高中數(shù)學人教A版（2023）選修1 1.1 空間向量及其運算章節(jié)綜合練習題（答案+解析）

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1.1空間向量及其運算

一、選擇題

1．（2023高二上·南山期末）若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的為（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

2．（2022高二上·洛陽期中）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間另一個基底的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

3．（2022高二上·東光期中）在空間直角坐標系中，點關(guān)于z軸的對稱點是（）

A．B．

C．D．

4．（2023高二上·長春月考）下列說法錯誤的是（）

A．設(shè)是兩個空間向量，則一定共面

B．設(shè)是兩個空間向量，則

C．設(shè)是三個空間向量，則一定不共面

D．設(shè)是三個空間向量，則

5．在空間直角坐標系Oxyz中，下列說法正確的是（）

A．向量的坐標與點B的坐標相同

B．向量的坐標與點A的坐標相同

C．向量與向量的坐標相同

D．向量與向量的坐標相同

6．下列說法正確的是（）

A．若，則或

B．若、為相反向量，則

C．零向量是沒有方向的向量

D．若、是兩個單位向量，則

7．（2023高二上·臨安開學考）在空間四邊形中，等于（）

A．B．C．D．

8．在平行六面體中，AC，BD相交于，為的中點，設(shè)，，，則（）

A．B．

C．D．

9．（2023高二上·榆林期末）如圖在平行六面體中，相交于，為的中點，設(shè)，，，則（）

A．B．

C．D．

10．（2022高二上·大同期中）如圖所示，空間四邊形中，，點M在上，且，N為中點，則等于（）

A．B．

C．D．

11．（2022高二上·通州期中）如圖，在四面體中，點為棱的中點，設(shè)，，，則（）

A．B．

C．D．

12．（2022高二上·紹興月考）空間任意四個點A，B，C，D，則等于（）

A．B．C．D．

13．（2022高二上·滄州月考）若，則（）

A．B．

C．D．

14．（2022高二上·羅湖期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）

A．B．

C．D．

15．（2023高二下·揭陽期末）已知空間向量，，若，則（）

A．1B．C．2D．

16．（2023高二下·寶山期末）已知，若三向量共面，則實數(shù)等于（）

A．4B．3C．2D．1

17．（2022高二上·云南期中）已知空間向量，，若，則（）

A．B．C．D．

18．（2022高二下·贛州期中）空間中，與向量同向共線的單位向量為（）

A．

B．或

C．

D．或

19．（2023高二上·牡丹江期中）以下四個命題中，正確的是（）

A．若，則三點共線

B．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底

C．

D．為直角三角形的充要條件是

20．（2022高二上·寶安期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點，是的中點，若，則（）

A．1B．C．D．

21．（2022高二上·遼寧月考）已知四棱錐的底面為平行四邊形，M，N分別為棱，上的點，，N是的中點，向量，則（）

A．，B．，

C．，D．，

22．（2022高二上·河南月考）已知A，B，C，D四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點P為平面外的一點，滿足，則z＝（）

A．2B．1C．－1D．－2

23．（2022高二下·廣東月考）在三棱錐中，P為內(nèi)一點，若，，，則（）

A．B．

C．D．

24．（2023高二下·馬山期末）已知點A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C為線段AB上一點，且3||=||，則點C的坐標是（）

A．B．

C．D．

25．已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C為線段AB上一點，且=3，則C的坐標為（）

A．（，﹣，）B．（，﹣3，2）

C．（，﹣1，）D．（，﹣，）

26．已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C是線段AB上一點，且=，則C點的坐標為（）

A．（，-，）B．（，﹣3，2）

C．（，﹣1，）D．（，-，）

27．設(shè)，是兩個空間向量，若||=1，=（0，2，1），=λ（λ∈R），則λ=（）

A．B．-C．D．

28．已知點A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C為線段AB上一點，且3||=|||，則點C的坐標是（）

A．B．C．D．

29．設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．

C．與垂直D．∥

30．（2022高二上·南陽）關(guān)于空間向量，以下說法錯誤的是（）

A．若，則的夾角是鈍角

B．已知向量組是空間的一個基底，則不能構(gòu)成空間的一個基底

C．若對空間中任意一點，有，則四點共面

D．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】對于A，設(shè)，則，顯然不存在使得等式成立，A符合題意；

對于B，設(shè)，則，解得，B不符合題意；

對于C，設(shè)，則，即，解得，C不符合題意；

對于D，設(shè)，則，解得，D不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)空間向量基底的定義，結(jié)合選項逐項判定，即可求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】對于A，，共面，不能作為空間一組基底，A不符合題意；

對于B，，共面，不能作為空間一組基底，B不符合題意；

對于C，假設(shè)共面，則可設(shè)

，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，C符合題意；

對于D，，共面，不能作為空間一組基底，D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知ABD選項中的向量共面，無法作為一組基底；假設(shè)C中向量共面，可知不存在滿足條件的實數(shù)，由此知假設(shè)錯誤，則C中向量可以作為基底.

3．【答案】B

【解析】【解答】關(guān)于z軸的對稱點是豎坐標不變，橫縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，因為，所以對稱點坐標為.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)空間直角坐標系的概念與對稱性，即可求解.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：對于A，設(shè)是兩個空間向量，因為向量可以平移，則一定共面，正確；

對于B，設(shè)是兩個空間向量，因為向量的數(shù)量積滿足交換律，則正確；

對于C，設(shè)是三個空間向量，則可能共面，可能不共面，故C錯誤；

對于D，設(shè)是三個空間向量，因為向量的數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律，則，D正確，

故答案為：C

【分析】由向量的平移可判斷A，C；由向量數(shù)量積滿足交換律分配律可判斷B，D.

