專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用(學(xué)生版)

專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用1.數(shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的圖象是一些孤立的點(diǎn)，此類問題大部分要?dú)w于對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想求解.判斷數(shù)列中的不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大??；數(shù)列中的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解決；數(shù)列中的不等式證明問題，可構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，或者采用放縮法進(jìn)行證明.3.數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第n+1項(xiàng)an+1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n+11.【人教A版選擇性必修二4練習(xí)5P24】記不超過x的最大整數(shù)為[x]，如[-0.5]=-1，[π]=3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=[log28n]，設(shè)數(shù)列{anA.5 B.6 C.15 D.162.【人教A版選擇性必修二例4P31】習(xí)近平總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國的汽車總銷量將達(dá)到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺(tái)16200元，第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1100元，以后每年增加400元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益8100元．(1)每臺(tái)充電樁第幾年開始獲利？(2)每臺(tái)充電樁在第幾年時(shí)，年平均利潤最大．考點(diǎn)一考點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯【方法儲(chǔ)備】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明．1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.2.數(shù)列與不等式的綜合問題：1.函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式.2.比較法：作差或者作商進(jìn)行比較.3.放縮法：一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”.4.數(shù)列中不等式恒成立問題：數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【典例精講】例1.(2023·重慶市期末)已知數(shù)列an滿足an+1=12an-12，aA.116,+∞ B.18,+∞例2.(2022·湖北省荊州市模擬)已知數(shù)列{an}滿足：(an+1-1)A.若an>1，則數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列

B.若0<an<1例3.(2023·江蘇省南京市期末)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=32an-3n+1，則a【拓展提升】練11(2023·浙江省杭州市月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1n(n+2)，前n項(xiàng)和為Sn，若實(shí)數(shù)λ滿足(-1)nA.-103<λ≤94 B.-10練12(2022·湖南省長(zhǎng)沙市月考)已知函數(shù)f(x)=1+(1)求函數(shù)y=f(x)的最大值；(2)證明：ln2考點(diǎn)二考點(diǎn)二數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【方法儲(chǔ)備】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟:1.確定模型類型：理解題意，判斷符合哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：=1\*GB2⑴等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少；=2\*GB2⑵等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見的是增產(chǎn)率問題、存款復(fù)利問題；=3\*GB2⑶簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開銷，即數(shù)列an滿足an+1=1.2a2.準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．3.給出問題的回答：實(shí)際應(yīng)用問題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．【典例精講】

例4.(2023·湖北省孝感市模擬)為響應(yīng)國家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測(cè)算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入(扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款)為

元(參考數(shù)據(jù):1.211≈7.5，1.A.35200 B.43200 C.30000 D.32000例5.(2023·湖南省株洲市月考)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+1，bn=2n，設(shè)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，定義集合A-B={x|x∈A且A.1630 B.1632 C.1908 D.1910【拓展提升】練21(2023·浙江省杭州市聯(lián)考)某牧場(chǎng)今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為10%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3?，Sn為{cn}的前n項(xiàng)和，則S6=

.(結(jié)果保留成整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：1．15練22(2022·江蘇省泰州市月考)某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久．甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為13，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為23.為了簡(jiǎn)便描述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第n個(gè)臺(tái)階的概率為Pn，其中n∈N*(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)證明：數(shù)列{P(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級(jí)臺(tái)階的概率．考點(diǎn)三考點(diǎn)三數(shù)列的新定義問題【方法儲(chǔ)備】解數(shù)列中的新定義問題的解題步驟：=1\*GB3①讀懂定義,理解新定義數(shù)列的含義；=2\*GB3②利用新定義，求解數(shù)列模型：通過特例列舉(一般是前面一些項(xiàng))尋找新定義數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì),以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列(如等差與等比數(shù)列)的關(guān)系,求解數(shù)列的通項(xiàng)，求和.【典例精講】例6.(2023·浙江省溫州市聯(lián)考)（多選）定義Hn=a1+2a2+???+2n-1ann為數(shù)列an的“優(yōu)值”.已知某數(shù)列A.數(shù)列an為等差數(shù)列 B.數(shù)列an為遞減數(shù)列

C.S20202020=20232 例7.(2023·湖北省十堰市模擬)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn=Snn，則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列{(1)求數(shù)列{a(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【拓展提升】練31(2022·安徽省合肥市聯(lián)考)（多選）設(shè)正整數(shù)n=a0?20+a1?2+?+ak-1A.ω2n=ωn B.ω2n+3練32(2023·江蘇省泰州市模擬)已知數(shù)列2an是公比為4的等比數(shù)列，且滿足a2，a4，(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)若bn=2n-1，定義a*b=a?,?a≤bb?,?a>b，且記1.(2023·北京市市轄區(qū)模擬)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)O,P的坐標(biāo)為O(0),P(70)，現(xiàn)O,P兩點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為第一秒運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，以后每秒比前一秒多運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為每秒運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度．則點(diǎn)O,P相遇時(shí)在數(shù)軸上的坐標(biāo)為(

