備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一輪第八章立體幾何與空間向量課時(shí)規(guī)范練37

/課時(shí)規(guī)范練37《素養(yǎng)分級(jí)練》P317基礎(chǔ)鞏固組1.(2023·河南鄭州模擬)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α⊥β的充要條件是()A.α,β平行于同一個(gè)平面B.α,β垂直于同一個(gè)平面C.α內(nèi)一條直線垂直于β內(nèi)一條直線D.α內(nèi)存在一條直線垂直于β答案:D解析:α,β平行于同一個(gè)平面時(shí),則α∥β,故A錯(cuò)誤;α,β垂直于同一個(gè)平面時(shí),α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故B錯(cuò)誤;α內(nèi)一條直線垂直于β內(nèi)一條直線,α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,故C錯(cuò)誤;α內(nèi)存在一條直線垂直于β,則α⊥β,反之也成立,故D正確.2.(多選)若α,β是兩個(gè)相交平面,則在下列說法中,正確的是()A.若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定不存在與直線m平行的直線B.若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直C.若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m異面的直線D.若直線m?α,則在平面β內(nèi),一定存在與直線m垂直的直線答案:BD解析:設(shè)平面α∩平面β=直線l,對(duì)于A,當(dāng)平面α⊥平面β時(shí),在平面β內(nèi)作直線n⊥l,則n⊥α,而m⊥α,則n∥m,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,m⊥α,則m⊥l,則平面β內(nèi)與l平行的所有直線都與直線m垂直,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)橹本€m?α,則m與l重合時(shí),即m?β,β內(nèi)的所有直線都與m共面,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)m⊥β時(shí),結(jié)論成立,直線m與β不垂直時(shí),作與直線m垂直的平面γ,則γ必與β相交,所得交線與m垂直,故D正確.故選BD.3.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部答案:A解析:連接AC1(圖略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1?平面ABC1,AC?平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.4.(2022·全國(guó)乙,文9)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D答案:A解析:如圖,對(duì)于A,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對(duì)于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯(cuò)誤.5.(2022·云南曲靖二模)如圖,P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形,PA=PD,平面PAD垂直于底面ABCD,G為AD邊的中點(diǎn).(1)求證:BG⊥平面PAD;(2)若PA=AB=6,求四棱錐P-ABCD的體積.(1)證明:∵四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形,∴△ABD為等邊三角形.又G為AD的中點(diǎn),∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,BG?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BG⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,G為AD的中點(diǎn),∴PG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,PG?平面APD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,即PG是四棱錐P-ABCD的高.∵PA=AB=6,∴△PAD是等邊三角形,∴PG=32×6=33,VP-ABCD=13·PG·AD·AB·sin60°=13×33×6×6×3綜合提升組6.在矩形ABCD中,AB<BC,現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中,給出下列結(jié)論:①存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直;②存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直;③存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案:②解析:①假設(shè)AC與BD垂直,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,連接CE.則AE⊥BDBD⊥AC?BD⊥平面AEC,則BD⊥CE,而在平面BCD中,CE與BD不垂直,故假設(shè)不成立,①不正確.②假設(shè)AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,由AB<BC可知,存在這樣的直角三角形,使AB⊥AC,故假設(shè)成立,②正確.③假設(shè)AD⊥BC,∵CD⊥BC,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,即△ABC為直角三角形,且AB為斜邊,而AB<BC,故矛盾,7.(2023·北京大興模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E,F分別為BC,PD的中點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)求證:CF∥平面PAE;(3)若平面PAE⊥平面PAD,求∠ABC的大小.(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BD⊥AC.又因?yàn)镻A∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.(2)證明:取PA的中點(diǎn)G,連接EG,GF.在△PAD中,G,F分別為PA,PD的中點(diǎn),所以GF∥AD,GF=12因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,且E為BC的中點(diǎn),所以CE∥AD,CE=12所以CE∥GF,CE=GF.所以四邊形GFCE為平行四邊形.所以EG∥CF.因?yàn)镃F?平面PAE,EG?平面PAE,所以CF∥平面PAE.(3)解:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AE⊥平面PAD,且平面PAE∩平面PAD=PA,AD?平面PAD,所以AD⊥平面PAE.又AE?平面PAE,所以AD⊥AE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,且E為BC的中點(diǎn),所以CE∥AD.所以∠AEB=∠EAD=90°,則△ABC是等邊三角形.所以∠ABC=60°.創(chuàng)新應(yīng)用組8.(2023·北京豐臺(tái)模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=2,并將直角梯形ABCD繞AB邊旋轉(zhuǎn)至梯形ABEF.(1)求證:直線AB⊥平面ADF;(2)求證:直線CE∥平面ADF;(3)當(dāng)平面ABCD⊥平面ABEF時(shí),再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,判斷平面ADE與平面BCE是否垂直,并證明你的結(jié)論.條件①:AE=3,條件②:AD=1,條件③:BE⊥DE.(1)證明:在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,將直角梯形ABCD繞AB邊旋轉(zhuǎn)至梯形ABEF,所以AB⊥AF.又AD∩AF=A,AD,AF?平面ADF,所以AB⊥平面ADF.(2)證明:依題意可得DC∥EF且DC=EF,所以四邊形DCEF為平行四邊形,所以CE∥DF.又DF?平面ADF,CE?平面ADF,所以CE∥平面ADF.(3)解:因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF,AB⊥AD,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD?平面ABCD,所以AD⊥平面ABEF.又BE?平面ABEF,所以AD⊥BE.過點(diǎn)E作EM⊥AB,交AB于點(diǎn)M.若選①:AE=3,因?yàn)镋F=1,所以AF=AE2-EF2=2,所以BE=所以60°<∠AEB<90°.如圖,過點(diǎn)E作EH⊥AE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,因?yàn)锳D⊥平面ABEF,EH?平面ABEF,所以AD⊥EH.又AD∩AE=A,AD,AE?平面ADE,所以EH⊥平面ADE.又EH?平面HCE,所以平面HCE⊥平面ADE,顯然平面BCE與平面ADE