5．【答案】D

【解析】【解答】因為點A不一定為坐標原點，所以A，B，C都不對；

由于，D符合題意．

故答案為：D．

【分析】由空間定點向量以及向量坐標的定義對選項逐一判斷即可得出答案。

6．【答案】B

【解析】【解答】對A，若，只能表示和的長度相等，不能說明方向相同或相反，故A不符合題意；

對B，若、為相反向量，則它們的和為零向量，B對；

對C，零向量的方向是任意的，C不符合題意；

對D，兩個單位向量只是模都為1，但方向不一定相同，D不符合題意．

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意由向量的定義結(jié)合零向量、相反向量、單位向量以及向量的模的概念對選項逐一判斷即可得出答案。

7．【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可得.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)空間向量的加法運算求解.

8．【答案】C

【解析】【解答】如圖所示：

因為為的中點，

所以.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，結(jié)合空間向量的線性運算求解.

9．【答案】C

【解析】【解答】由已知得，，

故答案為：C

【分析】根據(jù)向量的運算法則，結(jié)合，即可求解.

10．【答案】B

【解析】【解答】，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的加減運算三角形法則表示出，可得答案.

11．【答案】A

【解析】【解答】連接，

因為為棱的中點，，，

所以，

所以，

故答案為：A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，得到，利用，即可求解.

12．【答案】D

【解析】【解答】易知，.

故答案為：D.

【分析】利用空間向量加法三角形法則和向量減法的定義即可求出答案.

13．【答案】B

【解析】【解答】，

．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算，即可求出相應向量的坐標。

14．【答案】B

【解析】【解答】

.

故答案為：B

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.

15．【答案】A

【解析】【解答】若，則，解得，

所以.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標表示求，進而可得結(jié)果.

16．【答案】D

【解析】【解答】因為三向量共面，所以存在唯一有序數(shù)對，使得，

所以，即，

解得.

故答案為：D

【分析】利用空間共面向量定理，列出方程組即可得到答案.

17．【答案】A

【解析】【解答】因為，所以，故.

故答案為：A

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算可得答案.

18．【答案】C

【解析】【解答】解：因為，所以，

所以與向量同向共線的單位向量，

故答案為：C.

【分析】求得再由，即可求解。

19．【答案】B

【解析】【解答】因為中，所以三點不一定共線，

因為為空間的一個基底，所以不在同一個平面，因此也不在同一個平面，從而構(gòu)成空間的另一個基底，

因為，所以不恒成立，

因為為直角三角形時A角不一定為直角，即不一定成立，所以D不符合題意，

故答案為：B.

【分析】由于≠1，故三點不一定共線；空間的基底不在同一平面，故有也不在同一平面，由此B正確；根據(jù)向量的運算得C錯誤；由于直角三角形中A不一定為直角，故D錯誤。

20．【答案】C

【解析】【解答】連接如下圖：

由于是的中點，

.

根據(jù)題意知.

.

故答案為：C.

【分析】連接，根據(jù)是的中點，化簡得到，結(jié)合題意，即可求解.

21．【答案】B

【解析】【解答】解：因為，所以，

，

又，

所以.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)向量的線性運算，化簡得到，結(jié)合題意，即可求得的值.

22．【答案】A

【解析】【解答】因為四點在平面內(nèi)，且點為平面外的一點，

而，所以，

所以，所以

所以，解得.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，表示出相應的向量，即可求出參數(shù)z的值。

23．【答案】C

【解析】【解答】延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，，，如圖所示：

因為，，，

所以，

所以P是的重心，

所以，即，

所以，

整理得．

故答案為：C

【分析】如圖，延長PB到，使得，延長PC到，使得，連接，，，結(jié)合已知條件可得，即可確定P為重心，從而得到，即可求解。

24．【答案】C

【解析】【解答】解：∵C為線段AB上一點，且3||=|||，

∴，

∴

=（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），

=．

故選：C．

【分析】C為線段AB上一點，且3||=|||，可得，利用向量的坐標運算即可得出．

25．【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），

可得

又=3，

故有解得

C的坐標為（，﹣1，）

故選C

【分析】由題意，可設(shè)C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），求出兩個向量，的坐標，代入=3，即可得到x，y，z所滿足的方程，求出值即可得到C的坐標

26．【答案】C

【解析】【解答】解：∵

∴

=（，﹣1，）

故選C．

【分析】利用向量的線性運算即可得出．

27．【答案】C

【解析】【解答】解：∵=λ（λ∈R），∴，

∴|λ|=，

∴λ=．

故選：C．

【分析】由=λ（λ∈R），可得，再利用向量模的計算公式即可得出

28．【答案】C

【解析】【解答】解：∵C為線段AB上一點，且3||=|||，

∴，

∴

=（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），

=．

故選：C．

【分析】C為線段AB上一點，且3||=|||，可得，利用向量的坐標運算即可得出．

29．【答案】C

【解析】【解答】∵，，∴，，，∴，∴與垂直，故選C

【分析】熟練掌握向量的坐標運算及數(shù)量積的定義、變形是解決此類問