重慶三十二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

重慶三十二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.3．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4．若存在過(guò)點(diǎn)（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－25．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，6．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（0，4），且長(zhǎng)半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.7．邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.8．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1139．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.10．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，11．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.12．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)的遞增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)______.14．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時(shí)，等式左邊________16．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.18．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個(gè)確定的點(diǎn)M,過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，使得為定值.如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線交于，其中的周長(zhǎng)為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，O是BC的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值21．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式（其中）.22．（10分）已知圓.（1）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用兩角和的正切公式計(jì)算出正確答案.【詳解】.故選：D2、C【解析】根據(jù)兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由兩直線垂直得：，解得：.故選：C.3、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：B4、A【解析】在兩曲線上設(shè)切點(diǎn)，得到切線，又因?yàn)椋?，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線與和的切點(diǎn)分別為（，），，∴過(guò)（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.5、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.6、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點(diǎn)位置得出橢圓方程【詳解】因?yàn)?，所以，而焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為故選：B7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B8、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.9、B【解析】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為，由可得，進(jìn)而可得滿足的方程，將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)平面內(nèi)的一點(diǎn)為(不與點(diǎn)重合)，則，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，所以，即，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D不正確，故選：B.10、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結(jié)論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項(xiàng).11、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D12、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，故其單調(diào)增區(qū)間為，又由題可知：其遞增區(qū)間是，故.故答案為：.14、【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.15、【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時(shí)，等式左邊=.故答案為：.16、【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合焦點(diǎn)定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.18、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有，把目標(biāo)式坐標(biāo)化可得與無(wú)關(guān)，可得.試題解析：(1)聯(lián)立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，直線，有，，設(shè)，有，，，，當(dāng)時(shí)，為定值，所以.19、（1）（2）【解析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長(zhǎng)，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.（2）第一步設(shè)點(diǎn)設(shè)直線，第二步聯(lián)立方程韋達(dá)定理，第三步條件轉(zhuǎn)化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.令，②則，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.所以因?yàn)?，所以解得②由①②解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結(jié)合面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的公式可得，進(jìn)而解方程即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，O是BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面BCD【小問(wèn)2詳解】連接OD，又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因?yàn)锳－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設(shè)平面BCD的法向量為，,則，取平面BCD的法向量為，，，設(shè)是平面BDE的法向量，則，∴取平面BDE的法向量，解得或（舍）21、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)將原不等式變形為，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可；(2)將原不等式化為，求出參數(shù)a分別取值、、時(shí)的解集.【小問(wèn)1詳解】不等式即為：，當(dāng)時(shí)，不等式可變形為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】不等式，即，等價(jià)于，轉(zhuǎn)化為；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的解集為；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁?；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁?；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.22、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判