；·和都成立時，．(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量其中(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.1，在原假設(shè)和分別成立時，有對于給定的顯著性水平，和對應(yīng)的拒絕域分別為(3)無交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)

，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響．(3)無交互作用的雙因素方差分析表當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)

，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響．表中臨界值可以分別替換為檢驗的值，其定義為

對于給定的顯著性水平，當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)．三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析例9.2.1某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料．飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明．隨機從五家超市收集了前一時期該飲料的銷售量數(shù)據(jù)，見下表假設(shè)在超市和顏色的各種搭配下，銷售量總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析超市和飲料的顏色對飲料的銷售量是否有顯著影響．（取顯著性水平）顏色B超市A橘黃色粉色綠色無色126.531.227.930.8228.728.325.129.6325.130.828.532.4429.127.924.231.7527.229.626.532.8三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析解:計算各行、各列的樣本均值及總均值得于是、、和的自由度分別為4、3、12和19，從而可得各均方分別為三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析計算得于是可得雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由方差分析表可知，

,故認(rèn)為超市對飲料的銷售量無顯著影響，而飲料的顏色對飲料的銷售量有顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析對于有交互作用的雙因素方差分析，除了要檢驗無交互作用的雙因素方差分析中的假設(shè)外，還要檢驗假設(shè)原假設(shè)成立表示因素和的交互作用對試驗指標(biāo)無顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解假設(shè)在每種水平組合下均做次試驗，并假設(shè)所有的試驗是相互獨立的，試驗結(jié)果如下三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解由其中三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解用作為的估計，作為的估計，作為的估計，作為的估計，則有記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解可以證明，上式中所有交叉乘積的和項均為0．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中為因素所造成的離差平方和，為因素所造成的離差平方和，為因素的交互作用所造成的離差平方和，為隨機因素所造成的離差平方和．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解定理9.2.2在以上記號下，對于模型(9.15)，有以下結(jié)論成立．·，且、、和相互獨立；·成立時，；·、和都成立時，．·成立時，；·成立時，；(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量其中(2)檢驗的統(tǒng)計量和拒絕域三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.2，在原假設(shè)、和分別成立時，有對于給定的顯著性水平，、和對應(yīng)的拒絕域分別為(3)有交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響．(3)無交互作用的雙因素方差分析表當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對試驗指標(biāo)有顯著影響．當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素的交互作用對試驗指標(biāo)有顯著影響．三、統(tǒng)計分析2.有交互作用的雙因素方差分析(3)無交互作用的雙因素方差分析表表中臨界值可以分別替換為檢驗的值，其定義為

對于給定的顯著性水平，當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)時，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)

時，應(yīng)拒絕原假設(shè)．三、統(tǒng)計分析2．有交互作用的雙因素方差分析例9.2.2考察合成纖維中對纖維彈性有影響的兩個因素：收縮率和總拉伸倍數(shù)，它們各取4種水平，在各水平組合下均做2次試驗，試驗結(jié)果如表中所列假設(shè)在各水平組合下，纖維彈性總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析收縮率、總拉伸倍數(shù)及其交互作用分別對纖維彈性有無顯著影響.(取顯著性水平）

總拉伸倍數(shù)B收縮率AB1(460)B2(520)B3(580)B4(640)A1(0)71,7372,7375,7377,75A2(4)73,7576,7478,7774,74A3(8)76,7379,7774,7574,73A4(12)75,7373,7270,7169,69三、統(tǒng)計分析2．有交互作用的雙因素方差分析解:計算得、、、和的自由度分別為3、3、9、16和31，從而可得各均方分別為計算得三、統(tǒng)計分析2．有交互作用的雙因素方差分析于是可得雙因素方差分析表三、統(tǒng)計分析1．無交互作用的雙因素方差分析由方差分析表可知，

，

，故認(rèn)為收縮率對纖維彈性有顯著影響，總拉伸倍數(shù)對纖維彈性無顯著影響，收縮率和總拉伸倍數(shù)的交互作用對纖維彈性有顯著影響．小結(jié)雙因素方差分析的基本原理無交互作用的雙因素方差分析模型和有交互作用的雙因素方差分析模型利用相關(guān)統(tǒng)計量判斷檢驗因素對試驗指標(biāo)的影響是否顯著概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴(yán)加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第九章方差分析第三節(jié)綜合例題二、例9.3.2一、例9.3.1三、例9.3.3四、小結(jié)由式(9.38)可知隨機誤差的離差平方和，此時檢驗統(tǒng)計量失去意義，因此需要做重復(fù)試驗．例9.3.1對于雙因素方差分析，若考慮交互作用，在因素的每種水平組合下需要做重復(fù)試驗，才可進行后續(xù)的統(tǒng)計分析．請解釋做重復(fù)試驗的原因．解若不做重復(fù)試驗，在因素的每種水平組合下只有一個試驗結(jié)果，于是，，例9.3.2對于單因素方差分析，假設(shè)在因素的每個水平下均做次試驗，即，證明：(1)；(2)當(dāng)成立時，