四川省瀘州市瀘縣第一名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試題（原卷版+解析版）

第第頁四川省瀘州市瀘縣第一名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試題（原卷版+解析版）瀘縣一中高2023級高三10月考試

數(shù)學(xué)（文史類）

本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合，，則（）

A.B.

C.D.

2.下列函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）

A.B.C.D.

3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

AB.C.D.

4.已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，一定能推出的是（）

AB.

C.D.

5.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）

A.8B.7C.6D.5

6.函數(shù)定義域是，且滿足，當(dāng)時，，則圖象大致是（）

A.B.

C.D.

7.已知簡單組合體的三視圖如圖所示，則此簡單組合體的體積為

A.B.C.D.

8.已知，，則（）

A.B.C.D.

9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．

A.B.2C.D.4

10.已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

11.過點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.B.C.D.

12.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

第II卷非選擇題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的實部為________．

14.已知函數(shù)，則__________．

15.已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為__．

16.長方形中，,將沿折起，使二面角大小為，則四面體的外接球的表面積為________

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知，，．

（1）若，求x的值；

（2）求的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值．

18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）證明：

（2）若，，求△ABC的面積．

19.已知函數(shù).

（1）若在處取得極值，求極值；

（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD．

（2）在線段PC上是否存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

21.已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個零點，證明：當(dāng)時，．

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.在直角坐標(biāo)系中，點，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程，并判斷l(xiāng)與是否有公共點．

[選修4-5：不等式選講]

23.已知、為非負(fù)實數(shù)，函數(shù)．

（1）當(dāng)，時，解不等式；

（2）若函數(shù)最小值為，求的最大值．瀘縣一中高2023級高三10月考試

數(shù)學(xué)（文史類）

本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合，，則（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解方法，結(jié)合集合的交集，可得答案.

【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則，

所以.

故選：A.

2.下列函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【詳解】對于A，在上是增函數(shù)，對于B，在上是增函數(shù)，對于C，在上是減函數(shù)，對于D，是減函數(shù)，所以選A.

3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求定義域即.令是二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)圖像即可求得其單調(diào)區(qū)間,根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減,即可求得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】，

即，得，

定義域為，

又單調(diào)遞增區(qū)間為，

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

故選：C.

【點睛】對于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷要掌握同增異減,對函數(shù)的內(nèi)層和外層分別判斷,即可得出單調(diào)性.求單調(diào)區(qū)間時,要先求函數(shù)定義域,單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.

4.已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，一定能推出的是（）

A.B.

CD.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行可知正確.

【詳解】當(dāng)時，若，可得

又，可知

本題正確選項：

【點睛】本題考查面面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題.

5.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知中間一項第4項二項式系數(shù)最大即可得解

【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.

故選：C

6.函數(shù)的定義域是，且滿足，當(dāng)時，，則圖象大致是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除B,C選項，當(dāng)時，可知，排除D選項，即可求解.

【詳解】因為函數(shù)的定義域是，且滿足，

所以是奇函數(shù)，

故函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱，

排除選項B,C，

又當(dāng)時，，

可知，故排除選項D,

故選：A

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象，屬于中檔題.

7.已知簡單組合體的三視圖如圖所示，則此簡單組合體的體積為

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【詳解】由題設(shè)中所提供的三視圖可知該幾何體是一個底面半徑為2，高為4的圓錐內(nèi)去掉一個底面邊長為，高為2的四棱柱的組合體，其體積，應(yīng)選答案C．

8.已知，，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，然后利用同角關(guān)系式結(jié)合條件即得.

【詳解】因為，將，代入化簡，

可得，解得（舍去）或，

又因為，

所以，．

故選：B.

9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．

A.B.2C.D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，再根據(jù)即可求出值.

【詳解】由題知：當(dāng)，時，，

代入得：

，

當(dāng)，時，

，

即，

而，

解得：或（舍）

故選：D.

10.已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個零點可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由題意得有兩個零點

令,

則且

所以，在上為增函數(shù)，

可得，

當(dāng)，在上單調(diào)遞減，

可得，

即要有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.

故選：A

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．

11.過點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，得到切線方程，代入點坐標(biāo)得到，設(shè)，計算函數(shù)的極值，得到答案.

【詳解】，，

設(shè)切點為，則切線方程為，

切線過點，，整理得到，

方程有三個不等根.

令，則，令，則或，

當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

極大值，極小值，函數(shù)與有三個交點，

則，的取值范圍為.

故選：D

12.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】因為函數(shù),判斷的奇偶性和單調(diào)性,即可求解,進而求得實數(shù)的取值范圍.

【詳解】則定義是.

又可得:

是奇函數(shù).

則

是單調(diào)增函數(shù).

故:,

化簡可得:,即

根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),

得:,

故選:D.