)A.(40) B.(35) C.(30) D.(20)2.(2023·江蘇省南通市聯(lián)考)德國數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱谝淮尾僮?，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為13的小正方形后，保留靠角的4個(gè)，刪去其余5個(gè)；第二次操作，將第一次剩余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個(gè)小正方形靠角的4個(gè)，其余正方形刪去；以此方法繼續(xù)下去…….經(jīng)過n次操作后，共刪去

個(gè)小正方形；若要使保留下來的所有小正方形面積之和不超過11000，則至少需要操作

次．(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

3.(2023·廣東省佛山市月考)（多選）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式滿足ann=A.當(dāng)k=23時(shí)，數(shù)列{an}一定有最大值

B.當(dāng)k=12時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列

C.當(dāng)k∈(0,1【答案解析】1.【人教A版必修二4練習(xí)5P24】解：∵an=[log28n]，

∴n=1時(shí)，a1=3；n=2時(shí)，a2=2；

n=3，4時(shí)，an=1；

n=5，6，7，8時(shí)，an=0；∴S8=7．

n=9，10，11，12，13，14，15時(shí)，an=-1．

n=16時(shí)，an=-1．

2.【人教A版必修二例4P31】解：(1)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)用是以1100為首項(xiàng)，400為公差的等差數(shù)列，

設(shè)第n年時(shí)累計(jì)利潤為f(n)，則fn=8100n-1100n+400nn-12-16200

=-200n2+7200n-16200

=-200n2-36n+81，

開始獲利即f(n)>0，∴-200(n2-36n+81)>0，

即n2-36n+81<0，解得例1.解：由an+1=12an-12，an+1+1=12(an+1)，

∴{an+1}是以12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列，

即an+1=12n,??an=12n-1，

若對(duì)任意的正整數(shù)n，例2.解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足：(an+1-1)2an+1=(an+1)2an(n∈N*)，

變形可得：an+1+1an+1-2=an+1an+2，即an+1+1an+1=an+1an+4，

故數(shù)列{a則an+1+1an+1=52+4n>2+4n，C正確；

對(duì)于D則an+1+1an+1=例3.解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=32a1-32，得a1=18．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=32an-1-3n，Sn=32an-3n+1，

兩式相減得an=32an-32an-1-2×3n，得an=3a練11.解：an=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，

前n項(xiàng)和為Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n練12.解：(1)解：∵函數(shù)f(x)=lnx+1x，∴x>0，則f'(x)=-lnxx2x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減因此增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1,+∞)，極大值為f(1)=1，無極小值，

函數(shù)的極大值為最大值，

所以函數(shù)的最大值為1．

(2)證明：由(1)可得f(x)=lnx+1x≤f(x)max=f(1)=1，

∴l(xiāng)nxx≤1-1x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．

令x=

例4.解：設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為a1=(1+20%)×8000-800=8800元，

設(shè)2022年6月底為第一個(gè)月，以此類推，

設(shè)第n個(gè)月底小王手中有現(xiàn)款為an，第n+1個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為an+1，

則an+1=1．2an-800，即an+1-4000=1.2(an-4000)，

所以數(shù)列{an+1-4000}例5.解：∵a30=91，

b6=64<91<b7=128，

所以S30中要去掉數(shù)列bn的項(xiàng)最多6項(xiàng)，

數(shù)列bn的前6項(xiàng)分別為2,4,8,16,32,64，

其中4,16,64三項(xiàng)是數(shù)列an和數(shù)列bn的公共項(xiàng)，

所以cn前30項(xiàng)由a練21.解：由題：c1=1200，cn+1=1．1cn-100．

所以cn+1-1000=1.1(cn-1000)．

所以cn-1000=1．練22.解：(1)由題可得X的所有可能取值為3，4，5，6，

且P(X=3)=(13)3=127，

P(X=4)=C3X

3

4

5

6

P

1272949827所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5．

(2)由題可得Pn+2=13Pn+1+23Pn，

所以Pn例6.解：依題意可得Hn=a1+2a2+…+2n-1ann=2n，

∴a1+2a2+…+2n-1an=n?2n．

a1+2a2+…+2n-1an+2nan+1=(n+1)?2n+1，

∴例7.解：(1)由題意，bn=n，得Snn=n，則Sn=n2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1，

當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

又a1=S1=1滿足上式，練31.解：對(duì)于A選項(xiàng)，n=a0?20+a1?2+?+a對(duì)于B選項(xiàng)，取n=2，2n+3=7=1?20+1?而2=0?20+1?21，則ω對(duì)于C選項(xiàng)，8n+5=a所以，ω8n+54n+3=a所以，ω4n+3=2+a0+對(duì)于D選項(xiàng)，2n-1=20+故選ACD．練32.解：(1)因?yàn)閿?shù)列2an是公比為4的等比數(shù)列，

所以2an+12an=4，所以2an+1-an=22，

所以an+1-an=2(常數(shù))，所以an為等差數(shù)列，且公差為2．

又a2，a4，a7成