【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的奇偶性,解題關(guān)鍵是掌握利用單調(diào)性和奇偶性解函數(shù)不等式,屬于基礎(chǔ)題.

第II卷非選擇題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的實部為________．

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)實部的定義進行求解即可.

【詳解】因為，所以的實部為1．

故答案為：1．

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)除法運算法則，考查了復(fù)數(shù)的實部概念，考查了數(shù)學(xué)運算能力，是基礎(chǔ)題．

14.已知函數(shù)，則__________．

【答案】##1.5

【解析】

【分析】先計算，再計算的值.

【詳解】由題可得：=，

所以.

故答案為：.

15.已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為__．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的投影公式，即可求解．

【詳解】向量，夾角為，，

，

，

，

故向量在方向上的投影為．

故答案為：．

16.長方形中，,將沿折起，使二面角大小為，則四面體的外接球的表面積為________

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)題意知，矩形的對角線即為三棱錐外接球的直徑，由此求出外接球的表面積．

【詳解】如圖所示：

設(shè)矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，則OA=OB=OC=OD=，∴三棱錐B-ACD的外接球的半徑為R=，其表面積為S=4πR2=4π=.

故答案為.

【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積計算問題，是中檔題,分析各面特點及各邊長特點找出球心所在位置是關(guān)鍵.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.已知，，．

（1）若，求x的值；

（2）求的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值．

【答案】（1）；

（2）的最大值為1，此時．

【解析】

【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積為0可得，再由x的范圍求得x值；

（2），結(jié)合x的范圍及正弦函數(shù)的最值求解．

【小問1詳解】

，，

若，則，

∴，即，

∵，∴，可得，即；

【小問2詳解】

，

∵，∴，可得當(dāng)，即時，取最大值為1．

18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

（1）證明：

（2）若，，求△ABC的面積．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換化簡得，可證明；

（2）結(jié)合（1）得．，利用正弦定理及面積公式計算即可.

【小問1詳解】

證明：因為，所以，

所以．

所以，

即．

因為在△ABC中，所以，即，

故．即．

【小問2詳解】

解：由（1）可知．

因為，所以．則．．

由正弦定理可知．則．．

故△ABC的面積．

19.已知函數(shù).

（1）若在處取得極值，求的極值；

（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.

【答案】（1）極大值為，極小值為

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)極值點可得，進而可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求解極值，

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解.

【小問1詳解】

，，.

因為在處取得極值，所以，則.

所以，，

令得或1，列表得

1

+0-0+

↗極大值↘極小值↗

所以的極大值為，極小值為.

【小問2詳解】

.

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；

②當(dāng)時，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時，的最小值為，不滿足題意；

③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.

綜上可知，實數(shù)的取值范圍時.

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD．

（2）在線段PC上是否存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析

（2）存在點符合題意，且此時

【解析】

【分析】（1）取的中點，連接，可證得四邊形為平行四邊形，可得∥，再由線面平行的判定理可證得結(jié)論；

（2）取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，然后證明即可.

【小問1詳解】

證明：取的中點，連接，

因為分別為的中點，

所以∥，，

因為四邊形為平行四邊形，

所以∥，，

因為為的中點，

所以，

所以∥，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以∥，

因為平面，平面，

所以∥平面，

【小問2詳解】

存在點符合題意，且此時，

取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，

證明如下：

因為在平行四邊形中，分別為的中點，

所以∥，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以∥，

因為為中點，所以點為的重心，且，

因，

所以∥，

因為∥，

所以∥，

所以和確定一個平面，

因為在直線上，

所以，

所以四點共面，

所以在線段PC上存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面.

21.已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個零點，證明：當(dāng)時，．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）先求導(dǎo)，再對分類討論得到的單調(diào)性.

(2)先轉(zhuǎn)化函數(shù)有三個零點得到，再利用分析法和導(dǎo)數(shù)證明.

【小問1詳解】

令,則或,

當(dāng)時,,在上是增函數(shù)；

當(dāng)時,令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,

所以在上是減函數(shù)

當(dāng)時,令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,所以在上是減函數(shù)

綜上所述：

當(dāng)時,在上是增函數(shù)；

當(dāng)時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

當(dāng)時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

【小問2詳解】

由(1)可知：當(dāng)時,在上是增函數(shù)，函數(shù)不可能有三個零點；

當(dāng)時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

的極小值為，函數(shù)不可能有三個零點

當(dāng)時,,

要滿足有三個零點,則需,即

當(dāng)時,要證明：等價于要證明

即要證：

由于，故等價于證明：,證明如下：

構(gòu)造函數(shù)

令

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,

∴．

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22.在直角坐標(biāo)系中，點，曲線C的參數(shù)方程為（為參